Weil制限

局所化。関手 $R:=R_{X'/X}(V')$ は $X$ スキームの圏上の Zariski 層である（$Y\times_XX'$ への射は、$Y$ の開被覆の上で与えれば貼り合わさる）。また $X$ の開集合 $X_\alpha$ に制限すると、$R|_{X_\alpha}=R_{X'_\alpha/X_\alpha}(V'|_{X'_\alpha})$（$X'_\alpha$ は $X_\alpha$ の逆像）である。$X$ 上アフィンなスキームは $X$ の開被覆の上で貼り合わせられる（相対スペクトル）ので、表現するスキームが米田の補題により同型を除いて一意であることと合わせて、$X$ の開被覆の各部分で示せばよい。したがって
$$ X=\operatorname{Spec}A,\qquad X'=\operatorname{Spec}B,\qquad V'=\operatorname{Spec}B[t_1,\dots,t_s]/(f_1,\dots,f_u) $$
（$B$ は基底 $e_1,\dots,e_r$ をもつ自由 $A$ 加群、$f_l\in B[t_1,\dots,t_s]$）としてよい。さらに、$R$ も求めるアフィンスキームの関手も Zariski 層なので、アフィンな $Y=\operatorname{Spec}A'$（$A'$ は $A$ 代数）で値を比べればよい。
方程式への展開。$B$ の積を構造定数 $e_me_{m'}=\sum_{m''}c^{m''}_{mm'}e_{m''}$（$c^{m''}_{mm'}\in A$）で表し、$f_l$ の係数も基底で展開しておく。$A$ 代数 $A'$ について、$B\otimes_AA'$ は基底 $e_m\otimes1$ をもつ自由 $A'$ 加群であり、
$$ R(\operatorname{Spec}A')=\operatorname{Hom}_B\bigl(B[t]/(f),\ B\otimes_AA'\bigr)=\{(b_1,\dots,b_s)\in(B\otimes_AA')^s : f_l(b_1,\dots,b_s)=0\ (1\le l\le u)\} $$
である。$b_k=\sum_mx_{km}e_m$（$x_{km}\in A'$）と書き、構造定数を使って展開すると、
$$ f_l(b_1,\dots,b_s)=\sum_{m=1}^rg_{lm}(x)\,e_m $$
となる多項式 $g_{lm}\in A[x_{km}]$ が、$A'$ によらずに定まる。$e_m$ は $A'$ 上一次独立なので、$f_l(b)=0$ はすべての $m$ について $g_{lm}(x)=0$ と同値である。したがって
$$ R(\operatorname{Spec}A')=\operatorname{Hom}_A\bigl(A[x_{km}]/(g_{lm}),\ A'\bigr) $$
が $A'$ について自然に成り立ち、$R$ は $\operatorname{Spec}A[x_{km}]/(g_{lm})$ で表現される。変数は $rs$ 個、方程式は $ru$ 個なので、これは $A$ 上有限表示である。

表現可能性は $X$ の上で局所的な問題なので、$X$ と $X'$ はアフィンとしてよい。$V'$ をアフィン開集合 $U'_\alpha$ で覆う。$U'_\alpha$ はアフィンスキーム $X'$ 上局所有限表示なアフィンスキームなので、$X'$ 上有限表示である。定理により $R_{X'/X}(U'_\alpha)$ は表現可能であり、下の「開部分は開部分関手になる」により $R_{X'/X}(V')$ の開部分関手である。
これらが $R_{X'/X}(V')$ を覆うことを示す。$X$ スキーム $Y$ と $g\colon Y\times_XX'\to V'$、および点 $y\in Y$ をとる。$X'\to X$ は根基的なので、$Y\times_XX'$ の $y$ の上のファイバーは一点以下である。空なら、$y$ はどの $\alpha$ についても $g$ による $R_{X'/X}(U'_\alpha)$ の逆像に入る。一点 $y'$ からなるなら、$g(y')\in U'_\alpha$ となる $\alpha$ をとれば、$y$ はその逆像に入る。よって逆像たちは $Y$ を覆う。
$R_{X'/X}(V')$ は Zariski 層であり、表現可能な開部分関手の族で覆われるので、それらを貼り合わせたスキームで表現される。各開部分は $X$ 上アフィンで有限表示なので、全体は $X$ 上局所有限表示である。$V'$ が滑らかなら各 $U'_\alpha$ も滑らかなので、下の「滑らかさは保たれる」により各開部分は滑らかであり、全体も滑らかである。

定理により $R_{X'/X}(V')$ は $X$ 上有限表示なので、無限小持ち上げの条件を確かめればよい。$Y$ をアフィンな $X$ スキーム、$Y_0\subset Y$ を平方零のイデアル $I$ で定まる閉部分スキームとする。$X'\to X$ はアフィンなので $Y\times_XX'$ はアフィンであり、$Y_0\times_XX'$ はその閉部分スキームで、平方零のイデアル $I\mathcal O_{Y\times_XX'}$ で定まる。随伴により、写像
$$ \operatorname{Hom}_X(Y,R_{X'/X}(V'))\to\operatorname{Hom}_X(Y_0,R_{X'/X}(V')) $$
は
$$ \operatorname{Hom}_{X'}(Y\times_XX',V')\to\operatorname{Hom}_{X'}(Y_0\times_XX',V') $$
と同一視される。$V'$ が滑らかなら後者は全射、エタールなら全単射であり、前者も同じ性質をもつ。

$Y\to R_{X'/X}(V')$ は $g\colon Y\times_XX'\to V'$ に対応する。$O:=g^{-1}(U')$ は開集合であり、射影 $\pi\colon Y\times_XX'\to Y$ は有限なので閉写像である。したがって
$$ Y_1:=Y\setminus\pi\bigl((Y\times_XX')\setminus O\bigr) $$
は $Y$ の開集合である。$Y$ スキーム $T\to Y$ について、$T\times_XX'$ の $t\in T$ の上のファイバーは、$t$ の像 $y$ の上の $Y\times_XX'$ のファイバーへ全射に写る（ファイバーの底変換だからである）。よって「$T\times_XX'\to V'$ が $U'$ を経由する」ことと「$T\to Y$ が $Y_1$ を経由する」ことは同値であり、ファイバー積は開部分スキーム $Y_1$ で表現される。

1. $Z$ スキーム $Y$ について、$Y\times_ZX'_Z=Y\times_XX'$ なので、両辺の $Y$ 点はどちらも $\operatorname{Hom}_{X'}(Y\times_XX',V')$ である。
2. ファイバー積の普遍性により、$\operatorname{Hom}_{X'}(Y\times_XX',V'\times_{X'}W')=\operatorname{Hom}_{X'}(Y\times_XX',V')\times\operatorname{Hom}_{X'}(Y\times_XX',W')$ である。群の場合、群演算は関手的に定まる。