普遍性

同義語：普遍的性質universal property

概要

前提知識: 写像, 圏

普遍性とは

普遍性（universal property、普遍的性質）とは、数学的な対象をその内部の表示だけでなく、ほかの対象との射の存在と一意性によって特徴づける方法である。典型的には、ある構成から出る射、またはそこへ入る射が、与えられたデータを保つときにただ一つ存在する、と述べる（Rie16 Chapters 2–3）。
たとえば二つの集合 $A,B$ の積 $A\times B$ には射影 $\pi_A,\pi_B$ があり、任意の集合 $X$ から $A,B$ への二つの写像 $f,g$ は、積へのただ一つの写像 $\langle f,g\rangle$ にまとめられる。この言明は $A\times B$ の要素を順序対として書かなくても意味をもつ。群、位相空間、スキームなど別の圏でも「積」と呼ぶ対象を同じ射の形で指定できる。
普遍性は存在まで自動的に保証する語ではない。まず対象と構造射を実際に作れるかを示し、その後、要求した射の存在と一意性を確かめる。条件を満たす対象が二つあれば、それらの間に構造を保つ一意な同型がある。この「作れるか」と「作った後にどれほど一意か」を分けることが基本である。

射の向きと試験対象

普遍性を読む際には、最初にどの圏で考えるかを決める。圏は対象と射、射の合成からなる。集合の圏なら射は写像、群の圏なら群準同型、位相空間の圏なら連続写像である。同じ台集合を持つ構成でも、許す射が変われば普遍性は変わる。
次に、固定した構成 $U$ に対して任意の試験対象 $X$ を動かし、$X\to U$ を問うのか、$U\to X$ を問うのかを決める。前者は「そこへ写し込む」型、後者は「そこから写し出す」型である。積は前者、余積や自由対象は後者の典型である。向きが逆なら条件も違うので、同じ式の矢印だけを逆にしてよいわけではない。

普遍性の基本形

圏 $\mathcal C$ における構造付き対象 $U$ の普遍性とは、任意の試験対象 $X$ と所定の適合データに対して、そのデータを表す射 $X\to U$ または $U\to X$ がただ一つ存在する、という形の性質をいう。対象、構造射、試験対象、適合条件、射の向きを指定して初めて具体的な意味が定まる。

ここで「ただ一つ」は「少なくとも一つある」と「二つあれば等しい」の両方を含む。単に「すべての試験対象から射がある」というだけでは、普遍性の多くの用途に必要な同型の一意性が得られない。反対に、一意性だけを示しても射の存在は証明されていない。
この基本形は説明のための共通した型であり、すべての普遍性が一個の決まった図式で書けるという意味ではない。極限では錐、随伴では単位射、表現可能関手では普遍要素を使う。それぞれのデータの圏を作ると、そこでの始対象または終対象として統一できる。普遍要素はこの見方を関手の元に即して定式化した特定の概念である。

集合の積がもつ普遍性

集合 $A,B$ の積には、第一・第二成分を取る射影 $\pi_A:A\times B\to A$、$\pi_B:A\times B\to B$ がある。これだけでは積を特徴づけられない。射影を持つ別の集合も多いからである。任意の $X$ から二つの集合へ向かう写像の組を、積への一つの写像に一意にまとめられることが特徴となる。

二つの対象の積の普遍性

圏 $\mathcal C$ の対象 $A,B$ に対し、対象 $P$ と射 $p_A:P\to A$、$p_B:P\to B$ の組が積であるとは、任意の $X$ と射 $f:X\to A$、$g:X\to B$ に対し
$$ p_A\circ h=f,\qquad p_B\circ h=g $$
を満たす射 $h:X\to P$ がただ一つ存在することをいう。

ここでは積 $P$ に入る射を特徴づけている。二つの指定した成分が等しければ $h$ 自身が等しくなるという一意性が重要である。集合の積では次のように具体的に確かめられる。

集合の直積は積である

集合 $A,B$ に対し、通常の順序対の集合 $A\times B$ と成分射影は、集合の圏で上の普遍性を満たす。

点ごとに対を作る

$f:X\to A$、$g:X\to B$ が与えられたとき、$h(x)=(f(x),g(x))$ と定める。各 $x$ で $h(x)\in A\times B$ なのでこれは写像であり、$\pi_A(h(x))=f(x)$、$\pi_B(h(x))=g(x)$ である。従って要求した射が存在する。
別の射 $k:X\to A\times B$ が同じ二式を満たすとする。各 $x$ で $k(x)$ の第一成分は $f(x)$、第二成分は $g(x)$ だから、順序対の等号により $k(x)=(f(x),g(x))=h(x)$ となる。すべての $x$ で一致するので $k=h$ である。$\square$

同じ普遍性は、各 $X$ に対する集合の自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,P) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,A)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,B) $$
とも書ける。左の射 $h$ を右の組 $(p_A\circ h,p_B\circ h)$ に送る。全射性が射の存在、単射性が射の一意性に対応する。「自然」とは、$u:Y\to X$ で試験対象を取り替えたとき、先に $h$ を $u$ と合成しても、先に成分へ分けてから各成分を $u$ と合成しても結果が同じ、という意味である。この両立性が、対象を単なる個数ではなく射の振る舞いで特定する。

構造を保つ一意な同型

「普遍性が対象を一意に定める」という言い方には注意が要る。台集合の元や記号まで一致する必要はない。積 $A\times B$ の順序対を別の符号化で作れば、集合として文字どおり等しくなくても同じ普遍性を満たす。正確な結論は、指定した構造射と両立する一意な同型で結ばれることである（Rie16 Chapter 2）。

積の一意性

$(P,p_A,p_B)$ と $(Q,q_A,q_B)$ が同じ $A,B$ の積の普遍性を満たすなら、$q_A\circ u=p_A$、$q_B\circ u=p_B$ を満たす同型 $u:P\to Q$ がただ一つ存在する。

両方向の普遍射

$Q$ の普遍性を試験対象 $X=P$ と射 $p_A,p_B$ に適用すると、条件を満たす $u:P\to Q$ がただ一つ得られる。同様に $P$ の普遍性から、$p_A\circ v=q_A$、$p_B\circ v=q_B$ を満たす $v:Q\to P$ が得られる。
$p_A\circ(vu)=q_A\circ u=p_A$、$p_B\circ(vu)=q_B\circ u=p_B$ である。恒等射 $\mathrm{id}_P$ もこの二式を満たすので、$P$ の普遍性の一意性から $vu=\mathrm{id}_P$ となる。同じ議論で $uv=\mathrm{id}_Q$ である。従って $u$ は同型であり、その一意性は最初の適用で既に得ている。$\square$

この証明は積に固有の計算ではない。普遍性が同じ向きの射を一意に与える場合、二つの候補の間の射を両方向に作り、合成が恒等射と同じ適合条件を満たすことを示す。これが普遍対象の一意性を証明する標準的な型である。構造射との両立条件を忘れて「同型なら何でもよい」とすると、一意とは限らない。
一意性は、構成を写像に沿って動かす際にも役立つ。$a:A\to A'$、$b:B\to B'$ があれば、$A\times B$ の射影に $a,b$ を続けて合成し、$A'\times B'$ の普遍性を適用して一意な射 $a\times b:A\times B\to A'\times B'$ を得る。集合の場合は $(x,y)\mapsto(a(x),b(y))$ である。二組の写像を続けて合成した場合にできる積上の射と、対応する二つの積上の射の合成は、どちらも同じ射影との合成を持つ。普遍性の一意性により両者は等しい。恒等写像についても同様で、積の構成が関手的になる理由を具体的な元の計算なしに説明できる。
ただし、関手的に動かせるという結論には、各対象の組について積が存在することが前提である。特定の $A,B$ に積が一つあっても、圏のあらゆる二組について積を選べるとは限らない。「普遍性があれば自然な写像が得られる」は、必要な普遍対象が存在する範囲で読む。

反対向きの普遍性

積の矢印を反転したものが余積である。対象 $A,B$ から $Q$ への構造射 $i_A,i_B$ を置き、任意の $f:A\to X$、$g:B\to X$ がただ一つの $h:Q\to X$ を通じて表せることを求める。集合の圏では、余積は添字を付けて互いに区別した和集合 $A\sqcup B$ である。普通の集合和 $A\cup B$ は、$A$ と $B$ に同じ元がある場合に二つの写像がその元で違う値を指定できるため、一般には余積にならない。

集合の互いに素な和は余積

集合 $A\sqcup B=(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})$ と標準的な挿入 $i_A(a)=(a,0)$、$i_B(b)=(b,1)$ は、集合の圏における $A,B$ の余積である。

二つの写像を場合分けで貼る

任意の $f:A\to X$、$g:B\to X$ に対し、$h(a,0)=f(a)$、$h(b,1)=g(b)$ と定める。タグ $0$ と $1$ によって二つの部分集合は交わらないから、同じ元に異なる値を指定する衝突はない。従って $h:A\sqcup B\to X$ は写像で、$h\circ i_A=f$、$h\circ i_B=g$ を満たす。
別の $k$ が同じ式を満たせば、$A\sqcup B$ の各元は $(a,0)$ または $(b,1)$ の形だから、それぞれで $k$ の値は $f(a)$ または $g(b)$ に固定される。ゆえに $k=h$ である。$\square$

このように普遍性の射の向きを逆にした構成を双対と呼ぶ。始対象と終対象、核と余核、極限と余極限も関連する。ただし具体的な対象の姿は圏によって違う。集合の余積は互いに素な和だが、群の余積は自由積であって集合の和でも直積でもない。射の向きを明確にすることで、同じ名前の構成の共通性と違いを分けられる。

商の普遍性

商は「ある関係を同一視したい」という条件を、商から出る射の形に置き換える。集合 $X$ の同値関係 $\sim$ に対する商集合 $X/{\sim}$ と標準写像 $q:X\to X/{\sim}$ を考える。$f:X\to Y$ が $\sim$ で同値な点を同じ値に送るときに限り、$f$ は $q$ を経由する。適合条件は $x\sim x'\Rightarrow f(x)=f(x')$ である。

商集合の普遍性

$f:X\to Y$ がすべての $x\sim x'$ について $f(x)=f(x')$ を満たすなら、$f=\bar f\circ q$ となる写像 $\bar f:X/{\sim}\to Y$ がただ一つ存在する。

代表元に依存しない定義

$\bar f([x])=f(x)$ と置く。もし $[x]=[x']$ なら $x\sim x'$ だから仮定により $f(x)=f(x')$ であり、この定義は代表元の選択によらない。$q(x)=[x]$ なので $(\bar f\circ q)(x)=f(x)$ が成り立つ。
$g\circ q=f$ を満たす別の $g$ があれば、任意の同値類 $[x]$ について $g([x])=g(q(x))=f(x)=\bar f([x])$ である。従って $g=\bar f$。$\square$

群 $G$ の正規部分群 $N$ に対する剰余群も、$N$ の元を単位元に送る準同型を一意に経由させる性質を持つ。ただしこのとき試験対象は群で、射は群準同型である。集合の商の普遍性だけを示しても、誘導写像が群準同型であることを確認しなければ群の圏での普遍性は得られない。普遍性を述べるときに圏を指定する必要があるのはこのためである。

自由対象の普遍性

自由対象では、元への任意の割当てを構造を保つ射へ一意に延長する。集合 $S$ 上の自由アーベル群を例にすると、その元は $S$ から $\mathbb Z$ への有限台の関数である。$s\in S$ に対し、$s$ で $1$、ほかで $0$ となる関数を $e_s$ と書く。各元は有限和 $\sum_{s\in S}n_se_s$ と一意に書ける。

自由アーベル群の普遍性

$F(S)=\mathbb Z^{(S)}$ を有限台の整数値関数の加法群とし、$e:S\to F(S)$ を $s\mapsto e_s$ とする。任意のアーベル群 $A$ と集合写像 $a:S\to A$ に対し、$h\circ e=a$ を満たす群準同型 $h:F(S)\to A$ がただ一つ存在する。

生成元の像から延長する

元 $x=\sum_s n_se_s$ に対し $h(x)=\sum_s n_sa(s)$ と定める。$x$ は有限台なので右の和は有限であり、$A$ がアーベル群なので和の順序に依存しない。関数の成分表示は一意だから $h$ はよく定義され、和を保つ。さらに $h(e_s)=a(s)$ である。
別の群準同型 $k$ が $k(e_s)=a(s)$ を満たすなら、加法性から各 $x=\sum_s n_se_s$ について $k(x)=\sum_s n_sk(e_s)=\sum_s n_sa(s)=h(x)$ となる。ゆえに $k=h$。$\square$

集合 $S$ を変えると $F(S)$ も変わる。この普遍性は、自由アーベル群を作る操作が集合からアーベル群への関手となり、忘却関手の左随伴になることを示す。随伴の言葉では
$$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ab}}(F(S),A) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(S,U(A)) $$
が $S,A$ について自然に成り立つ。ここで $U(A)$ は $A$ の群演算を忘れた台集合である。積の全単射は $X$ から積へ入る射を数えたが、自由対象の全単射は自由対象から出る射を数える。式の向きがその違いを示す。

テンソル積と普遍要素

普遍性は、単一の写像ではなく、双線形写像のような構造付きデータを代表することもある。可換環 $R$ 上の加群 $M,N$ のテンソル積 $M\otimes_RN$ と標準双線形写像 $b:M\times N\to M\otimes_RN$ は、任意の $R$ 加群 $P$ への双線形写像を線形写像にただ一通り変える（Sta00CV）。
$$ \operatorname{Hom}_R(M\otimes_RN,P) \cong \operatorname{Bil}_R(M,N;P). $$
この式の右辺は $M\times N\to P$ の $R$ 双線形写像の集合である。左から右へは $h\mapsto h\circ b$、右から左へは各双線形写像の一意な因子化を使う。テンソル積の元を形式的な記号 $m\otimes n$ の有限和で作る具体的構成はテンソル積の記事に譲る。ここで大切なのは、普遍性が「双線形」という非線形に見える入力を、加群からの線形射で表すことにある。
表現可能関手の立場では、積、自由対象、テンソル積の三例はいずれも射の集合でデータを表す。ただし積は反変の Hom、自由対象とテンソル積は共変の Hom が自然に現れる。普遍要素は、こうした表現の核になる指定した元または構造射を取り出して調べる記事である。本稿の「普遍性」は、それぞれの構成が満たす存在・一意性の主張全体を指す。

存在、自然性、使う圏

普遍性を実際に使うときは三つの確認が必要である。第一に、対象と構造射が存在するか。第二に、任意の試験対象に対し、要求した適合データを表す射がただ一つあるか。第三に、試験対象を射で変えたとき、対応が自然に振る舞うか。具体的な普遍性から得る Hom の全単射は自然性を満たすが、同じ濃度の集合の間に恣意的な全単射を置くだけでは足りない。
たとえば集合の積の証明では、$h(x)=(f(x),g(x))$ を実際に作って存在を示した。射影を合成して元を取り戻すことから一意性を示した。さらに $u:Y\to X$ を前合成した場合も
$$ \langle f,g\rangle\circ u =\langle f\circ u,g\circ u\rangle $$
となるので自然性がある。これらの確認をせず、単に $|P|=|A|\cdot|B|$ と数えるだけでは積の普遍性を証明したことにならない。
また、商群の例で述べたように、同じ台集合上での写像が存在しても、連続性や線形性、環準同型性が欠ければ別の圏での射にはならない。位相空間の積では、集合の直積に積位相を入れることで、射影と一意な組合せ写像が連続になる。単に集合の直積を作るだけでは、位相空間の積の存在証明は終わらない。構成する圏の射を守ることが、普遍性の実質である。
普遍性は対象を「最も大きい」「最も小さい」と日常語で呼ぶだけの性質でもない。積はすべての錐を受ける終対象、余積はすべての余錐から出る始対象として理解できるが、何を錐と呼ぶか、その射がどう構造を保つかを指定する必要がある。順序集合を圏と見れば始・終は最小・最大の概念に近づくが、一般の圏では単なる大小関係には還元されない。

条件を外したときの反例

普遍性の「存在」と「一意性」、構成に付けた条件、圏の指定のどれを欠いても、本記事の命題は成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
射の一意性（存在だけ）	集合 $A\times B\times\{0,1\}$ と成分射影	条件を満たす二つの対象は一意な同型で結ばれる
射の存在（一意性だけ）	$A,B\ne\emptyset$ に対する空集合 $\emptyset$ と空写像	任意の $f,g$ が一つの射にまとめられる
二つの部分が交わらない	$A=B=\{0\}$ の普通の和集合 $A\cup B=\{0\}$	和集合が余積になる
同値な点で値が等しい	$\mathbb Z$ の偶奇による商と $f(n)=n$	$f$ が商を経由する
射を連続写像に指定（積位相）	$\mathbb R\times\mathbb R$ に離散位相を入れたもの	位相空間の積の普遍性
試験対象がアーベル群	$S=\{s,t\}$、非可換群 $S_3$ への互換の割当て	自由アーベル群からの準同型への延長

表の反例の確かめ

一意性の欠けた候補。 $A,B$ を空でない集合とし、$P=A\times B\times\{0,1\}$、$p_A,p_B$ を第一・第二成分とする。$f,g$ に対し $h(x)=(f(x),g(x),0)$ と $h'(x)=(f(x),g(x),1)$ はどちらも条件を満たし、$X\ne\emptyset$ なら $h\ne h'$ である。$A,B$ が有限なら $P$ の元の個数は $A\times B$ の二倍なので、$P$ と $A\times B$ の間に同型（全単射）はない。一意性の証明で使った「$vu$ と $\mathrm{id}_P$ が同じ条件を満たすから等しい」が使えなくなる。
存在の欠けた候補。 $P=\emptyset$ とし、構造射を空写像とする。$X\to\emptyset$ の写像は高々一つなので一意性は成り立つ。しかし $X=\{*\}$ と $A,B$ の元を指す写像 $f,g$ に対し、$\{*\}\to\emptyset$ の写像はないので存在が破れる。
交わる和集合。 $X=\{0,1\}$、$f:A\to X$ を $0\mapsto0$、$g:B\to X$ を $0\mapsto1$ とする。$h:A\cup B\to X$ が $h\circ i_A=f$、$h\circ i_B=g$ を満たせば $h(0)=0$ かつ $h(0)=1$ となり矛盾する。
同値類で一定でない写像。 偶奇の同値関係で $0\sim2$ だが $f(0)=0\ne2=f(2)$ である。$f=\bar f\circ q$ なら $f(0)=\bar f(q(0))=\bar f(q(2))=f(2)$ となり矛盾する。
積位相でない位相。 $P$ を $\mathbb R\times\mathbb R$ に離散位相を入れた空間とすると、射影は連続である。通常の位相の $X=\mathbb R$ から $f=g=\operatorname{id}$ を取ると、条件を満たす写像は $h(x)=(x,x)$ だけだが、一点集合 $\{(0,0)\}$ は $P$ で開なのに逆像 $\{0\}$ は $\mathbb R$ で開でない。従って $h$ は連続でなく、位相空間の圏での存在が破れる。
非可換な試験対象。 自由アーベル群 $F(S)=\mathbb Z^2$ からの準同型の像は可換である。$a(s)=(1\,2)$、$a(t)=(2\,3)$ とすると $(1\,2)(2\,3)\ne(2\,3)(1\,2)$ だから、$h(e_s)=a(s)$、$h(e_t)=a(t)$ となる準同型 $h$ はない。自由アーベル群の普遍性は試験対象をアーベル群に限って述べた命題である。