Marcinkiewiczの補間定理
概要
Marcinkiewiczの補間定理（Marcinkiewicz interpolation theorem）とは、準線形作用素が二つの端点指数で弱型評価をもつとき、その間の指数で強型評価を与える実補間定理である。測度空間に有限性を要求せず、端点定数を補間係数で幾何平均した評価が得られる。Hardy--Littlewood極大作用素の弱 $(1,1)$ 型と強 $(\infty,\infty)$ 型から強 $(p,p)$ 型を導くのが代表例である。
前提知識: 測度, Lp空間, Hölderの不等式, Tonelliの定理
二つの弱型評価から中間の強型評価へ
作用素が $L^1$ から $L^1$ へ有界でなくても、値が大きくなる集合の測度だけは制御できることがある。Marcinkiewiczの補間定理は、このような弱型評価が二つの指数で得られれば、その間の指数では通常の $L^p$ ノルム評価が得られることを示す。複素補間と違って線形性を必要とせず、準線形作用素にも適用できる。
分布関数、弱型、強型
$(X,\mu)$ と $(Y,\nu)$ を測度空間とする。関数はほとんど至るところ等しいものを同一視する。
$Y$ 上の可測関数 $g$ に対し
$$
d_g(t):=\nu(\{y\in Y\mid |g(y)|>t\})\qquad(t>0)
$$
を分布関数という。$0< q<\infty$ に対して
$$
\|g\|_{L^{q,\infty}(Y)}
:=\sup_{t>0}t\,d_g(t)^{1/q}
$$
と定める。これが有限な関数全体を弱 $L^q$ 空間 $L^{q,\infty}(Y)$ という。$q=\infty$ では $L^{\infty,\infty}(Y)=L^\infty(Y)$ とする。
$q<1$ にも同じ式は定義できるが、本記事ではBanach空間としての $L^p$ を用いる標準的な範囲 $q\geq1$ に限定する。
$\mathcal D$ を可測関数の線形空間とする。$T\colon\mathcal D\to L^0(Y)$ が定数 $K\geq1$ に関して準線形であるとは、任意の $f,g\in\mathcal D$ と $c\in\mathbb C$ に対し
$$
|T(f+g)|\leq K(|Tf|+|Tg|),
\qquad
|T(cf)|=|c|\,|Tf|
$$
が $\nu$-ほとんど至るところ成り立つことをいう。$K=1$ の場合を劣線形という。
$1\leq q<\infty$ とする。$T$ が弱 $(q,q)$ 型で定数 $A_q$ をもつとは、任意の $f\in\mathcal D\cap L^q(X)$ と $t>0$ に対して
$$
d_{Tf}(t)\leq\left(\frac{A_q\|f\|_{L^q(X)}}{t}\right)^q
$$
が成り立つことをいう。$q=\infty$ では $\|Tf\|_\infty\leq A_\infty\|f\|_\infty$ を弱 $(\infty,\infty)$ 型と呼ぶ。
一方、$T$ が強 $(q,q)$ 型で定数 $B_q$ をもつとは
$$
\|Tf\|_{L^q(Y)}\leq B_q\|f\|_{L^q(X)}
$$
が成り立つことをいう。
$1\leq q<\infty$ について、$T$ が強 $(q,q)$ 型で定数 $B_q$ をもてば、同じ定数で弱 $(q,q)$ 型である。
Chebyshevの不等式により
$$
t^q d_{Tf}(t)
\leq\int_{\{|Tf|>t\}}|Tf|^q\,d\nu
\leq\|Tf\|_q^q
\leq B_q^q\|f\|_q^q.
$$
両辺の $q$ 乗根を取り、$t>0$ について上限を取ればよい。
$1\leq q<\infty$ とし、$(0,1)$ 上で $g(x)=x^{-1/q}$ とおく。$t\geq1$ では
$$
|\{x\in(0,1)\mid g(x)>t\}|=t^{-q},
$$
$0< t<1$ ではこの測度は $1$ なので、$\|g\|_{L^{q,\infty}}=1$ である。一方、
$$
\int_0^1|g(x)|^q\,dx=\int_0^1\frac{dx}{x}=\infty.
$$
したがって $g\in L^{q,\infty}(0,1)\setminus L^q(0,1)$ である。弱型評価だけから同じ端点で強型評価が従うわけではない。
証明に使う二つの積分公式
$0< p<\infty$ とし、$g$ を $Y$ 上の可測関数とする。このとき両辺が $[0,\infty]$ に値をもつ等式として
$$
\|g\|_{L^p(Y)}^p
=p\int_0^\infty t^{p-1}d_g(t)\,dt
$$
が成り立つ。
各 $y\in Y$ について
$$
|g(y)|^p=\int_0^{|g(y)|}pt^{p-1}\,dt
=\int_0^\infty pt^{p-1}1_{\{|g(y)|>t\}}\,dt.
$$
被積分関数は非負なので、Tonelliの定理により積分順序を交換できる。したがって
$$
\int_Y|g|^p\,d\nu
=p\int_0^\infty t^{p-1}
\left(\int_Y1_{\{|g(y)|>t\}}\,d\nu(y)\right)dt
=p\int_0^\infty t^{p-1}d_g(t)\,dt.
$$
$1\leq p_0< p< p_1<\infty$、$f\in L^p(X)$、$c>0$ とする。$t>0$ ごとに
$$
f_{0,t}:=f1_{\{|f|>ct\}},
\qquad
f_{1,t}:=f1_{\{|f|\leq ct\}}
$$
とおく。このとき
$$
\int_0^\infty t^{p-p_0-1}\|f_{0,t}\|_{p_0}^{p_0}\,dt
=\frac{c^{-(p-p_0)}}{p-p_0}\|f\|_p^p,
$$
$$
\int_0^\infty t^{p-p_1-1}\|f_{1,t}\|_{p_1}^{p_1}\,dt
=\frac{c^{p_1-p}}{p_1-p}\|f\|_p^p.
$$
Tonelliの定理を使うと、第一式の左辺は
$$
\begin{aligned}
\int_X|f(x)|^{p_0}
\left(\int_0^{|f(x)|/c}t^{p-p_0-1}\,dt\right)d\mu(x)
&=\frac{c^{-(p-p_0)}}{p-p_0}
\int_X|f(x)|^p\,d\mu(x).
\end{aligned}
$$
同様に第二式の左辺は
$$
\begin{aligned}
\int_X|f(x)|^{p_1}
\left(\int_{|f(x)|/c}^{\infty}t^{p-p_1-1}\,dt\right)d\mu(x)
&=\frac{c^{p_1-p}}{p_1-p}
\int_X|f(x)|^p\,d\mu(x).
\end{aligned}
$$
$p_0< p< p_1$ なので、現れた二つの広義積分は収束する。
Marcinkiewiczの補間定理
$1\leq p_0< p_1\leq\infty$ とし、$T$ を
$$
\mathcal D=L^{p_0}(X)+L^{p_1}(X)
$$
上の $K$-準線形作用素とする。$T$ が弱 $(p_0,p_0)$ 型で定数 $A_0>0$、弱 $(p_1,p_1)$ 型で定数 $A_1>0$ をもつと仮定する。
$p_0< p< p_1$ を取り、
$$
\frac1p=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1},
\qquad 0<\theta<1
$$
とする。ここで $p_1=\infty$ のときは $1/p_1=0$ とする。このとき $T$ は強 $(p,p)$ 型であり、
$$
\|Tf\|_{L^p(Y)}
\leq C_{p_0,p,p_1,K}
A_0^{1-\theta}A_1^\theta\|f\|_{L^p(X)}
$$
が成り立つ。$p_1<\infty$ なら
$$
C_{p_0,p,p_1,K}
=2K\left[p\left(\frac1{p-p_0}+\frac1{p_1-p}\right)\right]^{1/p},
$$
$p_1=\infty$ なら
$$
C_{p_0,p,\infty,K}
=2K\left(\frac{p}{p-p_0}\right)^{1/p}
$$
と取れる。
まず $p_1<\infty$ とする。$f\in L^p(X)$ と $t>0$ に対し、正数 $c$ は後で選ぶことにして
$$
f=f_{0,t}+f_{1,t},
\qquad
f_{0,t}=f1_{\{|f|>ct\}},
\qquad
f_{1,t}=f1_{\{|f|\leq ct\}}
$$
と分解する。$p_0< p< p_1$ より $f_{0,t}\in L^{p_0}(X)$、$f_{1,t}\in L^{p_1}(X)$ である。準線形性から
$$
\{|Tf|>t\}
\subset
\left\{|Tf_{0,t}|>\frac{t}{2K}\right\}
\cup
\left\{|Tf_{1,t}|>\frac{t}{2K}\right\}.
$$
二つの弱型評価を適用すると
$$
d_{Tf}(t)
\leq
\left(\frac{2KA_0}{t}\right)^{p_0}\|f_{0,t}\|_{p_0}^{p_0}
+
\left(\frac{2KA_1}{t}\right)^{p_1}\|f_{1,t}\|_{p_1}^{p_1}.
$$
分布関数によるノルム公式と切断公式により
$$
\begin{aligned}
\|Tf\|_p^p
&\leq p\left[
\frac{(2KA_0)^{p_0}c^{-(p-p_0)}}{p-p_0}
+
\frac{(2KA_1)^{p_1}c^{p_1-p}}{p_1-p}
\right]\|f\|_p^p.
\end{aligned}
$$
ここで
$$
c:=\frac1{2K}
\left(\frac{A_0^{p_0}}{A_1^{p_1}}\right)^{1/(p_1-p_0)}
$$
と選ぶ。補間関係から
$$
p(1-\theta)=\frac{p_0(p_1-p)}{p_1-p_0},
\qquad
p\theta=\frac{p_1(p-p_0)}{p_1-p_0}
$$
であるため、前の評価は
$$
\|Tf\|_p^p
\leq
p(2K)^p
\left(\frac1{p-p_0}+\frac1{p_1-p}\right)
A_0^{p(1-\theta)}A_1^{p\theta}\|f\|_p^p
$$
となる。$p$ 乗根を取れば有限な上端指数の場合の結論を得る。
次に $p_1=\infty$ とする。このとき $1-\theta=p_0/p$ である。$t>0$ に対して
$$
s:=\frac{t}{2KA_1},
\qquad
f_{0,t}:=f1_{\{|f|>s\}},
\qquad
f_{1,t}:=f1_{\{|f|\leq s\}}
$$
とおく。$\|Tf_{1,t}\|_\infty\leq A_1\|f_{1,t}\|_\infty\leq t/(2K)$ なので、準線形性から
$$
d_{Tf}(t)
\leq
d_{Tf_{0,t}}\left(\frac{t}{2K}\right)
\leq
\left(\frac{2KA_0}{t}\right)^{p_0}
\int_{\{|f|>t/(2KA_1)\}}|f|^{p_0}\,d\mu.
$$
分布関数によるノルム公式を使い、非負積分の順序を交換すると
$$
\begin{aligned}
\|Tf\|_p^p
&\leq p(2KA_0)^{p_0}
\int_X|f(x)|^{p_0}
\left(\int_0^{2KA_1|f(x)|}t^{p-p_0-1}\,dt\right)d\mu(x)\\
&=\frac{p(2K)^p}{p-p_0}
A_0^{p_0}A_1^{p-p_0}\|f\|_p^p.
\end{aligned}
$$
$p_0=p(1-\theta)$ と $p-p_0=p\theta$ を用いて $p$ 乗根を取れば、$p_1=\infty$ の結論を得る。
上の証明は、同じ指数を始域と終域に用いる対角版である。この版と、弱型・強型の定義およびHardy--Littlewood極大作用素への応用は Fol99 Chapter 6 を参照。始域側の二指数と終域側の二指数が異なる非対角版もあるが、指数の順序と凸性条件が増えるため、本記事の定理文へ無条件には混ぜない。
端点と応用
定理の結論は開区間 $p_0< p< p_1$ に限られる。端点 $p=p_0$ または $p=p_1$ では仮定どおりの弱型しか得られず、一般には強型へ改善できない。
$\mathbb R$ 上の中心付きHardy--Littlewood極大作用素
$$
Mf(x):=\sup_{r>0}\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}|f(y)|\,dy
$$
を考える。$f=1_{(0,1)}$ とすると、$x>1$ に対して $r=x$ を選べば
$$
Mf(x)\geq\frac1{2x}.
$$
したがって $\int_1^\infty Mf(x)\,dx=\infty$ であり、$M$ は強 $(1,1)$ 型ではない。一方、$M$ は弱 $(1,1)$ 型であり強 $(\infty,\infty)$ 型である。この反例は、補間定理の結論を端点 $p=1$ まで延長できないことを示す。弱 $(1,1)$ 型評価の証明は Fol99 Chapter 3 を参照。
$M$ は劣線形で、ある次元だけに依存する定数 $A_n$ により弱 $(1,1)$ 型、定数 $1$ で強 $(\infty,\infty)$ 型である。したがってMarcinkiewiczの補間定理から、任意の $1< p<\infty$ に対して
$$
\|Mf\|_{L^p(\mathbb R^n)}
\leq C_{n,p}\|f\|_{L^p(\mathbb R^n)}
$$
が得られる。定理の定数表示から、$C_{n,p}$ が端点 $p\downarrow1$ で発散し得ることも読み取れる。
仮定を読むときの注意
- 測度空間に有限測度、$\sigma$-有限性、位相構造は仮定していない。証明は非負関数に対するTonelliの定理だけを使う。
- 線形性は不要だが、準線形定数 $K$ は最終定数へ線形に入る。
- 弱型の定数 $A_0,A_1$ は、補間係数に従って $A_0^{1-\theta}A_1^\theta$ の形で現れる。
- $p_1=\infty$ では「弱 $L^\infty$」を通常の $L^\infty$ と定義している。
- 定理の定義域を $L^{p_0}+L^{p_1}$ としたことで、中間の $f\in L^p$ を大きい値と小さい値に切断した両部分へ $T$ を適用できる。
- 非対角版、Lorentz空間版、ベクトル値版には別の指数条件がある。本記事の定数や証明をそのまま転用してはならない。
関連項目
- 前提: Lp空間, Chebyshevの不等式, Tonelliの定理
- 比較: Riesz--Thorinの補間定理, 実補間法, Lorentz空間
- 直後に読む: Hardy--Littlewood極大作用素, 弱Lp空間
- 応用: 特異積分作用素, Fourier乗作用素, Sobolev不等式
参考文献
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