1次元Sobolev空間

$J=(c,d)$ を $I$ に含まれる有界な開区間とする。$J$ の測度は有限なので、Hölderの不等式 から $L^p(J)\subset L^1(J)$ であり、$u|_J,u'|_J\in L^1(J)$ である。$C_c^1(J)\subset C_c^1(I)$ なので、$u|_J\in W^{1,1}(J)$ で弱導関数は $u'|_J$ である。絶対連続関数 の定理「$W^{1,1}$ との一致」により、$[c,d]$ 上の絶対連続関数 $f_J$ で、$J$ の上でほとんど至る所 $u=f_J$ となるものがある。同定理の証明（必要性）のとおり、$f_J$ は $x\mapsto\int_c^xu'$ に定数を足したものにとれる（このような連続関数は 1 つしかないことを次の段落で示す）ので、$f_J(x)-f_J(y)=\int_y^xu'$（$x,y\in[c,d]$）である。
連続関数どうしが開区間の上でほとんど至る所等しければ、その開区間の上で至る所等しい（差が $0$ でない点があれば、その近くの正の測度の集合で差が $0$ でない）。端点では連続性から等しい。したがって $J_1\subset J_2$ なら $f_{J_1}$ は $f_{J_2}$ の $\overline{J_1}$ への制限である。$x\in\overline I$ を閉包に含む有界な開区間 $J_1,J_2\subset I$ があれば、$J_1\cup J_2\cup\{x\}$ は区間なので、その内部 $J$ は両方を含む有界な開区間で $J\subset I$ であり、$f_{J_1}(x)=f_J(x)=f_{J_2}(x)$ である。そこで $\tilde u(x):=f_J(x)$（$J$ は $x$ を閉包に含む有界な開区間）とおけば、$J$ のとり方によらない。$x$ の $\overline I$ での近傍の上で $\tilde u$ は 1 つの $f_J$ に等しいので、$\tilde u$ は連続である。等式は $x,y$ を閉包に含む 1 つの $J$ の上で成り立ち、一意性は最初に述べた理由による。$\square$

$u\in W^{1,\infty}(I)$ なら、thm-sob1-continuous-representative から $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\le\bigl|\int_y^x|u'|\bigr|\le\|u'\|_{L^\infty}|x-y|$ である。逆に $u=f$ a.e. で $f$ が定数 $L$ で Lipschitz 連続とする。$I$ に含まれる有界な開区間 $J$ の上で $f$ は絶対連続であり（絶対連続関数 の命題「基本性質」の 1）、ほとんど至る所微分可能で $|f'|\le L$ である（微分可能性は 単調関数 の定理「Lebesgue の単調関数の微分定理」により、この記事では証明しない。$|f'|\le L$ は差分商の絶対値が $L$ 以下であることから従う）。$g:=f'$ とおくと $g\in L^\infty(I)$ である。$\varphi\in C_c^1(I)$ の台を含む有界な開区間 $J$ をとると、同記事の定理「$W^{1,1}$ との一致」から $\int_Ju\varphi'=-\int_Jg\varphi$ であり、$u\in W^{1,\infty}(I)$、$u'=g$、$\|u'\|_{L^\infty}\le L$ である。2 つの評価から最後の主張が従う。$\square$

2：thm-sob1-continuous-representative の等式と Hölderの不等式 から $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\le\bigl|\int_y^x|u'|\bigr|\le\|u'\|_{L^p}|x-y|^{1/p'}$ である。
1：$\ell:=\min(1,|I|)$ とおき、$x\in\overline I$ を閉包に含む長さ $\ell$ の開区間 $J\subset I$ をとる。$y\in J$ について $|\tilde u(x)|\le|\tilde u(y)|+\int_J|u'|$ であり、$y$ について $J$ の上で平均すると、Hölder の不等式から
$$ |\tilde u(x)|\le\frac1\ell\int_J|u|+\int_J|u'|\le\ell^{-1/p}\|u\|_{L^p}+\ell^{1/p'}\|u'\|_{L^p} $$
である。$\ell\le1$ なので $\ell^{-1/p}\le\ell^{-1}=C_I$、$\ell^{1/p'}\le1\le C_I$ であり、1 を得る。$\square$

$x\ge a+1$ について、$u$ を $(x,x+1)$ に制限した関数は $W^{1,p}((x,x+1))$ に属する。長さ $1$ の区間に thm-sob1-sup-bound の 1 を使うと
$$ |\tilde u(x)|\le\|u\|_{L^p(x,x+1)}+\|u'\|_{L^p(x,x+1)} $$
である。$|u|^p,|u'|^p$ は $I$ で可積分なので、Lebesgueの優収束定理 により右辺は $x\to\infty$ で $0$ に収束する。$\square$

$\|u\|_{W^{1,p}}\le K$（$u\in B$）とする。thm-sob1-sup-bound の 1 から $|\tilde u|\le C_IK$ であり、2 から $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\le K|x-y|^{1-1/p}$ である。$1-1/p>0$ なので、族は一様有界かつ同程度連続であり、$\overline I$ はコンパクトなので、Arzelà–Ascoliの定理 の系「相対コンパクト性の判定」から相対コンパクトである。$\square$

$I$ は有界なので、Hölderの不等式 から $\|v\|_{L^1(I)}\le|I|^{1-1/p}\|v\|_{L^p(I)}$ であり、$W^{1,p}(I)$ の有界集合は $W^{1,1}(I)$ でも有界である。そこで $p=1$ の場合を示せばよい。$(u_n)$ を $\|u_n\|_{W^{1,1}}\le K$ となる列とする。thm-sob1-sup-bound の 1 から、$\overline I$ の上で $\lvert\tilde u_n\rvert\le C_IK$ である。Hellyの選出定理 の系「$W^{1,1}$ の有界列の各点収束」により、部分列 $(u_{n_k})$ で $\tilde u_{n_k}$ が $\overline I$ の各点で収束するものがある。その極限を $v$ とすると $v$ は可測で $\lvert v\rvert\le C_IK$ であり、$\lvert\tilde u_{n_k}-v\rvert^q\le(2C_IK)^q$ と $\lvert I\rvert<\infty$ から、優収束定理 により $\|u_{n_k}-v\|_{L^q(I)}\to0$ である。よって $L^q(I)$ の中で、どの列も収束する部分列をもつ。$\square$

必要性：$\varphi_j\in C_c^1(I)$ を $W^{1,p}(I)$ で $u$ に収束する列とする。$\varphi_j$ の連続な代表は $\varphi_j$ を $\overline I$ へ延ばしたもので、有限な端点では台の外なので $0$ である。thm-sob1-sup-bound の 1 を $\varphi_j-u$ に使うと $\sup_{\overline I}|\varphi_j-\tilde u|\le C_I\|\varphi_j-u\|_{W^{1,p}}\to0$ なので、有限な端点で $\tilde u=0$ である。
十分性：$\tilde u$ は $\overline I$ の上で連続であり、$I$ の境界は有限な端点の集合である。零境界Sobolev空間 の定理「境界で $0$ になる連続関数」の 1 は任意の開集合について成り立つので、$n=1$、$\Omega=I$ として $u\in W^{1,p}_0(I)$ を得る。$I=\mathbb{R}$ なら境界は空なので、条件は自動的にみたされる。$\square$

$u\in W^{1,p}_0(I)$ なら $\bar u\in W^{1,p}(\mathbb{R})$ である（零境界Sobolev空間 の命題「零延長」）。逆に $\bar u\in W^{1,p}(\mathbb{R})$ とし、その $\mathbb{R}$ 上の連続な代表を $v$ とする。$\varphi\in C_c^1(I)$ は $\mathbb{R}$ の試験関数でもあるので、$u=\bar u|_I\in W^{1,p}(I)$ であり、$u$ の連続な代表は $v|_{\overline I}$ である。有限な端点 $c$ の外側（たとえば $c=a$ なら $(a-1,a)$）では $\bar u=0$ がほとんど至る所成り立つので、そこで $v=0$ であり、連続性から $v(c)=0$ である。thm-sob1-zero-boundary により $u\in W^{1,p}_0(I)$ である。$\square$

$u$ は $[0,1]$ で連続、$(0,1]$ で $C^1$ 級で $u'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ は $(0,1)$ で可積分なので、$0< c< x$ について $u(x)-u(c)=\int_c^xu'$ から $c\to0$ として $u(x)=\int_0^xu'$ である。絶対連続関数 の定理「絶対連続関数と不定積分」と「$W^{1,1}$ との一致」により、$u\in W^{1,1}(0,1)$ で弱導関数は $\alpha x^{\alpha-1}$ である。弱導関数は一意なので、$u\in W^{1,p}$ であることは $x^{\alpha-1}\in L^p(0,1)$ と同値であり、これは $p< \infty$ なら $p(\alpha-1)>-1$、$p=\infty$ なら $\alpha\ge1$ と同値である。$\square$