Ind対象

小圏 $I$ がフィルター圏（filtered category）であるとは、次の3条件を満たすことをいう：
(i) $I$ は空でない。
(ii) 任意の対象 $i,j\in I$ に対し、ある対象 $k$ と射 $i\to k$、$j\to k$ が存在する。
(iii) 任意の平行な二射 $f,g\colon i\to j$ に対し、ある射 $h\colon j\to k$ が存在して $h\circ f=h\circ g$ となる。
有向集合を対象の間の順序関係が誘導する自明な圏とみなしたものは、フィルター圏の典型例である。

圏 $\mathcal C$ とフィルター圏 $I$、関手 $X\colon I\to\mathcal C$（フィルター図式）が与えられたとき、形式的な記号 $\varinjlim_{i\in I}X_i$ を考え、これをInd対象（ind-object）と呼ぶ。二つのInd対象 $\varinjlim_{i\in I}X_i$、$\varinjlim_{j\in J}Y_j$ の間のHom集合を
$$ \operatorname{Hom}\Bigl(\varinjlim_{i\in I}X_i,\ \varinjlim_{j\in J}Y_j\Bigr):=\varprojlim_{i\in I}\ \varinjlim_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j) $$
で定める。ここで右辺の $\varinjlim_{j\in J}$ と $\varprojlim_{i\in I}$ は、集合の圏における通常の（フィルター）余極限・極限であり、具体的には次の通りである：
$\varinjlim_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j)$ とは、非交和 $\coprod_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j)$ を、$f\colon X_i\to Y_j$ と $f'\colon X_i\to Y_{j'}$ が「ある $k$ への射 $Y_j\to Y_k$、$Y_{j'}\to Y_k$ の合成後に一致する」という関係で生成される同値関係で割った商集合である。
$\varprojlim_{i\in I}(-)$ とは、各 $i\in I$ に対する元の族 $(\varphi_i)_{i\in I}$ であって、任意の射 $u\colon i\to i'$ に対し $\varphi_i$ の $u$ による移送先が $\varphi_{i'}$ に一致するもの全体である。
このHom集合と自然な合成規則によって定まる圏を $\operatorname{Ind}(\mathcal C)$ と書く。