Lebesgue積分

要点：2 つの書き方の集合の共通部分に細かく分ければ、どの主張も有限和の等式・不等式になる。

$f=\sup_nf_n$ は可測である。$f_n\le f_{n+1}\le f$ なので $\int f_n\,d\mu$ は増加し、極限 $L$ は $\int f\,d\mu$ 以下である。逆向きを示す。$s=\sum_{i}c_i1_{A_i}$ を $0\le s\le f$ である単関数（$A_i$ は $X$ の分割）、$0< c<1$ とし、
$$ E_n:=\{x\in X\mid f_n(x)\ge c\,s(x)\}=\bigcup_i\bigl(A_i\cap\{f_n\ge c\,c_i\}\bigr) $$
とおく。$E_n$ は可測で、$f_n$ の単調性から $E_1\subset E_2\subset\cdots$ である。さらに $\bigcup_nE_n=X$ である。実際、$s(x)=0$ なら $x\in E_1$ であり、$s(x)>0$ なら $f(x)\ge s(x)>c\,s(x)$ なので、十分大きい $n$ で $f_n(x)>c\,s(x)$ となる。単関数 $c\,s\,1_{E_n}$ は $f_n$ 以下なので
$$ \int f_n\,d\mu\ \ge\ \int c\,s\,1_{E_n}\,d\mu=c\sum_ic_i\,\mu(A_i\cap E_n). $$
$n\to\infty$ とすると、測度の下からの連続性（Lebesgue測度 の記事の命題「測度の単調性と連続性」の 2）により右辺は $c\sum_ic_i\mu(A_i)=c\int s\,d\mu$ に収束する。よって $L\ge c\int s\,d\mu$ であり、$c\to1$ とし、$s$ について上限をとれば $L\ge\int f\,d\mu$ を得る。$\square$

$s_n$ の値は $k2^{-n}$（$0\le k\le n2^n$）のどれかで、$\{s_n=k2^{-n}\}$ は $k< n2^n$ なら $\{k2^{-n}\le f<(k+1)2^{-n}\}$、$k=n2^n$ なら $\{f\ge n\}$ であり、どれも可測である。$2^{-n}\lfloor2^ny\rfloor\le2^{-n-1}\lfloor2^{n+1}y\rfloor$（$2\lfloor z\rfloor\le\lfloor2z\rfloor$）と $n< n+1$ から $s_n\le s_{n+1}$ である。$f(x)<\infty$ なら $n>f(x)$ で $0\le f(x)-s_n(x)<2^{-n}$、$f(x)=\infty$ なら $s_n(x)=n\to\infty$ である。$\square$

1. lem-lebesgue-integral-approximation の単関数の増加列 $s_n\uparrow f$、$t_n\uparrow g$ をとると、$s_n+t_n$ は $f+g$ に増加して収束する単関数の列である。lem-lebesgue-integral-simple の 2 と thm-lebesgue-integral-monotone-convergence により $\int(f+g)=\lim\int(s_n+t_n)=\lim\int s_n+\lim\int t_n=\int f+\int g$。$cf$ も同様である。
2. 要点：正の部分と負の部分に分けて 1 に帰着する。
   詳細

   $\lvert af+bg\rvert\le\lvert a\rvert\lvert f\rvert+\lvert b\rvert\lvert g\rvert$ と 1 から $af+bg$ は可積分である。$h:=f+g$ とすると $h^+-h^-=f^+-f^-+g^+-g^-$ より $h^++f^-+g^-=h^-+f^++g^+$ であり、1 を両辺に使うと、すべての項が有限なので移項して $\int h=\int f+\int g$ を得る。$a\ge0$ なら $(af)^\pm=af^\pm$、$a<0$ なら $(af)^+=\lvert a\rvert f^-$、$(af)^-=\lvert a\rvert f^+$ なので $\int af=a\int f$。$f\le g$ なら $\int g-\int f=\int(g-f)\ge0$ である。最後に $-\lvert f\rvert\le f\le\lvert f\rvert$ から $\lvert\int f\rvert\le\int\lvert f\rvert$。$\square$

1. 単関数 $t\,1_{\{f\ge t\}}$ は $f$ 以下なので $t\,\mu(\{f\ge t\})\le\int f\,d\mu$。
2. 1 から $\mu(\{f\ge1/k\})=0$ であり、$\{f\ge1/k\}$ は $k$ について増加して和が $\{f>0\}$ になるので、下からの連続性（Lebesgue測度 の記事の命題「測度の単調性と連続性」の 2）により $\{f>0\}$ は零集合である。また $\mu(\{f=\infty\})\le\mu(\{f\ge t\})\le\frac1t\int f\,d\mu$ がすべての $t>0$ で成り立つので $\mu(\{f=\infty\})=0$。
3. 零集合 $N$ の外で $f=g$ とする。単関数 $s\le f1_N$ は $N$ の外で $0$ なので、係数が正の項の集合は $N$ に含まれ、$\int s\,d\mu=0$ である。よって $\int f1_N\,d\mu=0$、同様に $\int g1_N\,d\mu=0$ である。$f1_{X\setminus N}=g1_{X\setminus N}$ と thm-lebesgue-integral-linear の 1 から $\int f=\int f1_{X\setminus N}+\int f1_N=\int g1_{X\setminus N}+\int g1_N=\int g$。$\square$

$g_k:=\inf_{n\ge k}f_n$ は可測で、$g_1\le g_2\le\cdots$、$\lim_kg_k=\liminf_nf_n$ である。$n\ge k$ なら $g_k\le f_n$ なので $\int g_k\,d\mu\le\inf_{n\ge k}\int f_n\,d\mu$。thm-lebesgue-integral-monotone-convergence により
$$ \int\liminf_nf_n\,d\mu=\lim_k\int g_k\,d\mu\le\lim_k\inf_{n\ge k}\int f_n\,d\mu=\liminf_n\int f_n\,d\mu.\qquad\square $$

$\lvert f\rvert=\lim\lvert f_n\rvert\le g$ なので $f$ は可積分である。$\lvert f_n-f\rvert\le2g$ だから $h_n:=2g-\lvert f_n-f\rvert\ge0$ で、各点で $h_n\to2g$ である。lem-lebesgue-integral-fatou と積分の線形性（$\int2g<\infty$）により
$$ \int2g\,d\mu\le\liminf_n\int h_n\,d\mu=\int2g\,d\mu-\limsup_n\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu $$
となり、$\limsup_n\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\le0$ である。さらに $\bigl\lvert\int f_n-\int f\bigr\rvert\le\int\lvert f_n-f\rvert\to0$。$\square$

要点：下限和・上限和はそれぞれ階段関数の Lebesgue 積分であり、分割を細かくした階段関数の極限 $g\le f\le h$ について、優収束定理で $\int g=\int h=\int_a^bf$ となる。$h-g\ge0$ の積分が $0$ なので、$f$ はほとんど至るところ $g$ に等しい。

$f1_{[a,n]}$ は $n$ について増加し、各点で $f1_{[a,\infty)}$ に収束する。$f$ は $[a,n]$ 上で連続なので Riemann 積分可能であり（Riemann積分 の記事の定理「連続関数の可積分性」）、thm-lebesgue-integral-riemann から $\int f1_{[a,n]}\,d\lambda=\int_a^nf$ である。thm-lebesgue-integral-monotone-convergence により $\int_{[a,\infty)}f\,d\lambda=\lim_n\int_a^nf$ であり、$R\mapsto\int_a^Rf$ は増加なので、これは $R\to\infty$ の極限に等しい。$(a,b]$ の場合は $f1_{[a+1/n,b]}$ を使って同様である。$\square$

値がほとんど至るところ等しい関数の積分は等しいので（lem-lebesgue-integral-null の 3）、$\|\cdot\|_p$ と $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は同値類の上で定まる。

1. $\lvert f+g\rvert\le\lvert f\rvert+\lvert g\rvert$ と積分の線形性・単調性から、$L^1$ は線形空間で三角不等式が成り立つ。$\| f\|_1=0$ なら lem-lebesgue-integral-null の 2 により $f=0$（ほとんど至るところ）である。
2. $\lvert fg\rvert\le\frac12(f^2+g^2)$、$(f+g)^2\le2f^2+2g^2$ から、$fg$ は可積分で $L^2$ は線形空間である。$\langle\cdot,\cdot\rangle$ は対称で双線形、$\langle f,f\rangle=\| f\|_2^2\ge0$ であり、$\langle f,f\rangle=0$ なら $f^2=0$（ほとんど至るところ）から $f=0$ である。したがって内積であり、内積空間 の記事の定理「三角不等式と平行四辺形の等式」により $\|\cdot\|_2$ はノルムである。
3. 完備性は証明を割愛する（Axler20 7.24。1 以上のすべての $p$ について $L^p(\mu)$ が完備であることを示している）。$\square$