錐体の体積とHilbertの第3問題

方針：底面の点と頂点を結ぶ線分が、平面 $\alpha_t$ とどこで交わるかを調べる。
段 1（線分と平面の交点）。底面の点 $X$ をとる。線分 $AX$ 上の点は $Y=A+s(X-A)$（$0\le s\le1$）と書ける。$Y$ から、$A$ を通って底面に平行な平面までの距離は、$s$ に比例して $0$ から $h$ まで増えるので $sh$ である。よって $Y$ が $\alpha_t$ 上にあるのは $sh=t$、つまり $s=\dfrac th$ のときに限る。
段 2（断面は縮小図形）。段 1 により、断面の点は $A+\dfrac th(X-A)$（$X\in F$）の形の点であり、逆にこの形の点はすべて錐体の点で $\alpha_t$ 上にある。これは、$F$ を $A$ を中心に $\dfrac th$ 倍に縮小（相似拡大）した図形である。
段 3（面積）。相似比 $k$ の平面図形の面積は $k^2$ 倍になる。$k=\dfrac th$ として、断面積は $\left(\dfrac th\right)^2B$ である。$\square$

方針：2 つの錐体を、底面が同じ平面に乗り、頂点が同じ側にくるように置き、同じ高さの断面積を比べる。
段 1（置き方）。2 つの錐体を動かして、どちらも底面が平面 $z=0$ 上にあり、頂点が平面 $z=h$ 上にあるようにする。動かしても体積は変わらない。
段 2（断面積）。平面 $z=c$（$0\le c\le h$）は、どちらの錐体でも頂点からの距離が $h-c$ の、底面に平行な平面である。lem-pyv-section により、断面積はどちらも $\left(\dfrac{h-c}h\right)^2B$ で等しい。$c<0$ や $c>h$ では、どちらの断面も空である。
段 3（結論）。断面積は $c$ の連続関数で、各位置で等しいので、Cavalieri の原理により体積は等しい。$\square$

方針：分割になっていることを確かめ、lem-pyv-equal を 2 回使って、3 つの体積が等しいことを示す。
段 1（分割）。三角柱の点は、$A$ を原点とする斜めの座標 $A+u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}+r\vec w$（$u,v\ge0$、$u+v\le1$、$0\le r\le1$）で表せる。$A,B,C,D,E,F$ の座標 $(u,v,r)$ は $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ である。各四面体の 4 つの面を求めると、$ABCF$ の面は $r=0$、$u=0$、$r=v$（面 $ABF$）、$u+v=1$（面 $BCF$）、$ADEF$ の面は $r=1$、$u=0$、$v=0$、$r=u+v$（面 $AEF$）、$ABEF$ の面は $v=0$、$r=v$、$r=u+v$、$u+v=1$ である。したがって三角柱の中で、$ABCF$ は $r\le v$、$ABEF$ は $v\le r\le u+v$、$ADEF$ は $u+v\le r$ を満たす部分である。三角柱のどの点も、$r$ と $v$、$u+v$（$v\le u+v$）の大小によってこのどれかに入り、2 つに同時に入るのは等号 $r=v$ または $r=u+v$ が成り立つ平面上の点だけである。
段 2（$ABCF$ と $ADEF$）。$ABCF$ を底面 $ABC$、頂点 $F$ の四面体とみる。$ADEF$ を底面 $DEF$、頂点 $A$ の四面体とみる。$DEF$ は $ABC$ の平行移動なので底面積は等しい。高さはどちらも、平行な 2 平面 $ABC$ と $DEF$ の距離である。lem-pyv-equal により体積は等しい。
段 3（$ABEF$ と $ADEF$）。どちらも頂点 $F$ の四面体とみる。底面はそれぞれ三角形 $ABE$ と $ADE$ で、これは平行四辺形 $ABED$ を対角線 $AE$ で 2 つに分けたものなので、面積は等しい。底面は同じ平面 $ABED$ 上にあるので、高さはどちらも $F$ とこの平面の距離である。lem-pyv-equal により体積は等しい。
段 4（結論）。3 つの体積は等しく、和は三角柱の体積なので、どれも三角柱の $\dfrac13$ である。$\square$

方針：lem-pyv-equal で、底面積と高さが同じ四面体に取り替え、その四面体を三角柱の $\dfrac13$ として求める。
段 1（四面体に取り替える）。平面 $z=0$ 上に面積 $B$ の三角形 $ABC$ をとり、$\vec w=(0,0,h)$ として $D,E,F$ を定める。四面体 $ABCF$ は底面積 $B$、高さ $h$ の錐体である。lem-pyv-equal により、与えられた錐体の体積は $ABCF$ の体積に等しい。
段 2（三角柱の体積）。三角柱 $ABC\text{-}DEF$ は、どの高さ $z$（$0\le z\le h$）で切っても断面が三角形 $ABC$ の平行移動で、面積 $B$ である。よって体積は $Bh$ である（体積と回転体 の例「斜めの柱と錐」の (1)）。
段 3（結論）。lem-pyv-prism により、$ABCF$ の体積は $\dfrac13Bh$ である。段 1 と合わせて、与えられた錐体の体積も $\dfrac13Bh$ である。$\square$

方針：$\cos n\varphi=\dfrac{a_n}{3^n}$ と書くと、整数 $a_n$ はどれも $3$ で割り切れないことを示す。$\varphi$ が $\pi$ の有理数倍なら、ある $n$ で $\cos n\varphi=\pm1$ となって矛盾する。
段 1（漸化式）。和積の公式 $\cos(n+1)\varphi+\cos(n-1)\varphi=2\cos\varphi\cos n\varphi$（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）により、$n\ge1$ で
$$ \cos(n+1)\varphi=\frac23\cos n\varphi-\cos(n-1)\varphi $$
である。
段 2（$a_n$ は整数）。$a_0=1$、$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n-9a_{n-1}$（$n\ge1$）で整数 $a_n$ を定める。$\cos0=1=\dfrac{a_0}{3^0}$、$\cos\varphi=\dfrac13=\dfrac{a_1}{3^1}$ である。$\cos(n-1)\varphi=\dfrac{a_{n-1}}{3^{n-1}}$、$\cos n\varphi=\dfrac{a_n}{3^n}$ なら、段 1 により
$$ \cos(n+1)\varphi=\frac23\cdot\frac{a_n}{3^n}-\frac{a_{n-1}}{3^{n-1}}=\frac{2a_n-9a_{n-1}}{3^{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} $$
である。数学的帰納法により、すべての $n\ge0$ で $\cos n\varphi=\dfrac{a_n}{3^n}$ である。
段 3（$3$ で割った余り）。$a_{n+1}=2a_n-9a_{n-1}$ で $9a_{n-1}$ は $3$ の倍数なので、$a_{n+1}$ を $3$ で割った余りは $2a_n$ を $3$ で割った余りに等しい。$a_1=1$ は $3$ で割り切れない。$a_n$ が $3$ で割り切れなければ、$3$ は素数なので $2a_n$ も割り切れず、$a_{n+1}$ も割り切れない。よって $n\ge1$ のすべての $a_n$ は $3$ で割り切れない。
段 4（背理法）。$\dfrac\varphi\pi=\dfrac pq$（$p,q$ は正の整数）と仮定する。$q\varphi=p\pi$ なので $\cos q\varphi=\cos p\pi=\pm1$ である。段 2 により $a_q=\pm3^q$ で、$q\ge1$ だから $a_q$ は $3$ で割り切れる。これは段 3 に矛盾する。よって $\dfrac\varphi\pi$ は無理数である。$\square$

方針：ex-pyv-additive と同じく、$W$ の数を「重ならない基本の数」の有理数係数の 1 次結合で一通りに表し、$\varphi$ の係数を $f$ の値とする。
段 1（基本の数を選ぶ）。$b_1=\pi$、$b_2=\varphi$ から始め、$c_1,c_2,\dots,c_N$ を順に見ていく。$c_j$ が、それまでに選んだ数の有理数係数の 1 次結合で書けないときだけ、$c_j$ を選ぶ。選び終わった数を $b_1,b_2,\dots,b_m$ とする。選ばなかった $c_j$ は選んだ数の 1 次結合で書けるので、$W$ のどの数も $b_1,\dots,b_m$ の有理数係数の 1 次結合で書ける。
段 2（1 次独立）。有理数 $t_1,\dots,t_m$ について $t_1b_1+\cdots+t_mb_m=0$ ならすべて $0$ であることを、選んだ順に示す。まず $t_1\pi+t_2\varphi=0$ で $t_2\ne0$ なら $\dfrac\varphi\pi=-\dfrac{t_1}{t_2}$ が有理数になり、lem-pyv-irrational に反する。よって $t_2=0$ で、$t_1\pi=0$ から $t_1=0$ である。次に、$b_k$ を加えた段階で $t_1b_1+\cdots+t_kb_k=0$、$t_k\ne0$ なら、$b_k=-\dfrac{t_1}{t_k}b_1-\cdots-\dfrac{t_{k-1}}{t_k}b_{k-1}$ となって、$b_k$ を選んだ理由に反する。よって $t_k=0$ で、それより前の数についてはすでに示したことから、残りもすべて $0$ である。
段 3（表し方は一通り）。$x=\sum t_ib_i=\sum t_i'b_i$ なら $\sum(t_i-t_i')b_i=0$ なので、段 2 によりすべて $t_i=t_i'$ である。
段 4（f を定める）。$x=t_1\pi+t_2\varphi+t_3b_3+\cdots+t_mb_m$ に対し $f(x):=t_2$ とおく。段 3 により矛盾なく定まる。係数は足し算と有理数倍でそのまま足され・有理数倍されるので、$f$ は有理数倍を保つ加法的な関数である。$\pi$ の係数の組は $(1,0,0,\dots)$、$\varphi$ は $(0,1,0,\dots)$ なので $f(\pi)=0$、$f(\varphi)=1$ である。$\square$

方針：$P$ と小片のすべての辺を、小さな線分に切りそろえる。小さな線分ごとに、各小片の「その線分での角」を足すと、$P$ のその線分での角になることを示す。
段 1（小さな線分に切る）。$P$ と各小片の辺をすべて集める。辺は有限個で、それぞれある直線上にある。そのような直線 $g$ の 1 本と、1 つの小片 $Q$（または $P$）を考えると、$Q$ は凸なので、$g$ と $Q$ の共通部分、$g$ と $Q$ の各面の共通部分は、どれも線分か 1 点か空である。これらの端点をすべて $g$ 上に印として付ける。印は有限個で、辺はこの印で有限個の小さな線分 $s$ に切られる。印の付け方から、小さな線分 $s$ の途中の点では、各小片 $Q$ に対する位置（$Q$ の辺の上、$Q$ の面の中で辺の上でない、$Q$ の内部、$Q$ の外）が一定である。$P$ に対しても同じである。
段 2（その線分での角）。小さな線分 $s$ と小片 $Q$ について、$s$ が $Q$ の辺の上にあればその二面角を、面の中にあれば $\pi$ を、内部にあれば $2\pi$ を、外にあれば $0$ を $\alpha_Q(s)$ とおく。どれも $W$ に属する。$P$ についても同じく $\alpha_P(s)$ を定める。このとき
$$ D_f(Q)=\sum_s\ell(s)\,f\bigl(\alpha_Q(s)\bigr) $$
である（$s$ はすべての小さな線分を動く）。実際、$Q$ の各辺 $e$ はその上の小さな線分に分かれ、それらでは $\alpha_Q(s)=\theta(e)$ で長さの和は $\ell(e)$ なので、合わせて $\ell(e)f(\theta(e))$ を与える。ほかの小さな線分では $f(\alpha_Q(s))$ は $f(\pi)=0$、$f(2\pi)=2f(\pi)=0$、$f(0)=0$ のどれかである。$P$ についても同じ式が成り立つ。
段 3（角は足し合わさる）。小さな線分 $s$ の途中の点 $X$ をとり、$X$ を中心とし $s$ に垂直な平面上の小さな円板を考える。半径を十分小さくとると、$X$ を含む小片 $Q$ はこの円板の中で、中心角 $\alpha_Q(s)$ の扇形に見える（辺の上なら二面角の扇形、面の中なら半円板、内部なら円板全体）。小片どうしは表面でしか重ならないので、これらの扇形は半径の上でしか重ならず、合わせると $P$ の扇形（中心角 $\alpha_P(s)$）になる。半径 $\rho$、中心角 $\alpha$ の扇形の面積は $\dfrac12\rho^2\alpha$ なので、面積を比べて
$$ \sum_Q\alpha_Q(s)=\alpha_P(s) $$
である。$X$ を含まない小片は $\alpha_Q(s)=0$ なので、和に入れてもよい。
段 4（足す）。段 2 と $f$ の加法性、段 3 により
$$ \sum_{i=1}^mD_f(P_i)=\sum_s\ell(s)\sum_if\bigl(\alpha_{P_i}(s)\bigr)=\sum_s\ell(s)\,f\Bigl(\sum_i\alpha_{P_i}(s)\Bigr)=\sum_s\ell(s)\,f\bigl(\alpha_P(s)\bigr)=D_f(P) $$
である。$\square$

方針：分割合同だと仮定し、分割に現れる角をすべて含む $W$ の上で lem-pyv-f の $f$ を作る。lem-pyv-additive により両者の Dehn 不変量は等しくなるはずだが、計算すると異なる。
段 1（1 の仮定）。1 辺 $b$ の正四面体 $T$ と 1 辺 $a$ の立方体 $C$ が分割合同で、$T$ が $T_1,\dots,T_m$ に、$C$ が $C_1,\dots,C_m$ に分割され、$T_i$ と $C_i$ が合同だとする。
段 2（$W$ と $f$）。$T_1,\dots,T_m$ のすべての二面角と、$T$、$C$ の二面角を並べて $c_1,\dots,c_N$ とし、lem-pyv-f の $W$ と $f$ をとる。$C_i$ の二面角は $T_i$ と同じなので、これも $W$ に属する。
段 3（等しくなるはず）。lem-pyv-additive と、合同な多面体の Dehn 不変量が等しいことから
$$ D_f(T)=\sum_iD_f(T_i)=\sum_iD_f(C_i)=D_f(C) $$
である。
段 4（矛盾）。ex-pyv-dehn-values により $D_f(C)=0$、$D_f(T)=6b\,f(\varphi)=6b\ne0$ である。これは段 3 に矛盾する。よって 1 が成り立つ。
段 5（2 の角）。$K$ の 6 本の辺のうち、座標軸上の 3 本（長さ $1$）では、両側の面が座標平面なので二面角は $\dfrac\pi2$ である。残りの 3 本（長さ $\sqrt2$）では、たとえば辺 $(1,0,0)$–$(0,1,0)$ の中点 $N\left(\frac12,\frac12,0\right)$ から $O$ と $(0,0,1)$ へのベクトル $\left(-\frac12,-\frac12,0\right)$、$\left(-\frac12,-\frac12,1\right)$ はどちらも辺の向き $(-1,1,0)$ に垂直で、なす角 $\psi$ は
$$ \cos\psi=\frac{\frac14+\frac14}{\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt6}2}=\frac{1}{\sqrt3} $$
を満たす。$\cos2\psi=2\cos^2\psi-1=-\dfrac13=\cos(\pi-\varphi)$ で、$\cos\psi>0$ より $0<2\psi<\pi$、また $0<\pi-\varphi<\pi$ なので、$2\psi=\pi-\varphi$、つまり $\psi=\dfrac\pi2-\dfrac\varphi2$ である。
段 6（2 の仮定と Dehn 不変量）。$K$ と $L$ が分割合同だとし、段 1・段 2 と同じく、$K$ 側の小片、$K$、$L$ のすべての二面角を $c_1,\dots,c_N$ として、lem-pyv-f の $W$ と $f$ を作る。$\psi=\frac12\pi-\frac12\varphi\in W$ で $f(\psi)=\frac12f(\pi)-\frac12f(\varphi)=-\frac12$ なので
$$ D_f(K)=3\cdot1\cdot f\left(\frac\pi2\right)+3\sqrt2\cdot f(\psi)=0-\frac{3\sqrt2}2\ne0 $$
である。
段 7（$L$ の Dehn 不変量は 0）。1 辺 $1$ の立方体は、6 つの四面体 $\{(x_1,x_2,x_3)\mid1\ge x_{i}\ge x_{j}\ge x_{k}\ge0\}$（$(i,j,k)$ は $(1,2,3)$ の並べ替え 6 通り）に分割される。どの点も座標を大きい順に並べる方法が少なくとも 1 つあり、2 つに同時に入るのは座標に等しいものがある点だけだからである。$(i,j,k)=(1,2,3)$ のものが $L$ で、ほかは座標の入れ替え（長さを変えない変換）で $L$ に重なるので、すべて $L$ と合同である。$L$ の二面角は $W$ に属し（段 6 で $c_j$ に入れた）、立方体の二面角 $\frac\pi2=\frac12\pi$ も属するので、lem-pyv-additive により $0=D_f(\text{立方体})=6D_f(L)$、つまり $D_f(L)=0$ である。
段 8（結論）。段 3 と同じ理由で $D_f(K)=D_f(L)$ となるはずだが、段 6・段 7 により $-\frac{3\sqrt2}2\ne0$ である。よって 2 が成り立つ。$\square$