岡の連接定理

1：連接層 の定義「連接層の定義」の条件 1 は仮定である。条件 2 を示す。開集合 $U\subset\Omega$ と $\mathcal{O}_U$ 加群の射 $u\colon\mathcal{O}_U^q\to\mathcal{S}|_U$ をとり、$\mathcal{O}_U^q$ の標準基底の像を $s_1,\dots,s_q\in\mathcal{S}(U)\subset\mathcal{O}(U)^p$ とする。$u$ は $(c^j)\mapsto\sum_jc^js_j$ で与えられるので、$\ker u=\mathcal{R}(s_1,\dots,s_q)$ であり、thm-oka-main（$\Omega$ を $U$ に替えて使う）によりこれは有限型である。$\mathcal{O}_\Omega^p$ 自身は標準基底の $p$ 個の切断で生成されるので、$\mathcal{S}=\mathcal{O}_\Omega^p$ としてよい。
2：連接性は局所的な性質である（連接層 の定義のあとの説明）。$M$ の座標近傍は $\mathbb{C}^n$ の開集合 $D$ と双正則であり、この同一視で $\mathcal{O}_M$ の制限は $\mathcal{O}_D$ に移る。1 により $\mathcal{O}_D$ は連接なので、$\mathcal{O}_M$ は連接である。$\square$

要点：1 本目の方程式の関係式の生成元 $H_k$ の一次結合で一般の関係式を書き、その係数が満たす残り $p-1$ 本の方程式に仮定を使う。

$W$ は $w$ の多項式として最高次の係数が $1$ なので、$A[w]$ の中で多項式の割り算ができ、$P=G_1W+H$（$G_1,H\in A[w]$、$\deg_wH< b$）と書ける。$H$ は $w-\zeta_n$ の $b$ 次未満の $A$ 係数多項式でもある。$W(\zeta',w)=(w-\zeta_n)^b$ なので $W$ は $w-\zeta_n$ について $b$ 次の正則であり、Weierstrassの予備定理 の定理「Weierstrass の割り算定理」の一意性を $P=GW+0=G_1W+H$ に使うと $G=G_1$、$H=0$ である。$W$ の最高次の係数が $1$ なので $\deg_wP=\deg_wG+b$ である。$\square$

$F_q(\zeta',w)$ は $w$ の $\nu:=\deg_wF_q$ 次のモニック多項式で恒等的に $0$ でないので、$F_q$ は $w-\zeta_n$ についてある $b$ 次の正則である（$b$ は $w=\zeta_n$ での根の重複度で、$0$ でもよい）。予備定理により $(F_q)_\zeta=hW$、$h\in\mathcal{O}_\zeta$ は単元、$W$ は $w-\zeta_n$ についての $b$ 次の Weierstrass 多項式である。lem-oka-quotient により $h\in A[w]$、$\deg_wh=\nu-b$ である。
$q=1$ なら、$F_1$ の芽は $0$ でなく $\mathcal{O}_\zeta$ は整域なので $R_\zeta=0$ であり、主張は自明である。$q\ge2$ とし、$1\le i\le q-1$ について
$$ \kappa_i:=F_q\,e_i-F_i\,e_q\qquad(e_i\text{ は }\mathcal{O}_\zeta^q\text{ の標準基底}) $$
とおく。$\kappa_i$ は成分が $A[w]$ に属し $\mu$ 次以下の関係式である。
$c=(c^1,\dots,c^q)\in R_\zeta$ をとる。$i\le q-1$ について、割り算定理で $c^i=t^iW+r^i$（$t^i\in\mathcal{O}_\zeta$、$r^i\in A[w]$、$\deg_wr^i< b$）と割る。$t^iW=(t^i/h)F_q$ なので
$$ c-\sum_{i=1}^{q-1}\frac{t^i}{h}\,\kappa_i=(r^1,\dots,r^{q-1},r^q),\qquad r^q:=c^q+\sum_{i=1}^{q-1}\frac{t^i}{h}F_i $$
となる。左辺は関係式なので $r:=(r^1,\dots,r^q)\in R_\zeta$ であり、
$$ P:=r^qF_q=-\sum_{i=1}^{q-1}r^iF_i\in A[w],\qquad\deg_wP\le(b-1)+\mu $$
である。$P=(r^qh)W$ なので、$P\ne0$ なら lem-oka-quotient により $r^qh\in A[w]$、$\deg_w(r^qh)=\deg_wP-b\le\mu-1$ であり、$P=0$ なら $F_q$ の芽が $0$ でないので $r^q=0$ である。いずれの場合も
$$ h\,r=(hr^1,\dots,hr^{q-1},hr^q) $$
は各成分が $A[w]$ に属し、$\deg_w(hr^i)<(\nu-b)+b=\nu\le\mu$（$i\le q-1$）、$\deg_w(hr^q)\le\mu-1$ を満たす関係式である。$h$ は単元なので
$$ c=\sum_{i=1}^{q-1}\frac{t^i}{h}\,\kappa_i+h^{-1}\,(h\,r) $$
であり、$c$ は $\mu$ 次以下の多項式の関係式 $\kappa_1,\dots,\kappa_{q-1},\,hr$ の $\mathcal{O}_\zeta$ 係数の一次結合である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。主張 $S(n)$ を「$\mathbb{C}^n$ の任意の開集合 $\Omega$、任意の $p,q\ge1$、任意の $F_1,\dots,F_q\in\mathcal{O}(\Omega)^p$、任意の $a\in\Omega$ について thm-oka-main の結論が成り立つ」とする。
$n=0$．$\mathbb{C}^0$ は 1 点で $\mathcal{O}_z=\mathbb{C}$ だから、$R_z$ は $\mathbb{C}^q$ の線形部分空間である。その基底を $G_1,\dots,G_s$ とすればよい。
$n\ge1$．$S(n-1)$ を仮定する。lem-oka-rows により、$p$ についての帰納法で $p=1$ の場合に帰着する（$p=1$ の場合が $\mathbb{C}^n$ のすべての開集合で示せれば、$p=2,3,\dots$ と順に従う）。そこで $p=1$、$F_1,\dots,F_q\in\mathcal{O}(\Omega)$ とし、平行移動して $a=0$ とする。
段 1（$0$ になる芽を除く）：$J:=\{j\mid(F_j)_0=0\}$ とする。$0$ を中心とする球 $B\subset\Omega$ を、$j\in J$ について $B$ 上 $F_j\equiv0$ となるようにとる。$z\in B$ では、$c\in R_z(F_1,\dots,F_q)$ であることと、$(c^j)_{j\notin J}\in R_z((F_j)_{j\notin J})$ であることは同値で、$c^j$（$j\in J$）は任意である。よって $(F_j)_{j\notin J}$ について結論が得られれば、その生成元（$J$ の成分を $0$ で埋めたもの）と標準基底 $e_j$（$j\in J$）が $F_1,\dots,F_q$ の生成元になる。$J$ がすべてなら $e_1,\dots,e_q$ でよい。以下、$\Omega$ を $B$ に替え、どの $F_j$ の芽も $0$ でないとする。
段 2（座標の取り替え）：$\mathcal{O}_0$ は整域なので積 $F_1\cdots F_q$ の芽は $0$ でない。Weierstrassの予備定理 の補題「一般の関数を $w$ 正則にする座標変換」により、$\mathbb{C}^n$ の線形な座標変換で積が $w$ について正則になるようにできる。線形な座標変換は芽の環の同型を引き起こし、関係式の加群を対応させるので、結論は座標によらない。このとき $\prod_jF_j(0,w)\not\equiv0$ だから各 $F_j(0,w)\not\equiv0$ であり、各 $F_j$ は $w$ についてある $b_j$ 次の正則である。
段 3（予備定理）：$D(\rho):=\{w\in\mathbb{C}\mid|w|<\rho\}$ と書く。予備定理を各 $F_j$ に使い、得られた多重円板の共通部分をとって（必要なら小さくして）、原点を中心とする多重円板 $\Delta'\subset\mathbb{C}^{n-1}$ と $\rho>0$ で $\Delta'\times D(\rho)\subset\Omega$ かつ、その上で
$$ F_j=u_jW_j\qquad(1\le j\le q) $$
となるものをとる。ここで $u_j$ は零点をもたない正則関数、$W_j$ は係数が $\mathcal{O}(\Delta')$ に属する Weierstrass 多項式である。$W_j$ は $w$ の多項式として $\Delta'\times\mathbb{C}$ 全体で定義される。$z\in\Delta'\times D(\rho)$ について、$c\in R_z(F_1,\dots,F_q)$ であることと $(u_jc^j)_j\in R_z(W_1,\dots,W_q)$ であることは同値である。よって $W_1,\dots,W_q$ の関係式 $G_1,\dots,G_s$ が $\omega$ の各点で生成元になっていれば、$(G_l^j/u_j)_j$（$1\le l\le s$）が $\omega\cap(\Delta'\times D(\rho))$ の各点で $F_1,\dots,F_q$ の関係式の生成元になる。
段 4（連立 1 次方程式への帰着）：$\mu:=\max_j\deg_wW_j$ とし、$W_j=\sum_{i=0}^{\mu}\alpha_{j,i}(z')w^i$（$\alpha_{j,i}\in\mathcal{O}(\Delta')$、$i$ が範囲外なら $\alpha_{j,i}:=0$）と書く。$\mu$ 次以下の多項式の組 $c^j=\sum_{k=0}^{\mu}c^j_kw^k$ について
$$ \sum_{j=1}^qc^jW_j=\sum_{m=0}^{2\mu}\Bigl(\sum_{j=1}^q\sum_{k=0}^{\mu}c^j_k\,\alpha_{j,m-k}\Bigr)w^m $$
である。$1\le j\le q$、$0\le k\le\mu$ について $\Phi_{j,k}:=(\alpha_{j,m-k})_{0\le m\le2\mu}\in\mathcal{O}(\Delta')^{2\mu+1}$ とおく。$A[w]$ の元が $0$ になるのは係数がすべて $0$ のときに限るので、$\zeta\in\Delta'\times\mathbb{C}$ において $c$ が関係式であることと、係数の組 $(c^j_k)_{j,k}$ が $R_{\zeta'}((\Phi_{j,k})_{j,k})$ に属することは同値である。$S(n-1)$ を $\Delta'$ と $\Phi_{j,k}$（方程式 $2\mu+1$ 本、未知数 $q(\mu+1)$ 個）に使うと、$0\in\mathbb{C}^{n-1}$ の開近傍 $\omega'\subset\Delta'$ と、各点 $\zeta'\in\omega'$ で $R_{\zeta'}((\Phi_{j,k}))$ を生成する関係式 $C_1,\dots,C_s\in\mathcal{O}(\omega')^{q(\mu+1)}$ がある。$G_l^j:=\sum_kC_l^{j,k}w^k$ とおくと、$G_l=(G_l^1,\dots,G_l^q)$ は $\omega'\times\mathbb{C}$ 上の $W_1,\dots,W_q$ の関係式である。
段 5（生成）：$\zeta\in\omega'\times\mathbb{C}$ とする。lem-oka-polynomial により、$R_\zeta(W_1,\dots,W_q)$ は $\mu$ 次以下の多項式の関係式 $c$ で生成される。その係数の組は $R_{\zeta'}((\Phi_{j,k}))$ に属するので $\sum_le^l(C_l)_{\zeta'}$（$e^l\in A$）と書け、$w$ の冪ごとに比べて $c=\sum_le^l(G_l)_\zeta$ となる。よって $(G_1)_\zeta,\dots,(G_s)_\zeta$ は $R_\zeta(W_1,\dots,W_q)$ を生成する。段 3 により、$\omega:=\omega'\times D(\rho)$ の上で $(G_l^j/u_j)_j$ が $F_1,\dots,F_q$ の関係式の生成元になり、$S(n)$ が示された。$\square$