不分岐拡大と完全分岐拡大

要点：$x'\mapsto x$ で定まる $K$ 上の同型 $K(x')\cong K(x)$ で $w$ を引き戻すと $K(x')$ 上の $v_K$ の延長になり、延長の一意性から元の $w$ と一致する。

要点：整な元の付値が負なら最高次の項だけが真に最小になり、逆に付値が $0$ 以上の元の共役はすべて付値が $0$ 以上なので、最小多項式の係数も付値が $0$ 以上になる。

段 1：$w(\alpha)=1/n$。 $E(\alpha)=0$ を $n+1$ 個の項 $\alpha^n,\ a_{n-1}\alpha^{n-1},\dots,a_1\alpha,\ a_0$ の和とみる。$w(a_0)=1$、$1\le i\le n-1$ について $w(a_i)\ge1$ である。

• $w(\alpha)<0$ なら、$i< n$ について $w(a_i\alpha^i)\ge i\,w(\alpha)>n\,w(\alpha)=w(\alpha^n)$ なので、$\alpha^n$ だけが真に最小になり、最小項の原理に反する。
• $w(\alpha)=0$ なら、$w(\alpha^n)=0$ で他の項はすべて $w\ge1$ なので、やはり最小項の原理に反する。
• よって $w(\alpha)>0$ であり、$1\le i\le n-1$ の項は $w(a_i\alpha^i)\ge1+i\,w(\alpha)>1$ を満たす。残る 2 項 $\alpha^n$、$a_0$ の値 $n\,w(\alpha)$ と $1$ が異なれば、小さい方がただ 1 つの最小項になって矛盾する。したがって $n\,w(\alpha)=1$ である。

段 2：1〜3。 $d:=[L:K]$ とおくと、$\alpha$ の最小多項式は $E$ を割り切るので $d\le n$ である。$e:=e(L/K)$ とすると $v_L(\alpha)=e\,w(\alpha)=e/n$ は正の整数なので $e\ge n$ である。一方 $e\le ef=d\le n$ だから $e=d=n$、$f=1$ である。$d=n$ から最小多項式は $E$ 自身で、$E$ は既約である。$e=n=[L:K]$ から $L/K$ は完全分岐で、$v_L(\alpha)=e/n=1$ である。
段 3：4。 $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ は $L$ の $K$ 上の基底である。$x=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\alpha^i$（$c_i\in K$）の $0$ でない項について $v_L(c_i\alpha^i)=n\,v_K(c_i)+i$ であり、$0\le i\le n-1$ が異なれば $n$ を法として異なるので、これらの値はすべて相異なる。最小項の原理（$v_L$ についても同じ）から
$$ v_L(x)=\min_{c_i\ne0}\bigl(n\,v_K(c_i)+i\bigr) $$
である。$0\le i< n$ なので、$n\,v_K(c_i)+i\ge0$ は $v_K(c_i)\ge0$ と同値である。よって $x\in\mathcal{O}_L$ はすべての $c_i$ が $\mathcal{O}_K$ に属することと同値で、$\mathcal{O}_L=\bigoplus_{i< n}\mathcal{O}_K\alpha^i$ である。右辺は $\alpha^n=-\sum_{i< n}a_i\alpha^i$ から $\mathcal{O}_K[\alpha]$ に等しい。$\square$

$w(\pi_L)=v_L(\pi_L)/e(L/K)=1/n$ である。部分体 $M:=K(\pi_L)$ では $v_M(\pi_L)=e(M/K)\,w(\pi_L)=e(M/K)/n$ が整数なので $e(M/K)\ge n$ となり、$[M:K]\ge e(M/K)\ge n=[L:K]$ から $M=L$ である。よって $\pi_L$ の最小多項式 $g$ は $n$ 次である。
$g=\prod_{j=1}^n(X-x_j)$（$x_j\in\overline{K}$）と書くと、lem-urext-conjugate により $w(x_j)=1/n$ である。$g$ の $X^i$（$0\le i\le n-1$）の係数は、$n-i$ 個の $x_j$ の積の和の $\pm1$ 倍なので $w\ge(n-i)/n>0$ であり、$K$ の元だから $v_K\ge1$、すなわち $\mathfrak{m}_K$ に属する。定数項は $\pm x_1\cdots x_n$ で $w=1$、すなわち $v_K=1$ である。したがって $g$ は Eisenstein 多項式であり、残りは thm-urext-eisenstein の 4 から従う。$\square$

要点：$1$ 以外の $1$ の $m$ 乗根 $\eta$ について $\prod_{\eta\ne1}(1-\eta)=m$ であり、$m$ は $\mathcal{O}_K$ の単元なので、各因子 $1-\eta$ も単元である。

1。 $k$ の $n$ 次拡大 $\mathbb{F}_{q^n}$ があり（有限体 の記事の定理「有限体の存在と一意性」）、その乗法群の生成元 $\theta$ について $\mathbb{F}_{q^n}=k(\theta)$ なので、$\theta$ の $k$ 上の最小多項式 $\bar g$ は $n$ 次の既約多項式である。$\bar g$ の係数を $\mathcal{O}_K$ に持ち上げたモニック多項式を $G$、その根を $\beta\in\overline{K}$、$L:=K(\beta)$ とする。$\beta$ は $\mathcal{O}_K$ 上整なので $\beta\in\mathcal{O}_L$（lem-urext-integral-closure）で、還元 $\bar\beta\in\ell$ は $\bar g(\bar\beta)=0$ を満たす。よって $\ell\supset k(\bar\beta)$ は $k$ 上 $n$ 次で、$f(L/K)\ge n$ である。$[L:K]\le\deg G=n$ と $[L:K]=ef$ から $e=1$、$f=n=[L:K]$ となり、$L$ は次数 $n$ の不分岐拡大である。
2。 $L$ は局所体で剰余体の元は $q^n$ 個なので、局所体 の記事の命題「Teichmüller代表元」の 2 を $L$ に使うと、$L$ は $1$ の $(q^n-1)$ 乗根をちょうど $q^n-1$ 個含む。$\mu_{q^n-1}$ の元は $q^n-1$ 個しかないので $\mu_{q^n-1}\subset L$、すなわち $K_n\subset L$ である。逆に $K_n$ の剰余体は、lem-urext-roots-of-unity により位数 $q^n-1$ の乗法的な部分群を含むので、元の個数が $q^n$ 以上であり、$f(K_n/K)\ge n$ である。よって $[K_n:K]\ge n=[L:K]$ となり $K_n=L$ である。
3。 1 と 2 から $K_n$ は次数 $n$ の不分岐拡大で、剰余体は $\mathbb{F}_{q^n}$ である。$K_n$ は分離多項式 $X^{q^n-1}-1$（lem-urext-roots-of-unity の証明）の分解体なので $K$ 上 Galois である（MilFT Theorem 3.10）。$\sigma\in G:=\operatorname{Gal}(K_n/K)$ について、$\sigma(x)$ は $x$ の最小多項式の根なので lem-urext-conjugate により $w(\sigma(x))=w(x)$ であり、$\sigma$ は $\mathcal{O}_{K_n}$ と $\mathfrak{m}_{K_n}$ を保つ。したがって $\bar\sigma(\bar x):=\overline{\sigma(x)}$ は剰余体の $k$ 上の自己同型で、$\sigma\mapsto\bar\sigma$ は群準同型である。
単射であること：$\zeta$ を巡回群 $\mu_{q^n-1}$ の生成元とすると $K_n=K(\zeta)$ である。$\bar\sigma=\mathrm{id}$ なら $\overline{\sigma(\zeta)}=\bar\zeta$ で、$\sigma(\zeta)\in\mu_{q^n-1}$ だから lem-urext-roots-of-unity により $\sigma(\zeta)=\zeta$、したがって $\sigma=\mathrm{id}$ である。
全単射であること：Galois 拡大なので $|G|=[K_n:K]=n$ である。$q=p^r$ とすると、有限体 の記事の定理「有限体の自己同型群」により $\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_{q^n})$ は Frobenius 自己同型 $\phi(x)=x^p$ が生成する位数 $rn$ の巡回群であり、$\phi^j$ が $\mathbb{F}_q$ を各点固定するのは、同じ記事の命題「有限体の部分体」により $r\mid j$ のときに限る。よって $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q)$ は $\phi^r\colon x\mapsto x^q$ が生成する位数 $n$ の巡回群である。単射な準同型で位数が等しいので同型である。$x\mapsto x^q$ に対応する元が $\operatorname{Frob}$ であり、「$\operatorname{Frob}(x)\equiv x^q$」は $\overline{\operatorname{Frob}}$ が $x\mapsto x^q$ であることの言い換えなので、この条件を満たす元はただ 1 つである。$\operatorname{Frob}(\zeta)$ と $\zeta^q$ はともに $\mu_{q^n-1}$ の元で還元が等しいので、lem-urext-roots-of-unity により一致する。
4。 $n:=[L:K]=f$ とすると $\bar\beta$ の $k$ 上の次数は $n$ なので、$1,\bar\beta,\dots,\bar\beta^{n-1}$ は $k$ 上 1 次独立である。$c_0,\dots,c_{n-1}\in K$ が全部は $0$ でないとし、$\mu:=\min_iv_K(c_i)$ とおく。$c_i':=\pi_K^{-\mu}c_i\in\mathcal{O}_K$ は全部は $\mathfrak{m}_K$ に入らないので、$\sum_i\bar c_i'\bar\beta^i\ne0$、すなわち $\sum_ic_i'\beta^i$ は単元である。$e=1$ より $v_L(\pi_K)=1$ なので
$$ v_L\Bigl(\sum_ic_i\beta^i\Bigr)=\mu=\min_iv_K(c_i) $$
である。とくに $\sum c_i\beta^i\ne0$ なので $1,\beta,\dots,\beta^{n-1}$ は $L$ の $K$ 上の基底であり、$\sum c_i\beta^i\in\mathcal{O}_L$ はすべての $c_i$ が $\mathcal{O}_K$ に属することと同値である。よって $\mathcal{O}_L=\bigoplus_{i< n}\mathcal{O}_K\beta^i\subset\mathcal{O}_K[\beta]\subset\mathcal{O}_L$ である。$\square$

3。 $K_a\subset K_b$ なら剰余体について $\mathbb{F}_{q^a}\subset\mathbb{F}_{q^b}$ なので $a\mid b$ である（有限体 の記事の命題「有限体の部分体」）。逆に $a\mid b$ なら $q^a-1\mid q^b-1$ なので $\mu_{q^a-1}\subset\mu_{q^b-1}$、すなわち $K_a\subset K_b$ である。合成体 $K_aK_b$ は $K_{\operatorname{lcm}(a,b)}$ に含まれ、分岐指数の乗法性から、不分岐拡大の部分拡大は不分岐である（$e(K_c/K)=1$ は $e(K_c/M)\,e(M/K)$ に等しい）。
1。 $L$ の剰余体は $q^f$ 個の元をもつので、thm-urext-unramified の 2 の証明と同じく Teichmüller 代表元により $\mu_{q^f-1}\subset L$、すなわち $K_f\subset L$ である。$e(K_f/K)=1$、$f(K_f/K)=f$ なので、乗法性から $e(L/K_f)=e$、$f(L/K_f)=1$、$[L:K_f]=e$ であり、$L/K_f$ は完全分岐である。
2。 $M\subset L$ を $K$ の次数 $d$ の不分岐拡大とすると、$M=K_d$ で（thm-urext-unramified の 2）、剰余体の包含から $d\mid f$ なので、3 により $M\subset K_f$ である。$\square$