Hopf–Rinowの定理

$S:=S_\delta(p)$ は球面の連続像なのでコンパクトであり、$x\mapsto d_g(x,q)$ は連続なので、$S$ の上で最小値 $m$ をとる点 $x$ がある。$\exp_p(B_\delta(0))$ も測地球なので、rem-hr-facts の 3 により $B(p,\delta)=\exp_p(B_\delta(0))$ であり、$S$ の点は $p$ からの距離が $\delta$ である。
$c\colon[a,b]\to M$ を $p$ から $q$ への区分的に正則な曲線とする。$q\notin B(p,\delta)$ なので、$t_0:=\min\{t\mid c(t)\notin B(p,\delta)\}$ が定まり（閉集合の最小元）、$c(a)=p$ なので $t_0>a$ である。$t< t_0$ では $c(t)\in B(p,\delta)$ なので、$c(t_0)$ は $B(p,\delta)$ の閉包に属する。$\exp_p(\overline{B_\delta(0)})$ はコンパクトなので閉集合で、$B(p,\delta)$ を含むから、$c(t_0)\in\exp_p(\overline{B_\delta(0)})\setminus\exp_p(B_\delta(0))$ である。$\exp_p$ は $B_\varepsilon(0)$ の上で単射なので、$c(t_0)\in S$ である。よって
$$ L(c)=L(c|_{[a,t_0]})+L(c|_{[t_0,b]})\ge d_g(p,c(t_0))+d_g(c(t_0),q)\ge\delta+m . $$
$c$ について下限をとると $d_g(p,q)\ge\delta+d_g(x,q)$ である。逆向きの不等式は三角不等式 $d_g(p,q)\le d_g(p,x)+d_g(x,q)=\delta+d_g(x,q)$ である。$\square$

$q=p$ なら $v=0$ とすればよい。$T:=d_g(p,q)>0$ とし、$p$ のまわりの半径 $\varepsilon$ の測地球をとり、$0<\delta<\min(\varepsilon,T)$ とする。lem-hr-sphere の点 $x\in S_\delta(p)$ を $x=\exp_p(\delta u)$（$|u|=1$）と書き、$\gamma(t):=\exp_p(tu)$ とおく。仮定と rem-hr-facts の 2 により $\gamma$ はすべての $t\in\mathbb{R}$ で定義された測地線で、速さは $|u|=1$ である。
$$ A:=\{t\in[0,T]\mid d_g(\gamma(t),q)=T-t\} $$
とおく。$t\in A$ なら $d_g(p,\gamma(t))\ge T-d_g(\gamma(t),q)=t=L(\gamma|_{[0,t]})$ なので、$\gamma|_{[0,t]}$ は長さ最小である。$A$ は連続関数の等式で定まるので閉集合で、$0\in A$、また lem-hr-sphere により $\delta\in A$ である。$t^*:=\max A$ とおく。
$t^*=T$ なら $d_g(\gamma(T),q)=0$ なので $\gamma(T)=q$ であり、$v:=Tu$ が求めるものである。
$t^*< T$ と仮定して矛盾を導く。$y:=\gamma(t^*)$ とおくと $d_g(y,q)=T-t^*>0$ である。$y$ のまわりの半径 $\varepsilon'$ の測地球をとり、$0<\delta'<\min(\varepsilon',T-t^*)$ とする。lem-hr-sphere を $y$ と $q$ に当てはめて、$z=\exp_y(\delta'w)$（$|w|=1$）で $d_g(y,q)=\delta'+d_g(z,q)$ となるものをとる。すると $d_g(z,q)=T-t^*-\delta'$ であり、
$$ d_g(p,z)\ge d_g(p,q)-d_g(z,q)=t^*+\delta' $$
である。$\gamma|_{[0,t^*]}$ に続けて $\sigma(s):=\exp_y(sw)$（$0\le s\le\delta'$）をたどる曲線 $c\colon[0,t^*+\delta']\to M$ は、速さ $1$ で長さ $t^*+\delta'$ の区分的に正則な曲線なので、長さ最小である。rem-hr-facts の 4 により $c$ は測地線で、$t^*$ で滑らかなので、$c$ と $\gamma$ は時刻 $t^*$ で同じ点と同じ速度をもつ。rem-hr-facts の 6 により $c=\gamma|_{[0,t^*+\delta']}$、とくに $z=\gamma(t^*+\delta')$ である。よって $d_g(\gamma(t^*+\delta'),q)=T-(t^*+\delta')$ で、$t^*+\delta'\le T$ だから $t^*+\delta'\in A$ となり、$t^*$ の最大性に反する。$\square$

3 ⇒ 4。 $K$ を有界閉集合とし、$K\subset\{q\mid d_g(p,q)\le R\}$ となる $R$ をとる。lem-hr-minimizing により、$d_g(p,q)\le R$ を満たす $q$ は $|v|\le R$ の $v$ で $q=\exp_p(v)$ と書ける。よって $K$ はコンパクト集合 $\exp_p(\{|v|\le R\})$（連続写像によるコンパクト集合の像）の閉部分集合であり、コンパクトである。
4 ⇒ 1。 Cauchy 列 $(q_i)$ は有界なので、ある閉球 $\{q\mid d_g(q_1,q)\le R\}$ に含まれる。閉球は有界閉集合なのでコンパクトで、距離空間のコンパクト集合の点列は収束する部分列をもつ。収束する部分列をもつ Cauchy 列は収束する。
1 ⇒ 2。 速さ $0$ の測地線は定値で $\mathbb{R}$ 全体で定義されるので、測地線の径数を定数倍して（測地線 の命題「アフィン変換による保存」）、速さ $1$ の極大な測地線 $\gamma$ の定義域 $(a,b)$ が $b<\infty$ だとして矛盾を導けばよい（$a>-\infty$ の場合は $t\mapsto\gamma(-t)$ を考える）。$t_i\nearrow b$ をとると $d_g(\gamma(t_i),\gamma(t_j))\le|t_i-t_j|$ なので $(\gamma(t_i))$ は Cauchy 列であり、完備性によりある点 $q$ に収束する。rem-hr-facts の 5 の近傍 $W$ と $\delta$ を $q$ についてとり、$t_j>b-\delta$ かつ $\gamma(t_j)\in W$ となる $j$ を選ぶ。$\exp_{\gamma(t_j)}$ は $B_\delta(0)$ の上で定義されるので、$\sigma(s):=\exp_{\gamma(t_j)}(s\dot\gamma(t_j))$ は $|s|<\delta$ で定義された測地線で、$s=0$ で $\gamma(t_j)$ を速度 $\dot\gamma(t_j)$ で通る。rem-hr-facts の 6 により $\gamma(t)=\sigma(t-t_j)$ が共通の定義域で成り立つので、$\gamma$ と $t\mapsto\sigma(t-t_j)$ を合わせると $(a,t_j+\delta)$ で定義された測地線になる。$t_j+\delta>b$ なので $\gamma$ の極大性に反する。
2 ⇒ 3。 定義から明らかである。
最短測地線の存在。 2 が成り立てば、どの点 $p$ でも $\exp_p$ は $T_pM$ 全体で定義されるので、lem-hr-minimizing により $p$ と任意の $q$ は長さ $d_g(p,q)$ の測地線で結ばれる。$\square$

rem-hr-facts の 1 により $d_g$ の位相は多様体の位相なので、閉集合はコンパクトな $M$ の閉部分集合としてコンパクトである。thm-hr-main の 4 が成り立つ。$\square$

$M$ の中の曲線の長さは $\mathbb{R}^N$ の中での長さと同じで、それは端点の Euclid 距離以上なので、$d_g(p,q)\ge|p-q|$ である。$(q_i)$ が $d_g$ について Cauchy 列なら $\mathbb{R}^N$ でも Cauchy 列なので、ある $y\in\mathbb{R}^N$ に収束し、$M$ は閉なので $y\in M$ である。$M$ は埋め込み部分多様体なので多様体の位相は相対位相であり、$q_i\to y$ は $M$ の位相で成り立つ。rem-hr-facts の 1 により $d_g(q_i,y)\to0$ である。$\square$