Ind対象

小圏 $I$ がフィルター圏（filtered category）であるとは、次の3条件を満たすことをいう：
(i) $I$ は空でない。
(ii) 任意の対象 $i,j\in I$ に対し、ある対象 $k$ と射 $i\to k$、$j\to k$ が存在する。
(iii) 任意の平行な2つの射 $f,g\colon i\to j$ に対し、ある射 $h\colon j\to k$ が存在して $h\circ f=h\circ g$ となる。
有向集合を対象の間の順序関係が誘導する自明な圏とみなしたものは、フィルター圏の典型例である。順序集合では平行な射は高々1本しかないので、(iii) は順序集合では自明に成り立つ。

圏 $\mathcal C$ とフィルター圏 $I$、関手 $X\colon I\to\mathcal C$（フィルター図式）が与えられたとき、形式的な記号 $\varinjlim_{i\in I}X_i$ を考え、これをInd対象（ind-object）と呼ぶ。2つのInd対象 $\varinjlim_{i\in I}X_i$、$\varinjlim_{j\in J}Y_j$ の間のHom集合を
$$ \operatorname{Hom}\Bigl(\varinjlim_{i\in I}X_i,\ \varinjlim_{j\in J}Y_j\Bigr):=\varprojlim_{i\in I}\ \varinjlim_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j) $$
で定める。ここで右辺の $\varinjlim_{j\in J}$ と $\varprojlim_{i\in I}$ は、集合の圏における通常のフィルター余極限（余極限(圏論)）と極限(圏論)であり、具体的には次の通りである：
$\varinjlim_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j)$ とは、非交和 $\coprod_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j)$ を、$f\colon X_i\to Y_j$ と $f'\colon X_i\to Y_{j'}$ が「$J$ のある射 $u\colon j\to k$、$u'\colon j'\to k$ に対し $Y(u)\circ f=Y(u')\circ f'$ となる」という関係で生成される同値関係で割った商集合である。
$\varprojlim_{i\in I}(-)$ とは、各 $i\in I$ に対する元 $\varphi_i\in\varinjlim_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j)$ の族 $(\varphi_i)_{i\in I}$ であって、$I$ の任意の射 $u\colon i\to i'$ に対し、$\varphi_{i'}$ を $X(u)\colon X_i\to X_{i'}$ との前合成で移したもの（写像 $\varinjlim_j\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_{i'},Y_j)\to\varinjlim_j\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y_j)$、$[g]\mapsto[g\circ X(u)]$ による像）が $\varphi_i$ に一致するもの全体である。
このHom集合と自然な合成規則によって定まる圏を $\operatorname{Ind}(\mathcal C)$ と書く。