二重被覆群

$K$ は中心的なので正規部分群であり、商群 $G/K$ が定まる。$G$ の開集合 $O$ に対し $q^{-1}(q(O))=O\cup kO$ は開なので（左移動 $x\mapsto kx$ は同相写像）、商位相の定義により $q(O)$ は開であり、$q$ は開写像（開写像）である。正規部分群による商群に商位相を入れたものが位相群であることは標準的である（Bou98 Chapter III §2）。

$G$ が $T_1$ なので $G\setminus\{k\}$ は $e$ の開近傍である。写像 $(x,y)\mapsto x^{-1}y$ は $(e,e)$ で連続なので、$e$ の開近傍 $W$ で $W^{-1}W\subset G\setminus\{k\}$ となるものがとれる。このとき $W\cap kW=\emptyset$ である。実際 $w=kw'$（$w,w'\in W$）なら、$k$ が中心的なので $w'^{-1}w=w'^{-1}kw'=k\in W^{-1}W$ となり矛盾する。

$g\in G$ に対し $gW$ は $g$ の開近傍で、$gW\cap kgW=g(W\cap kW)=\emptyset$ である。$V:=q(gW)$ は $q(g)$ の開近傍で、$q^{-1}(V)=gW\sqcup kgW$ である。$q|_{gW}\colon gW\to V$ は連続な全射で、$gW$ が $K$ の剰余類の 2 点を同時には含まないので単射であり、開写像の開集合への制限として開写像なので同相写像である。$kgW$ についても同様である。よって $q$ は 2 重の被覆写像であり、全射準同型なので二重被覆準同型である。

逆の主張：$\bar p$ は全単射な連続準同型である。被覆写像は開写像である（被覆空間の記事の命題（被覆写像の基本性質））ので、$G/\ker p$ の開集合 $U$ の像 $\bar p(U)=p(q'^{-1}(U))$（$q'\colon G\to G/\ker p$ は商写像）は開であり、$\bar p$ は開写像、したがって同相写像である。$\square$

$H=p(G)$ は弧状連結空間の連続像なので弧状連結である。$p$ は被覆写像なので、被覆空間の記事の定理（基本群との関係）により $p_*$ は単射で、全空間と底空間が弧状連結のときファイバーの点の個数は $p_*\pi_1(G,e)$ の指数に等しい。ファイバーは 2 点なので指数は $2$ である。$G$ が単連結なら $p_*\pi_1(G,e)$ は自明群であり、その指数が $2$ なので $\pi_1(H,e_H)$ は位数 $2$、すなわち $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。

代表元について：$e$ から $k$ への道 $\tilde\gamma$ をとると、$\gamma:=p\circ\tilde\gamma$ は $e_H$ を基点とするループで、その $e$ を始点とする持ち上げ $\tilde\gamma$ の終点は $k\neq e$ である。定値ループの持ち上げは定値なので、持ち上げの終点がホモトピー類で定まること（同記事の系（道のホモトピー類と持ち上げの終点））により $[\gamma]$ は単位元でない。$\square$

lem-dcov-fixed-vector の $v$ から $u:=v/\|v\|$ とおくと $Ru=u$ である。$u$ と直交する長さ $1$ のベクトル $u_1$ を 1 つとる（$u$ と平行でないベクトルから $u$ 方向の成分を引いて正規化すればよい）。$u_2=u\times u_1$ は $u,u_1$ の両方と直交し、$\|u_2\|=\|u\|\|u_1\|=1$ である。よって $P=(u_1\ u_2\ u)$ の列は正規直交で $P^{\mathrm{T}}P=I$ である。さらに、スカラー三重積 $\det(a\ b\ c)=\langle a\times b,c\rangle$ と、ベクトル三重積の公式 $a\times(b\times c)=\langle a,c\rangle b-\langle a,b\rangle c$ から$$\det P=\langle u_1\times u_2,\,u\rangle,\qquad u_1\times(u\times u_1)=\langle u_1,u_1\rangle u-\langle u_1,u\rangle u_1=u$$なので $\det P=\langle u,u\rangle=1$ であり、$P\in\mathrm{SO}(3)$ である。

$S:=P^{\mathrm{T}}RP\in\mathrm{SO}(3)$ は、$Pe_3=u$ から $Se_3=P^{\mathrm{T}}Ru=P^{\mathrm{T}}u=e_3$ を満たす。したがって $S$ の第 3 列は $e_3$ であり、$S^{\mathrm{T}}=S^{-1}$ も $e_3$ を固定するので第 3 行も $(0,0,1)$ である。よって $S=\begin{pmatrix}A&0\\0&1\end{pmatrix}$（$A\in M_2(\mathbb{R})$）と書け、$A^{\mathrm{T}}A=I$、$\det A=1$ である。

よって $R=PSP^{\mathrm{T}}=PR_3(\theta)P^{\mathrm{T}}$ である。正規直交基底 $(u_1,u_2,u)$ に関する座標で見ると、$R$ は $R_3(\theta)$ で表される。$\square$

積：$\varphi(1)=I$、$\varphi(i)=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}$、$\varphi(j)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$、$\varphi(k)=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}$ であり、$\varphi$ は実線形である。行列の積を計算すると $\varphi(i)^2=\varphi(j)^2=\varphi(k)^2=-I$、$\varphi(i)\varphi(j)=\varphi(k)=-\varphi(j)\varphi(i)$、$\varphi(j)\varphi(k)=\varphi(i)=-\varphi(k)\varphi(j)$、$\varphi(k)\varphi(i)=\varphi(j)=-\varphi(i)\varphi(k)$ である。四元数の積は基底どうしの積から双線形に定まるので、$\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)$ である。$\det\varphi(q)=(a+bi)(a-bi)-(c+di)(-c+di)=N(q)$ であり、$\varphi(q)=0$ なら $a=b=c=d=0$ なので $\varphi$ は単射である。

$\mathrm{SU}(2)$ の元の形：$A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}\in\mathrm{SU}(2)$ なら、$\det A=1$ から $A^{-1}=\begin{pmatrix}\delta&-\beta\\-\gamma&\alpha\end{pmatrix}$ であり、これが $A^*=\begin{pmatrix}\bar\alpha&\bar\gamma\\\bar\beta&\bar\delta\end{pmatrix}$ に等しいので $\delta=\bar\alpha$、$\gamma=-\bar\beta$、$\det A=\lvert\alpha\rvert^2+\lvert\beta\rvert^2=1$ である。逆にこの形の行列は $A^*A=(\lvert\alpha\rvert^2+\lvert\beta\rvert^2)I=I$、$\det A=1$ を満たす。

全単射：$\varphi(q)$ は $\alpha=a+bi$、$\beta=c+di$ としたこの形の行列で、$\lvert\alpha\rvert^2+\lvert\beta\rvert^2=N(q)$ である。よって $N(q)=1$ なら $\varphi(q)\in\mathrm{SU}(2)$ であり、逆に $\mathrm{SU}(2)$ の元は $q=\mathrm{Re}\,\alpha+(\mathrm{Im}\,\alpha)i+(\mathrm{Re}\,\beta)j+(\mathrm{Im}\,\beta)k\in\mathrm{Sp}(1)$ の像である。$\varphi$ とその逆写像は成分の実線形写像の制限なので連続であり、$\varphi$ は同相写像である。$\square$

(i) $\overline{qx\bar q}=q\,\bar x\,\bar q=-qx\bar q$ なので $qx\bar q$ は純四元数である（純四元数であることは $\bar x=-x$ と同値）。線形性は積の双線形性から従い、$N(qx\bar q)=N(q)N(x)N(\bar q)=N(x)$ である。

(ii) 内積は $\langle x,y\rangle=\frac12\bigl(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\bigr)$ とノルムで書けるので、(i) から $\rho(q)$ は内積も保ち、表現行列は直交行列である。$q=a+bi+cj+dk$ として $qi\bar q$、$qj\bar q$、$qk\bar q$ を展開すると、表現行列は$$\rho(q)=\begin{pmatrix}a^2+b^2-c^2-d^2&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^2-b^2+c^2-d^2&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^2-b^2-c^2+d^2\end{pmatrix}$$である。成分が $a,b,c,d$ の多項式なので、行列式は $q$ について連続で $\pm1$ の値をとる。$\mathrm{Sp}(1)$ は弧状連結で $\rho(1)=I$ なので、行列式はつねに $1$ である。

(iii) $\rho(pq)(x)=pqx\,\bar q\,\bar p=\rho(p)\bigl(\rho(q)(x)\bigr)$ なので $\rho(pq)=\rho(p)\rho(q)$ である。表現行列の成分は多項式なので $\rho$ は連続である。$\square$

右辺：$P$ の列は正規直交なので $P^{\mathrm{T}}u_1=e_1$、$P^{\mathrm{T}}u_2=e_2$、$P^{\mathrm{T}}u=e_3$ であり、$PR_3(\theta)P^{\mathrm{T}}$ は $u\mapsto u$、$u_1\mapsto\cos\theta\,u_1+\sin\theta\,u_2$、$u_2\mapsto-\sin\theta\,u_1+\cos\theta\,u_2$ と写す。

左辺：$c:=\cos\frac\theta2$、$s:=\sin\frac\theta2$ とおくと $N(q)=c^2+s^2=1$ である。$q$ は $u$ と可換なので $\rho(q)(u)=uq\bar q=u$ である。次に$$qu_1\bar q=(c+su)\,u_1\,(c-su)=c^2u_1+cs(uu_1-u_1u)-s^2\,uu_1u=(c^2-s^2)u_1+2cs\,u_2=\cos\theta\,u_1+\sin\theta\,u_2$$である。

最後に $u_2=uu_1$ で、共役 $x\mapsto qx\bar q$ は積を保つ（$\bar qq=1$）ので、$\rho(q)(u_2)=\rho(q)(u)\,\rho(q)(u_1)=u(\cos\theta\,u_1+\sin\theta\,u_2)=\cos\theta\,u_2-\sin\theta\,u_1$ である（$uu_2=u\times u_2=-u_1$ を使った）。基底 $u_1,u_2,u$ の行き先が右辺と一致するので、両辺は等しい。$\square$

$q=a+bi+cj+dk$ について展開すると $iq-qi=-2d\,j+2c\,k$、$jq-qj=2d\,i-2b\,k$ なので、$q$ が $i$ および $j$ と可換なら $b=c=d=0$ である。逆に実数はすべての四元数と可換である。

$q\in\mathrm{Sp}(1)$ を固定し、$U_q:=\{p\in\mathrm{Sp}(1)\mid\mathrm{Re}(p\bar q)>0\}$、$E_q:=\{p\in\mathrm{Sp}(1)\mid\mathrm{Re}(p\bar q)=0\}$ とおく。$\mathrm{Re}(p\bar q)$ は $p$ と $q$ の内積なので、$U_q$ は $q$ を中心とする開半球面、$E_q$ はその境界の 2 次元球面であり、$\mathrm{Sp}(1)=U_q\sqcup E_q\sqcup U_{-q}$、$U_{-q}=-U_q$ である。

核が $\{\pm1\}$ なので、各 $R\in\mathrm{SO}(3)$ の逆像はある $p$ について $\{p,-p\}$ である（prop-dcov-kernel-central (ii)）。$\mathrm{Re}(-p\bar q)=-\mathrm{Re}(p\bar q)$ なので、$\{p,-p\}$ は「$U_q$ と $U_{-q}$ に 1 点ずつ」か「2 点とも $E_q$」のどちらかである。したがって $V:=\rho(U_q)$ とおくと $\mathrm{SO}(3)=V\sqcup\rho(E_q)$、$\rho^{-1}(V)=U_q\sqcup U_{-q}$ であり、$\rho|_{U_q}\colon U_q\to V$ と $\rho|_{U_{-q}}\colon U_{-q}\to V$ は全単射である。

$V$ が開集合であること：$E_q$ はコンパクトな $\mathrm{Sp}(1)$ の閉集合なのでコンパクトであり、その連続像 $\rho(E_q)$ はコンパクトである。$\mathrm{SO}(3)$ は Hausdorff 空間なので $\rho(E_q)$ は閉集合であり、補集合 $V$ は開集合である。

$\rho|_{U_q}$ が同相写像であること：連続な全単射なので、開写像であることを示せばよい。$W\subset U_q$ を開集合とする。$W\cup(-W)$ は $\{p,-p\}$ の形の組を丸ごと含むか全く含まない集合なので、$\rho(W)=\mathrm{SO}(3)\setminus\rho\bigl(\mathrm{Sp}(1)\setminus(W\cup(-W))\bigr)$ である。$\mathrm{Sp}(1)\setminus(W\cup(-W))$ は閉集合なのでコンパクトであり、上と同じ理由でその像は閉集合である。よって $\rho(W)$ は開集合である。$U_{-q}$ についても同様である。

以上で $\rho(q)$ の開近傍 $V$ について $\rho^{-1}(V)=U_q\sqcup U_{-q}$、各制限が同相写像となることが示された。$\rho$ は全射なので $\mathrm{SO}(3)$ の各点はある $\rho(q)$ の形であり、$\rho$ は 2 重の被覆写像である。$\mathrm{SU}(2)$ についての主張は $\varphi$ が位相群の同型であることから従う。$\square$

thm-dcov-main と prop-dcov-pi1 により $\pi_1(\mathrm{SO}(3))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、自明でない元は $1$ から $-1$ への道 $t\mapsto\cos\frac t2+\sin\frac t2\,k$ の像、すなわち lem-dcov-axis-lift によりループ $t\mapsto R_3(t)$ で代表される。単連結な被覆空間なので $\rho$ は普遍被覆である。また prop-dcov-quotient の後半により、$\rho$ は位相群の同型 $\mathrm{Sp}(1)/\{\pm1\}\cong\mathrm{SO}(3)$ を誘導し、$S^3$ の対蹠点を同一視した空間 $S^3/\{\pm1\}$ が $\mathbb{RP}^3$ である。$\square$