対称関数

要点：$n\ge d$ では $\rho_n$ が単項対称多項式の基底を基底へ全単射に写す。

1．$n\ge d$ とする。対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」により、$\Lambda_n^d$ は $e_1^{b_1}\cdots e_n^{b_n}$（$\sum_kkb_k=d$）を $\mathbb{Z}$ 基底にもつ。指数 $(b_k)$ は、$k$ がちょうど $b_k$ 回現れる分割 $\lambda$ と一対一に対応し、このとき $e_1^{b_1}\cdots e_n^{b_n}=e_\lambda$ である。$\lambda\vdash d$ なら $\lambda_1\le d\le n$ なので、すべての $\lambda\vdash d$ がこうして現れる。lem-symfun-stable により、$\{e_\lambda\}_{\lambda\vdash d}$ は $\Lambda^d$ の基底である。$\deg y_k:=k$ とすると、$\mathbb{Z}[y_1,y_2,\dots]$ の $d$ 次部分は $y_\lambda:=y_{\lambda_1}y_{\lambda_2}\cdots$（$\lambda\vdash d$）を基底にもち、準同型は $y_\lambda$ を $e_\lambda$ に写すので、各次数で全単射である。
2．$e_\lambda$ は 1 で示した。$m_\lambda$ は lem-symfun-stable である。$s_\lambda$ について、$n\ge d$ では Schur多項式 の定理「対称多項式の環の基底」により $s_\lambda(x_1,\dots,x_n)$（$\lambda\vdash d$）が $\Lambda_n^d$ の基底であり、lem-symfun-stable の同型で $\Lambda^d$ に移せばよい。
3．$n\ge d$ の $\Lambda_n$ で 対称多項式 の定理「Newton の恒等式」$ke_k=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i$ が成り立つので、lem-symfun-stable によりこれは $\Lambda$ で成り立つ。$k$ についての帰納法で $e_k\in\mathbb{Q}[p_1,\dots,p_k]$ である。よって 1 から $\Lambda_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}[p_1,p_2,\dots]$ であり、$d$ 次部分は $p_\lambda$（$\lambda\vdash d$）で張られる。その個数 $p(d)$ は $\Lambda^d_{\mathbb{Q}}$ の次元に等しいので、$\{p_\lambda\}$ は $\mathbb{Q}$ 基底である。$d\ge2$ では
$$ e_2e_1^{d-2}=\tfrac12p_1^d-\tfrac12p_2p_1^{d-2} $$
であり（$e_2=\frac12(p_1^2-p_2)$）、$\mathbb{Q}$ 基底による表示は一意だから、$e_2e_1^{d-2}\in\Lambda^d$ は $p_\lambda$ の整数係数の一次結合で書けない。$\square$

1．対称多項式 の命題「母関数と基本対称多項式・完全対称多項式の関係」の等式 $\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0$（$k\ge1$）は、lem-symfun-stable により $\Lambda$ でも成り立つ。$\omega$ を施すと、$y_j:=\omega(h_j)$（$y_0=1$）は $\sum_{i=0}^k(-1)^ih_iy_{k-i}=0$（$k\ge1$）を満たす。この式は $y_k=-\sum_{i=1}^k(-1)^ih_iy_{k-i}$ と書けるので、$y_0=1$ から $y_1,y_2,\dots$ を順に一意に決める。一方 $y_j=e_j$ もこの式を満たす。実際 $j=k-i$ と置き換えると $\sum_i(-1)^ih_ie_{k-i}=(-1)^k\sum_j(-1)^je_jh_{k-j}=0$ である。よって $\omega(h_k)=e_k$、$\omega^2(e_k)=e_k$ であり、$\omega^2$ と恒等写像は生成元 $e_k$ で一致するので等しい。$\omega$ は自己同型で $e_\lambda$ を $h_\lambda$ に写すので、残りの主張は thm-symfun-fundamental の 1・2 から従う。
2．$\Lambda[\![t]\!]$ の元 $E(t):=\sum_ke_kt^k$、$H(t):=\sum_kh_kt^k$、$P(t):=\sum_{k\ge1}p_kt^{k-1}$ を考え、$'$ で $t$ についての形式微分を表す。$\Lambda_n$ では $H(t)=\prod_i(1-x_it)^{-1}$、$E(t)=\prod_i(1+x_it)$ であり、Leibniz 則から
$$ H'(t)=H(t)\sum_{i}\frac{x_i}{1-x_it}=H(t)P(t),\qquad E'(t)=E(t)\sum_{i}\frac{x_i}{1+x_it}=E(t)P(-t) $$
が成り立つ（対称多項式 の定理「Newton の恒等式」の証明と同じ計算）。$t^{k-1}$ の係数は $k$ 次の恒等式なので、lem-symfun-stable によりこれらは $\Lambda[\![t]\!]$ でも成り立つ。第 1 式に係数ごとに $\omega$ を施すと、1 により $E'(t)=E(t)\,\omega(P)(t)$ を得る。$E(t)$ は定数項が $1$ で可逆なので、第 2 式と比べて $\omega(P)(t)=P(-t)$、すなわち $\omega(p_k)=(-1)^{k-1}p_k$ である。$\omega(p_\lambda)=\prod_i(-1)^{\lambda_i-1}p_\lambda=\varepsilon_\lambda p_\lambda$ である。
3．Schur多項式 の定理「Jacobi–Trudi の公式」の 2 つの表示 $s_\lambda=\det(h_{\lambda_i-i+j})=\det(e_{\lambda^{\mathrm{T}}_i-i+j})$ に $\omega$ を施す（Jacobi–Trudi の公式はこの記事では証明しない。FH91 Appendix A §A.2）。

1．第 1 の等式：$y_j$ を固定すると $\prod_i(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{a\ge0}h_a(x)y_j^a$ である（対称多項式 の命題「母関数と基本対称多項式・完全対称多項式の関係」の $H(t)$ に $t=y_j$ を代入した形）。$j$ について掛けると $\Omega_n=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}h_{\alpha_1}(x)\cdots h_{\alpha_n}(x)\,y^\alpha$ である。$h_{\alpha_1}\cdots h_{\alpha_n}$ は $\alpha$ の成分を並べ替えても変わらないので、$\alpha$ を並べ替えて分割 $\lambda$ になるものをまとめると $\sum_\lambda h_\lambda(x)m_\lambda(y)$ になる。
第 2 の等式：$\mathbb{Q}[\![x,y]\!]$ で対数をとると
$$ \log\Omega_n=\sum_{i,j}\sum_{k\ge1}\frac{(x_iy_j)^k}{k}=\sum_{k\ge1}\frac{p_k(x)p_k(y)}{k} $$
であり、指数をとって
$$ \Omega_n=\prod_{k\ge1}\exp\Bigl(\frac{p_k(x)p_k(y)}{k}\Bigr)=\prod_{k\ge1}\sum_{m\ge0}\frac{(p_k(x)p_k(y))^m}{k^mm!}=\sum_\lambda\frac{p_\lambda(x)p_\lambda(y)}{z_\lambda} $$
を得る（$\lambda$ は $k$ を $m=m_k(\lambda)$ 個含む分割）。
第 3 の等式は Cauchy の行列式による。