Dioclesのシッソイド

段 1（$OS$）。$S$ は向き $\varphi$ の直線の上の点なので $S=OS\,(\cos\varphi,\ \sin\varphi)$ と書け（$\cos\varphi>0$ なので $S$ は $x>0$ の側、つまり向き $\varphi$ の半直線の上にある）、$x$ 座標が $2a$ だから $OS\cos\varphi=2a$、$OS=\dfrac{2a}{\cos\varphi}$ である。
段 2（$OR$）。$\varphi=0$ なら $R=K$ で $OR=2a=2a\cos0$ である。$\varphi\ne0$ のとき、$OK$ は $C$ の直径（$O$ と $K$ は中心 $(a,\ 0)$ からの距離がどちらも $a$ で、中心をはさんで反対側にある）で、$R$ は $C$ の上の $O$、$K$ 以外の点なので、$\angle ORK=90^\circ$ である（直径に対する円周角）。直角三角形 $ORK$ で $\angle KOR=\lvert\varphi\rvert$ だから、$OR=OK\cos\varphi=2a\cos\varphi$ である。$OR>0$ で、$R$ は $C$ の上にあって $x$ 座標が正なので、$R$ も向き $\varphi$ の半直線の上にある。
段 3（$RS$）。$0<\cos\varphi\le1$ から $OR=2a\cos\varphi\le2a\le\dfrac{2a}{\cos\varphi}=OS$ で、$R$ と $S$ は同じ半直線の上にあるので、$RS=OS-OR$ である。通分すると
$$ RS=\frac{2a}{\cos\varphi}-2a\cos\varphi=\frac{2a(1-\cos^2\varphi)}{\cos\varphi}=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi} $$
である。$\square$

段 1（(1) の $\varphi$ の式）。$\overrightarrow{RS}$ は向き $\varphi$ の半直線の上で $R$ から $S$ へ向かうベクトルなので、lem-ciss-dist から $\overrightarrow{RS}=RS\,(\cos\varphi,\ \sin\varphi)$ である。よって
$$ P=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}(\cos\varphi,\ \sin\varphi)=\left(2a\sin^2\varphi,\ \frac{2a\sin^3\varphi}{\cos\varphi}\right) $$
である。
段 2（(1) の $t$ の式）。$\tan\varphi$ は $\left(-\dfrac\pi2,\ \dfrac\pi2\right)$ で増加し、すべての実数の値をとるので、$t=\tan\varphi$ はすべての実数を動く。$1+\tan^2\varphi=\dfrac1{\cos^2\varphi}$ から $\cos^2\varphi=\dfrac1{1+t^2}$、$\sin^2\varphi=1-\cos^2\varphi=\dfrac{t^2}{1+t^2}$ である。よって $x=2a\sin^2\varphi=\dfrac{2at^2}{1+t^2}$、$y=2a\sin^2\varphi\cdot\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=x\,t=\dfrac{2at^3}{1+t^2}$ である。$y=tx$ なので、$P\ne O$（$t\ne0$）のとき直線 $OP$ の傾きは $t$ である。
段 3（(2) の必要性）。段 2 の点について、$2a-x=2a-\dfrac{2at^2}{1+t^2}=\dfrac{2a}{1+t^2}$ なので
$$ y^2(2a-x)=\frac{4a^2t^6}{(1+t^2)^2}\cdot\frac{2a}{1+t^2}=\frac{8a^3t^6}{(1+t^2)^3}=\left(\frac{2at^2}{1+t^2}\right)^3=x^3 $$
である。
段 4（(2) の十分性）。点 $(x,\ y)$ が $y^2(2a-x)=x^3$ を満たすとする。$x=2a$ なら左辺は $0$、右辺は $8a^3\ne0$ で成り立たないので、$x\ne2a$ である。$x>2a$ なら左辺は $0$ 以下、右辺は正で成り立たない。$x<0$ なら左辺は $0$ 以上（$2a-x>0$）、右辺は負で成り立たない。よって $0\le x<2a$ である。$x=0$ なら $2ay^2=0$ から $y=0$ で、点は原点、つまり $t=0$ の点である。$0< x<2a$ なら $t=\dfrac yx$ とおくと $y=tx$ で、式に代入して $x^2$ で割ると
$$ t^2(2a-x)=x,\qquad\text{すなわち}\qquad x=\frac{2at^2}{1+t^2} $$
となり、$y=tx=\dfrac{2at^3}{1+t^2}$ である。これは (1) の $t$ の点である。
段 5（(3)）。段 4 より $0\le x<2a$ である。$t$ を $-t$ に替えると $x$ は変わらず $y$ は符号が変わるので、$x$ 軸に関して対称である。$x=2a-\dfrac{2a}{1+t^2}$ なので $t\to\pm\infty$ のとき $x\to2a$ で、$\lvert y\rvert=\lvert t\rvert\,x\to\infty$ である。$\square$

段 1（交わる条件）。$K$ を通る傾き $-m$ の直線は $y=-m(x-2a)=m(2a-x)$ である。シッソイドの点は thm-ciss-eq (1) により媒介変数 $t$ の点 $\left(\dfrac{2at^2}{1+t^2},\ \dfrac{2at^3}{1+t^2}\right)$ で、上で見たように $y=t^3(2a-x)$ を満たす。よって、$t$ の点がこの直線の上にあるための必要十分条件は
$$ t^3(2a-x)=m(2a-x) $$
である。シッソイドの点では $2a-x=\dfrac{2a}{1+t^2}>0$ なので、両辺を $2a-x$ で割って、条件は $t^3=m$ となる。
段 2（ただ 1 点）。関数 $t\mapsto t^3$ は増加し、すべての実数の値をとるので、$t^3=m$ となる実数 $t$ は $t=\sqrt[3]m$ のただ 1 つである。prf-ciss-eq の段 4 で見たように、シッソイドの点は $t$ で 1 つずつ決まるので、交点 $P$ はただ 1 つである。
段 3（傾き）。$m>0$ より $t=\sqrt[3]m\ne0$ なので $P\ne O$ で、thm-ciss-eq (1) により直線 $OP$ の傾きは $t=\sqrt[3]m$ である。$\square$

段 1（範囲と積分）。thm-ciss-eq (2) から、$0\le x<2a$ でシッソイドの上半分は $y=\sqrt{\dfrac{x^3}{2a-x}}$、下半分はその符号を変えたもので、間の部分の面積は $x$ 軸で上下に分けて 2 倍すればよい。$0< X<2a$ について $\displaystyle J(X)=\int_0^X\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\,dx$ を求める。
段 2（置換）。thm-ciss-eq (1) の $x=2a\sin^2\varphi$ にならって、$x=2a\sin^2u$（$0\le u<\dfrac\pi2$）とおく（置換積分の使い方）。$u$ が $0$ から $\dfrac\pi2$ に近づくとき $x$ は $0$ から $2a$ に近づき、$X=2a\sin^2U$ となる $U$（$0< U<\dfrac\pi2$）がただ 1 つある。$dx=4a\sin u\cos u\,du$ で、$2a-x=2a\cos^2u$ なので、$\sin u\ge0$、$\cos u>0$ に注意して
$$ \sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}=\sqrt{\frac{8a^3\sin^6u}{2a\cos^2u}}=\frac{2a\sin^3u}{\cos u} $$
である。よって
$$ J(X)=\int_0^U\frac{2a\sin^3u}{\cos u}\cdot4a\sin u\cos u\,du=8a^2\int_0^U\sin^4u\,du $$
となる。
段 3（$\sin^4u$ の積分）。半角の公式 $\sin^2u=\dfrac{1-\cos2u}2$、$\cos^22u=\dfrac{1+\cos4u}2$ を使うと
$$ \sin^4u=\frac{(1-\cos2u)^2}4=\frac{1-2\cos2u+\cos^22u}4=\frac{3-4\cos2u+\cos4u}8 $$
なので
$$ \int_0^U\sin^4u\,du=\frac18\left(3U-2\sin2U+\frac14\sin4U\right) $$
である。
段 4（極限）。$X\to2a-0$ のとき $U\to\dfrac\pi2-0$ で、$\sin2U\to\sin\pi=0$、$\sin4U\to\sin2\pi=0$ だから
$$ J(X)\to8a^2\cdot\frac18\cdot\frac{3\pi}2=\frac{3\pi a^2}2 $$
である。面積はその 2 倍で $\boxed{3\pi a^2}$ である。$\square$