Marcinkiewiczの補間定理

Chebyshevの不等式により
$$ t^q d_{Tf}(t) \leq\int_{\{|Tf|>t\}}|Tf|^q\,d\nu \leq\|Tf\|_q^q \leq B_q^q\|f\|_q^q. $$
両辺の $q$ 乗根を取り、$t>0$ について上限を取ればよい。

$|g(y)+h(y)|>t$ なら $|g(y)|>t/2$ または $|h(y)|>t/2$ である（どちらも成り立たなければ $|g+h|\leq|g|+|h|\leq t$）。よって
$$ \{|g+h|>t\}\subset\{|g|>t/2\}\cup\{|h|>t/2\} $$
であり、測度の劣加法性から第一の不等式を得る。定義から $d_g(s)\leq\|g\|_{L^{q,\infty}}^q s^{-q}$ だから、$s=t/2$ として
$$ t^q d_{g+h}(t)\leq 2^q\left(\|g\|_{L^{q,\infty}}^q+\|h\|_{L^{q,\infty}}^q\right) \leq2^q\left(\|g\|_{L^{q,\infty}}+\|h\|_{L^{q,\infty}}\right)^q $$
である。最後の不等式は $a,b\geq0$、$q\geq1$ で $a^q+b^q\leq(a+b)^q$ となることによる。$q$ 乗根をとり $t>0$ について上限をとれば第二の不等式を得る。スカラー倍については $d_{cg}(t)=d_g(t/|c|)$（$c\neq0$）から $\|cg\|_{L^{q,\infty}}=|c|\|g\|_{L^{q,\infty}}$ である。$\square$

各 $y\in Y$ について
$$ |g(y)|^p=\int_0^{|g(y)|}pt^{p-1}\,dt =\int_0^\infty pt^{p-1}1_{\{|g(y)|>t\}}\,dt. $$
ある $t_0>0$ で $d_g(t_0)=\infty$ なら、左辺は $t_0^pd_g(t_0)=\infty$ 以上であり、右辺も $d_g$ が非増加なので $(0,t_0)$ で被積分関数が $\infty$ となり、両辺とも $\infty$ である。そこで $d_g(t)<\infty$（$t>0$）とする。このとき $\{g\neq0\}=\bigcup_n\{|g|>1/n\}$ は有限測度の集合の可算和なので、$\nu$ をこの集合に制限すれば σ-有限であり、被積分関数は非負なので、Tonelliの定理により積分順序を交換できる。したがって
$$ \int_Y|g|^p\,d\nu =p\int_0^\infty t^{p-1} \left(\int_Y1_{\{|g(y)|>t\}}\,d\nu(y)\right)dt =p\int_0^\infty t^{p-1}d_g(t)\,dt. $$

$f\in L^p(X)$ だから $\{f\neq0\}=\bigcup_n\{|f|>1/n\}$ は σ-有限であり、$\mu$ をこの集合に制限して Tonelliの定理を使うと、第一式の左辺は
$$ \begin{aligned} \int_X|f(x)|^{p_0} \left(\int_0^{|f(x)|/c}t^{p-p_0-1}\,dt\right)d\mu(x) &=\frac{c^{-(p-p_0)}}{p-p_0} \int_X|f(x)|^p\,d\mu(x). \end{aligned} $$
同様に第二式の左辺は
$$ \begin{aligned} \int_X|f(x)|^{p_1} \left(\int_{|f(x)|/c}^{\infty}t^{p-p_1-1}\,dt\right)d\mu(x) &=\frac{c^{p_1-p}}{p_1-p} \int_X|f(x)|^p\,d\mu(x). \end{aligned} $$
$p_0< p< p_1$ なので、現れた二つの広義積分は収束する。

まず $p_1<\infty$ とする。$f\in L^p(X)$ と $t>0$ に対し、正数 $c$ は後で選ぶことにして
$$ f=f_{0,t}+f_{1,t}, \qquad f_{0,t}=f1_{\{|f|>ct\}}, \qquad f_{1,t}=f1_{\{|f|\leq ct\}} $$
と分解する。$p_0< p< p_1$ より $f_{0,t}\in L^{p_0}(X)$、$f_{1,t}\in L^{p_1}(X)$ である。準線形性から
$$ \{|Tf|>t\} \subset \left\{|Tf_{0,t}|>\frac{t}{2K}\right\} \cup \left\{|Tf_{1,t}|>\frac{t}{2K}\right\}. $$
二つの弱型評価を適用すると
$$ d_{Tf}(t) \leq \left(\frac{2KA_0}{t}\right)^{p_0}\|f_{0,t}\|_{p_0}^{p_0} + \left(\frac{2KA_1}{t}\right)^{p_1}\|f_{1,t}\|_{p_1}^{p_1}. $$
分布関数によるノルム公式と切断公式により
$$ \begin{aligned} \|Tf\|_p^p &\leq p\left[ \frac{(2KA_0)^{p_0}c^{-(p-p_0)}}{p-p_0} + \frac{(2KA_1)^{p_1}c^{p_1-p}}{p_1-p} \right]\|f\|_p^p. \end{aligned} $$
ここで
$$ c:=\frac1{2K} \left(\frac{A_0^{p_0}}{A_1^{p_1}}\right)^{1/(p_1-p_0)} $$
と選ぶ。補間関係から
$$ p(1-\theta)=\frac{p_0(p_1-p)}{p_1-p_0}, \qquad p\theta=\frac{p_1(p-p_0)}{p_1-p_0} $$
であるため、前の評価は
$$ \|Tf\|_p^p \leq p(2K)^p \left(\frac1{p-p_0}+\frac1{p_1-p}\right) A_0^{p(1-\theta)}A_1^{p\theta}\|f\|_p^p $$
となる。$p$ 乗根を取れば有限な上端指数の場合の結論を得る。
次に $p_1=\infty$ とする。このとき $1-\theta=p_0/p$ である。$t>0$ に対して
$$ s:=\frac{t}{2KA_1}, \qquad f_{0,t}:=f1_{\{|f|>s\}}, \qquad f_{1,t}:=f1_{\{|f|\leq s\}} $$
とおく。$\|Tf_{1,t}\|_\infty\leq A_1\|f_{1,t}\|_\infty\leq t/(2K)$ なので、準線形性から
$$ d_{Tf}(t) \leq d_{Tf_{0,t}}\left(\frac{t}{2K}\right) \leq \left(\frac{2KA_0}{t}\right)^{p_0} \int_{\{|f|>t/(2KA_1)\}}|f|^{p_0}\,d\mu. $$
分布関数によるノルム公式を使い、非負積分の順序を交換すると
$$ \begin{aligned} \|Tf\|_p^p &\leq p(2KA_0)^{p_0} \int_X|f(x)|^{p_0} \left(\int_0^{2KA_1|f(x)|}t^{p-p_0-1}\,dt\right)d\mu(x)\\ &=\frac{p(2K)^p}{p-p_0} A_0^{p_0}A_1^{p-p_0}\|f\|_p^p. \end{aligned} $$
$p_0=p(1-\theta)$ と $p-p_0=p\theta$ を用いて $p$ 乗根を取れば、$p_1=\infty$ の結論を得る。