余等化子

同義語：コイコライザー

概要

定義

二本の射を等しくするために、終域の側へ必要な同一視を加える構成が余等化子である。

平行射の余等化子

圏 $\mathcal C$ の平行な二本の射 $f,g:A\to B$ の余等化子（coequalizer）は、射 $q:B\to Q$ で $qf=qg$ を満たし、次の普遍性を持つものである。任意の $b:B\to X$ で $bf=bg$ となるものに対し、$uq=b$ を満たす射 $u:Q\to X$ がただ一つ存在する。

$\operatorname{Coeq}(f,g)$ は対象 $Q$ の略記で、構造射 $q$ も普遍性の一部である。等化子が前合成を調整するのに対し、余等化子は後合成を調整する。定義は Rie16 §3.1による。

直感

$f(a)$ と $g(a)$ を見分けない写像だけを許すように、$B$ を商にする。集合では同値関係を生成するが、一般の圏ではどの構造を保つ射を考えるかによって商の内容が変わる。

例と反例

集合での同一視

$A=\{a,b\}$、$B=\{0,1,2\}$ に対し、$f(a)=0,g(a)=1,f(b)=1,g(b)=2$ とする。$bf=bg$ を満たす写像は $0,1,2$ に同じ値を取るので、余等化子は一点集合になる。二本の射の像の集合を取り除く構成ではない。

線形写像の差の余核

線形写像 $f,g:V\to W$ では、商写像 $q:W\to W/\operatorname{im}(f-g)$ が余等化子である。$bf=bg$ は $b$ が $\operatorname{im}(f-g)$ 上で零になる条件であり、線形な商写像の普遍性によって $b$ が一意に降りる。

群の余等化子

群と群準同型の圏 $\mathbf{Grp}$ での $f,g:A\to B$ の余等化子は、集合 $\{f(a)g(a)^{-1}\mid a\in A\}$ が生成する正規閉包 $N\trianglelefteq B$ による商 $q:B\to B/N$ である。$b:B\to X$ が $bf=bg$ を満たす群準同型なら、各 $a$ について $b(f(a)g(a)^{-1})=1$ となるので $N\subseteq\ker b$ であり、$b$ は $B/N$ を経由して一意に分解する。

順序圏の平行射

半順序集合の圏では、存在する平行射は $f=g$ である。この場合の余等化子は $\operatorname{id}_B:B\to B$ である。任意の $b:B\to X$ が条件を満たし、その因子化は $b$ 自身に一意に定まる。

反例：生成する対だけでは商を定められない

最初の例で得られる対 $(0,1),(1,2)$ だけを同値関係と呼ぶことはできない。反射律・対称律・推移律が満たされず、特に $0$ と $2$ も同一視されなければならない。同一視の指定と、それで生成される最小の同値関係を区別する必要がある。推移閉包を取らないと関係は同値関係にならず、$qf=qg$ を満たす射の一意な因子化が定まらない。

性質と証明

集合における一般構成

集合の写像 $f,g:A\to B$ に対し、全対 $(f(a),g(a))$ を含む最小の同値関係を $\sim$ とする。商写像 $q:B\to B/{\sim}$ が余等化子である。

核となる同値関係を用いる

指定された対を含む同値関係全体は、少なくとも $B\times B$ を含む非空の集合である。その共通部分は同値関係であり、これが最小の $\sim$ を与える。定義から $qf=qg$。
$b:B\to X$ が $bf=bg$ を満たすとき、$b(y)=b(z)$ で定まる関係は同値関係で、指定されたすべての対を含む。最小性から $y\sim z$ なら $b(y)=b(z)$。従って $u([y])=b(y)$ は代表元によらず定まり、$uq=b$ を満たす。各同値類には代表元が存在するためこの等式は $u$ の全値を固定し、一意性も従う。すべての類の代表元を同時に選択する必要はない。

余等化子はエピ射（全射的な射）

余等化子の構造射 $q:B\to Q$ は全射的である。すなわち $rq=sq$ なら $r=s$ が従う。

同じ写像の因子化を比較する

$r,s:Q\to X$ に対し $rq=sq=b$ とする。$bf=rqf=rqg=bg$ である。$r,s$ はともに $b$ の余等化子を通じた因子化なので一意性から等しい。この証明は一般の圏で有効であり、射の全射性を集合の全射性と同一視することは使わない。

同じ二本の射の余等化子は構造射を保つ一意な同型を除いて一つである。互いの構造射を普遍性で因子化し、往復に一意性を使うと確認できる。余等化子は二本の平行射からなる図式の余極限(圏論)である。

豊穣圏・∞圏との接続

豊穣的な余等化子では、各 $X$ で $\mathcal C(Q,X)$ が二つのHom対象間の射の等化子になることを要求する。台の通常圏での商だけでは、この対象レベルの普遍性は保証されない（Kel82 §3.8の双対）。
∞-圏では、二射を一致させる比較ホモトピーも保持した余極限を考える。集合の同値関係による商だけで高次情報まで計算したことにはならない。通常圏の脈体への特化と一般のモデル比較は HTT09 §§1.2.13, 4.2.4に依存する。