二重被覆群
概要
SU(2)はSO(3)の二重被覆群である
群$G$が群$H$の二重被覆群であるとは, ある連続な準同型写像$\varphi:G\to H$が存在して, $f$が全射であり,かつ 任意の$h\in H$に対し, $\varphi(g)=h$となる $g\in G$が必ずちょうど２つ存在することをいう.
連続性の議論は省略する.本稿では次を示す:
$\SU(2)$は$\SO(3)$の二重被覆群である.
準備．
任意の $g\in \SU(2)$ は, $(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2=1$を満たす4つの実数 $(x^1,x^2,x^3,x^4)$ を用いて次のように表せる( $\SU(2)=S^3$ ):
\begin{equation}
\begin{aligned}
g=&\left(\begin{matrix}
x^4+ix^3 & ix^1+x^2 \\
ix^1-x^2 &x^4- ix^3 \\
\end{matrix}\right) \\
=&ix^1\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix}\right)+ix^2\left(\begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{matrix}\right)+ix^3\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix}\right)
+x^4\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix}\right).
\end{aligned}
\end{equation}
パウリ行列と四元数
次の3つをパウリ行列という:
\begin{equation}
\sigma^1=\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right), \quad \sigma^2=\left(\begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{matrix}\right), \quad \sigma^3=\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{matrix}\right)
\end{equation}
パウリ行列には次の性質がある:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\tr \sigma^i \sigma^j=&\delta^{ij},\\
\frac{1}{2i}\tr \sigma^i\sigma^j\sigma^k=&\epsilon^{ijk},\\
\{\sigma^i,\sigma^j\}=&2\delta^{ij}I_2,\\
[\sigma^i,\sigma^j]=&2i\epsilon^{ijk}\sigma^k.
\end{aligned}
\end{equation}
これら(の $i$ 倍)により作られる，積構造付きの実4次元ベクトル空間を四元数という:
\begin{equation}
\H=\R I_2\oplus \R i\sigma^1 \oplus \R i\sigma^2\oplus \R i\sigma^3.
\end{equation}
$\x=(x^1,x^2,x^3)\in\R^3$ から， $\x\cdot(i\bol{\sigma})=i(x^1\sigma^1+x^2\sigma^2+x^3\sigma^3)\in \H$ が定まる．
さて，いくつかの補題に分けて命題を示そう．まずは $\SU(2)$ から $\SO(3)$ への準同型写像を作る．
次のようにしてリー群としての準同型写像 $\Ad:\SU(2)\to\SO(3), g\mapsto R_g$ が定まる:
\begin{equation}
g (\x\cdot\bol{\sigma})g^\dagger=(R_g \x)\cdot\bol{\sigma}, ~\forall \x\in \R^3.
\end{equation}
(i)まず $R_g\in \mathrm{O}(3)$, つまり$R^\mathrm{T}=R^{-1}$を示す．
任意の $\x,\y\in\R^3$と 任意の $g\in \SU(2)$ に対し，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\x^{\mathrm{T}}\y=&\frac{1}{2}\tr (\x\cdot\bol{\sigma})(\y\cdot\bol{\sigma})\\
=&\frac{1}{2}\tr \qty(g(\x\cdot\bol{\sigma})g^\dagger\cdot g(\y\cdot\bol{\sigma})g^\dagger)\\
=&\frac{1}{2}\tr(R_g\x)\cdot\bol{\sigma}(R_g\y)\cdot\bol{\sigma}\\
=&\x^{\mathrm{T}}R_g^{\mathrm{T}}R_g \y.\\
\therefore R_g^{\mathrm{T}}=&R_g^{-1}.
\end{aligned}
\end{equation}
(ii) $R_g \in \SO(3),$ つまり $\det R_g=1$を示す．
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{1}{2i}\tr \sigma^i\sigma^j\sigma^k=\epsilon^{ijk},\\
g \sigma^k g^\dagger =(R_g)^i_{~k}\sigma^i,
\end{aligned}
\end{equation}
を用いると，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det R_g=&\sum_{i,j,k}\epsilon^{ijk}(R_g)^{i}_{~1}(R_g)^{j}_{~2}(R_g)^{k}_{~3}\\
=&\frac{1}{2i}\sum_{i,j,k}\tr (R_g)^{i}_{~1}\sigma^i(R_g)^{j}_{~2}\sigma^j(R_g)^{k}_{~3}\sigma^k\\
=&\frac{1}{2i}\tr\qty( g\sigma^1 g^\dagger)\qty( g\sigma^2 g^\dagger) \qty( g\sigma^3 g^\dagger)\\
=&\frac{1}{2i}\tr \sigma^1\sigma^2\sigma^3\\
=&1.
\end{aligned}
\end{equation}
となる．
これが全射であり，かつ2:1写像であれば，$\SU(2)$が $\SO(3)$ の二重被覆群であることを(連続性を除いて)示したことになる．先に全射性を示す:
$\Ad:\SU(2)\to\SO(3)$ は全射である．
$g_k(\theta)\in \SU(2),~k=1,2,3$ を
\begin{equation}
g_k(\theta)=I_2\cos\frac{\theta}{2}+i\sigma^k \sin\frac{\theta}{2}=e^{\frac{i}{2}\theta\sigma^k}
\end{equation}
とすると，次が得られる:
\begin{equation}
g_k(\theta)^\dagger \sigma^i g_k(\theta)=\begin{cases}
\sigma^i, ~i=k,\\
\sigma^i g_k(2\theta),~ i\neq k
\end{cases}
\end{equation}
すると $\Ad(g_k(\theta))=R_k(\theta)$ となって $\Ad$ は全射になる．ここで $R_k(\theta)$ は$x^k$ を軸とした$\theta$回転であり，$\SO(3)$の任意の元は $R_1,R_2,R_3$の有限個の積で書けることは
こちら
で示している．したがって全射であることが示せた
例えば $k=3$について
\begin{equation}
\begin{aligned}
g_3(\theta)^\dagger(\x\cdot \bol{\sigma}) g_3(\theta)=&(x^1\sigma^1+x^2\sigma^2)g_3(2\theta)+x^3\sigma^3\\
=&(x^1\cos\theta-x^2\sin\theta)\sigma^1+(x^1\sin\theta+x^2\cos\theta)\sigma^2+x^3\sigma^3\\
=&(R_3(\theta)\x)\cdot\bol{\sigma}.
\end{aligned}
\end{equation}
$R\in \SO(3)$ に対し，次を満たす $g\in\SU(2)$ は $R$ によらずちょうど2つある:
\begin{equation}
g^\dagger (\x\cdot\bol{\sigma})g=(R\x)\cdot\bol{\sigma},~\forall \x \in\R^3
\end{equation}
まず次を満たす $g\in\SU(2)$ は $g=\pm I_2$しかない:
\begin{equation}
g^\dagger (\x\cdot\bol{\sigma})g=\x\cdot\bol{\sigma}.
\end{equation}
実際左側から $g$ をかけることで, 全ての $\x\in\R^3$ に対して $[\x\cdot\bol{\sigma},g]=0$ となるが，これは $g=\pm I_2$ でなければ満たせない．
これを踏まえると，$R\in\SO(3)$ に対して，$g,\h\in\SU(2)$が
\begin{equation}
g^\dagger (\x\cdot\bol{\sigma}) g=h^\dagger (\x\cdot\bol{\sigma}) h=(R\x)\cdot\bol{\sigma}
\end{equation}
となるならば，$hg^\dagger (\x\cdot\bol{\sigma})(hg^\dagger)^\dagger=\x\cdot\bol{\sigma}$ となることから $hg^\dagger=\pm I_2$. したがって $h=\pm g$ という2つしかない．
