豊富な可逆層

1. $\mathcal{L}$ が豊富とし、$\mathcal{F}$ を連接層とする。$n_0$ を $n\ge n_0$ で $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{n}$ が大域生成となるようにとれば、$n\ge n_0$ で $\mathcal{F}\otimes(\mathcal{L}^{m})^{n}=\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{mn}$ は大域生成なので $\mathcal{L}^{m}$ は豊富である。逆に $\mathcal{L}^{m}$ が豊富とする。$r=0,1,\dots,m-1$ に対して $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{r}$ は連接層（連接層と可逆層のテンソル積は連接、連接層）なので、$n_r$ があって $n\ge n_r$ で $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{r}\otimes\mathcal{L}^{mn}$ は大域生成である。$N:=m\cdot\max_rn_r$ とおくと、任意の $k\ge N$ は $k=mn+r$（$0\le r< m$、$n\ge\max_rn_r$）と書けるので $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{k}$ は大域生成である。よって $\mathcal{L}$ は豊富である。
2. $\mathcal{F}$ を連接層とし、$n\ge n_0$ で $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{n}$ が大域生成であるとする。$\mathcal{M}^{n}$ は大域生成な層のテンソル積として大域生成なので、$n\ge n_0$ で $\mathcal{F}\otimes(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M})^{n}=(\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{n})\otimes\mathcal{M}^{n}$ は大域生成である。
3. $\mathcal{M}$ が豊富なので、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ に定義を適用して、$m_0$ があって $n\ge m_0$ で $\mathcal{M}^{n}$ は大域生成である。$\mathcal{F}$ を任意の連接層とし、$n\ge n_0$ で $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{n}$ が大域生成となるようにとると、$n\ge\max(n_0,m_0)$ で $\mathcal{F}\otimes(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M})^{n}=(\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{n})\otimes\mathcal{M}^{n}$ は大域生成である。
4. $\mathcal{M}$ に定義を適用して、$n\ge n_1$ で $\mathcal{M}\otimes\mathcal{L}^{n}$ が大域生成となる $n_1$ をとる。$n\ge n_0:=n_1+1$ に対し $\mathcal{M}\otimes\mathcal{L}^{n}=\mathcal{L}\otimes(\mathcal{M}\otimes\mathcal{L}^{n-1})$ は、豊富な $\mathcal{L}$ と大域生成な可逆層のテンソル積なので 2 により豊富である。

$\mathcal{G}$ を $Y$ 上の連接層とする。$f$ は有限射なので、順像 $f_{*}\mathcal{G}$ は $X$ 上の連接層である（Har77 II 演習 5.5）。$\mathcal{L}$ が豊富なので、$n\ge n_0$ で $f_{*}\mathcal{G}\otimes\mathcal{L}^{n}$ は大域生成であり、したがってその引き戻し $f^{*}(f_{*}\mathcal{G}\otimes\mathcal{L}^{n})=f^{*}f_{*}\mathcal{G}\otimes f^{*}\mathcal{L}^{n}$ も大域生成である。ここで随伴射 $f^{*}f_{*}\mathcal{G}\to\mathcal{G}$ が全射であることを示す。$f$ はアフィン射なので、$X$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$ に対し $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}C$ はアフィンで、$\mathcal{G}|_{f^{-1}(V)}=\widetilde{M}$（$M$ は $C$ 加群）と書ける。すると $f_{*}\mathcal{G}|_V=\widetilde{M_B}$（$M$ を $B$ 加群とみたもの）、$f^{*}f_{*}\mathcal{G}|_{f^{-1}(V)}=(M\otimes_BC)^{\sim}$ であり、随伴射は $M\otimes_BC\to M$、$m\otimes c\mapsto cm$ に対応する。これは $m=m\otimes1$ の像なので全射である。よって $\mathcal{G}\otimes f^{*}\mathcal{L}^{n}$ は大域生成な層 $f^{*}f_{*}\mathcal{G}\otimes f^{*}\mathcal{L}^{n}$ の商として、$n\ge n_0$ で大域生成である。閉埋め込みは有限射なので、後半が従う。

$a,b>0$ とする。対称性から $a\le b$ としてよい。$\mathcal{O}(a,b)=\mathcal{O}(1,1)^{a}\otimes\mathcal{O}(0,b-a)$ であり、$\mathcal{O}(1,1)$ は非常に豊富（ex-ample-invertible-sheaf-product）なので thm-ample-invertible-sheaf-power-very-ample により豊富、よって $\mathcal{O}(1,1)^{a}$ は prop-ample-invertible-sheaf-tensor の 1 により豊富である。$\mathcal{O}(0,b-a)=q^{*}\mathcal{O}(b-a)$ は、$b-a\ge0$ より大域生成な $\mathcal{O}(b-a)$ の引き戻しなので大域生成である。したがって prop-ample-invertible-sheaf-tensor の 2 により $\mathcal{O}(a,b)$ は豊富である。
逆に $\mathcal{O}(a,b)$ が豊富とする。閉点 $x\in\mathbb{P}^m_k$ をとり、閉埋め込み $j\colon\mathbb{P}^n_k\cong\{x\}\times\mathbb{P}^n_k\to\mathbb{P}^m_k\times\mathbb{P}^n_k$ を考えると $j^{*}\mathcal{O}(a,b)\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_k}(b)$ であり（$p\circ j$ は定値射なので $j^{*}p^{*}\mathcal{O}(a)$ は自明）、prop-ample-invertible-sheaf-finite-pullback により $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_k}(b)$ は豊富である。ex-ample-invertible-sheaf-trivial-negative により $b>0$ である。同様に $a>0$ である。

$n_0$ を、$n\ge n_0$ で $\mathcal{G}:=\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{n}$ が大域切断の族 $(s_i)_{i\in I}$ で生成されるようにとる。$\mathcal{G}$ は連接層である。各点 $x\in X$ に対して、茎 $\mathcal{G}_x$ は $\mathcal{O}_{X,x}$ 上有限生成なので、有限個の $s_{i_1},\dots,s_{i_p}$ の芽で生成される。射 $u\colon\mathcal{O}_X^{\oplus p}\to\mathcal{G}$、$(a_j)\mapsto\sum_ja_js_{i_j}$ の余核 $\operatorname{coker}u$ は連接層で、$x$ での茎が $0$ である。連接層の台は閉集合なので（連接層）、$x$ の開近傍 $U_x$ で $\operatorname{coker}u|_{U_x}=0$、すなわち $u$ は $U_x$ 上で全射である。$X$ は準コンパクトなので有限個の $U_{x_1},\dots,U_{x_q}$ で覆われ、対応する有限個の切断をすべて集めた $s_1,\dots,s_r$ が定める射 $\mathcal{O}_X^{\oplus r}\to\mathcal{G}$ は各点の茎で全射、したがって全射である。両辺に $\mathcal{L}^{-n}$ をテンソルすれば（可逆層とのテンソル積は完全関手であり $\mathcal{G}\otimes\mathcal{L}^{-n}\cong\mathcal{F}$、可逆層）、全射 $(\mathcal{L}^{-n})^{\oplus r}\to\mathcal{F}$ を得る。

以下、$\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)$ とおき、可逆層の次数 $\deg\mathcal{L}:=\deg D$ を使う。これは $\mathcal{L}$ の零でない有理切断 $t$ の因子 $\operatorname{div}(t)$ の次数に等しく、$\operatorname{div}(t)$ の線型同値類は $t$ によらない（因子、Har77 II §6）。とくに $\mathcal{L}$ が零でない大域切断 $s$ をもてば、$\operatorname{div}(s)$ は有効因子なので $\deg\mathcal{L}\ge0$ であり、さらに $\deg\mathcal{L}=0$ なら $\operatorname{div}(s)=0$ で $\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X$ である。また $\deg(\mathcal{L}_1\otimes\mathcal{L}_2)=\deg\mathcal{L}_1+\deg\mathcal{L}_2$ である（可逆層の記事の「Cartier因子の加法とテンソル積」）。
（豊富 $\Rightarrow\deg D>0$）$\mathcal{L}$ が豊富とすると、thm-ample-invertible-sheaf-power-very-ample によりある $m\ge1$ について $\mathcal{L}^{m}$ は非常に豊富で、閉埋め込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_k$ により $\mathcal{L}^{m}\cong i^{*}\mathcal{O}(1)$ と書ける。$i(X)$ は 1 次元なので、$i(X)$ を含まない超平面 $V(\ell)$ が存在し、$s:=i^{*}\ell\in\Gamma(X,\mathcal{L}^{m})$ は零でない大域切断である。よって $m\deg\mathcal{L}=\deg\mathcal{L}^{m}\ge0$ である。もし $\deg\mathcal{L}=0$ なら $\mathcal{L}^{m}\cong\mathcal{O}_X$ となるが、$X$ は $k$ 上固有で整なので $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k$ であり（Har77 I 定理 3.4、または II 演習 4.5）、$\mathcal{O}_X\cong i^{*}\mathcal{O}(1)$ の生成切断 $i^{*}x_0,\dots,i^{*}x_n$ はすべて定数、したがって $i$ は $X$ を 1 点に写す（rem-ample-invertible-sheaf-morphism）。これは $i$ が閉埋め込みであることに反する。ゆえに $\deg D=\deg\mathcal{L}>0$ である。
（$\deg D>0\Rightarrow$ 豊富）$g$ を $X$ の種数とする。$n\ge(2g+1)/\deg D$ なる $n$ をとると $\deg(nD)\ge2g+1$ であり、このとき $nD$ は非常に豊富である（Har77 IV 系 3.2。Riemann–Roch の定理により $\deg(nD-P-Q)\ge2g-1$ から $h^0(nD-P-Q)=h^0(nD)-2$ が任意の閉点 $P,Q$ について成り立ち、完備線型系（線型系）$|nD|$ が点と接ベクトルを分離することによる）。したがって thm-ample-invertible-sheaf-power-very-ample により $D$ は豊富である。