入射対象・射影対象
概要
入射対象（injective object）・射影対象（projective object）とは、アーベル圏における対象のうち、それぞれ単射（モノ射）に沿って射を延長できる性質、全射（エピ射）に沿って射を持ち上げられる性質を持つものをいう。互いに双対な概念であり、射影分解・入射分解を経由して導来関手を構成するための土台になる。
前提知識: 圏, 核, 余核, アーベル圏, 完全列, 短完全列, 加法圏
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $P$ が射影対象（projective object）であるとは、任意のエピ射 $g\colon B\twoheadrightarrow C$ と任意の射 $f\colon P\to C$ に対し、$g\circ h=f$ を満たす射 $h\colon P\to B$（$f$ の持ち上げ、lift）が存在することをいう。
アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $I$ が入射対象（injective object）であるとは、任意のモノ射 $f\colon A\hookrightarrow B$ と任意の射 $g\colon A\to I$ に対し、$h\circ f=g$ を満たす射 $h\colon B\to I$（$g$ の延長、extension）が存在することをいう。
アーベル圏 $\mathcal A$ が十分な射影対象を持つ（has enough projectives）とは、任意の対象 $X$ に対しある射影対象 $P$ とエピ射 $P\twoheadrightarrow X$ が存在することをいう。双対に、$\mathcal A$ が十分な入射対象を持つ（has enough injectives）とは、任意の対象 $X$ に対しある入射対象 $I$ とモノ射 $X\hookrightarrow I$ が存在することをいう。
直感
射影対象 $P$ は、$\operatorname{Hom}(P,-)$ という関手がエピ射をエピ射に送る（すなわちエピ射の情報を余さず引き継ぐ）という性質で特徴づけられる対象である。図式で見れば、$P$ から $C$ への任意の矢印は、$B\twoheadrightarrow C$ という「上から見た」情報が与えられればいつでも $B$ まで持ち上げられる、という柔軟性を意味する。入射対象はこれを完全に矢印反転した双対概念であり、$A\hookrightarrow B$ という「小さいものを大きいものに埋め込む」情報に対して、$A$ 上で定義された射をいつでも $B$ 上まで延長できる。
十分な射影対象・入射対象を持つことは、任意の対象を「扱いやすい」射影対象・入射対象で近似できることを意味する。これにより、任意の対象 $X$ に対して射影対象からなる射影分解（projective resolution）や入射対象からなる入射分解（injective resolution）——$X$ を複体とホモロジーの意味でホモロジー同型な複体に置き換える操作——を構成することができ、これが左完全・右完全な関手を「補正」する導来関手の理論の出発点になる。
例
環 $R$ 上の自由加群 $F=\bigoplus_{i\in I}R$ は $R\text{-}\mathbf{Mod}$ の射影対象である。実際、エピ射 $g\colon B\twoheadrightarrow C$ と射 $f\colon F\to C$ が与えられたとき、$f$ は基底の像 $f(e_i)\in C$（$i\in I$）だけで決まる。$g$ が全射であることから各 $i$ に対し $g(b_i)=f(e_i)$ を満たす $b_i\in B$ が選べる（選択公理による）ので、$h(e_i):=b_i$ として自由加群の普遍性により $h\colon F\to B$ が一意に定まり、$g\circ h=f$ を満たす。したがって任意の $R$ 加群 $M$ は自由加群からの全射 $F\twoheadrightarrow M$（生成系を基底に持つ自由加群からの自然な射）を持つので、$R\text{-}\mathbf{Mod}$ は十分な射影対象を持つ。
アーベル群 $D$ が可除（divisible）であるとは、任意の $a\in D$ と正整数 $n$ に対し $nx=a$ を満たす $x\in D$ が存在することをいう（例えば $\mathbb Q$、$\mathbb Q/\mathbb Z$）。可除アーベル群は $\mathbf{Ab}$ の入射対象になることが知られている（Baerの判定法などにより示される、本記事では証明を割愛するWei94）。さらに任意のアーベル群は可除群へ埋め込めることも知られており、これにより $\mathbf{Ab}$ は十分な入射対象を持つ。
$\mathbb Z$ は可除でない（$2x=1$ を満たす整数 $x$ は存在しない）ので、ex-injective-divisible-groupの判定法の対偶的直観により入射対象にはならない。実際、モノ射 $2\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Z$ と射 $2\mathbb Z\to\mathbb Z,\ 2n\mapsto n$ を考えると、これを $\mathbb Z\to\mathbb Z$ へ延長する準同型 $h$ は $h(2)=1$ を満たす必要があるが、$h$ が準同型ならば $h(2)=2h(1)$ であるから $2h(1)=1$ となり、これを満たす整数 $h(1)$ は存在しない。一方 $\mathbb Z$ は自由加群であるからex-projective-free-moduleにより射影対象ではある——入射性と射影性は独立な性質であることがこの例からわかる。
性質
双積の入射・射影を $i_Q\colon Q\to P$、$p_Q\colon P\to Q$（$p_Qi_Q=\operatorname{id}_Q$）とする。エピ射 $g\colon B\twoheadrightarrow C$ と射 $f\colon Q\to C$ が与えられたとき、$f':=f\circ p_Q\colon P\to C$ を考える。$P$ は射影対象であるから、$g\circ h'=f'$ を満たす $h'\colon P\to B$ が存在する。$h:=h'\circ i_Q\colon Q\to B$ とおくと、
$$
g\circ h=g\circ h'\circ i_Q=f'\circ i_Q=f\circ p_Q\circ i_Q=f\circ\operatorname{id}_Q=f
$$
となり、$h$ は $f$ の持ち上げを与える。ゆえに $Q$ は射影対象である。入射対象の場合も、モノ射に沿う延長についてまったく同様の議論（矢印をすべて反転したもの）で示される。$\blacksquare$
$P$ が射影対象であるとき、$P$ を終域とする任意の短完全列 $0\to A\to B\xrightarrow{g}P\to 0$ は分裂する。双対に、$I$ が入射対象であるとき、$I$ を始域とする任意の短完全列 $0\to I\xrightarrow{f}B\to C\to 0$ は分裂する。
$g\colon B\twoheadrightarrow P$ はエピ射であるから、射影対象の定義を $f:=\operatorname{id}_P\colon P\to P$ に適用すると、$g\circ h=\operatorname{id}_P$ を満たす $h\colon P\to B$ が存在する。この $h$ は $g$ のレトラクション（短完全列の分裂の定義における $r$ の役割を $g$ 側から見たセクション）であるから、短完全列 $0\to A\to B\xrightarrow{g}P\to 0$ は分裂する。双対に、$f\colon I\hookrightarrow B$ はモノ射であるから、入射対象の定義を $g:=\operatorname{id}_I\colon I\to I$ に適用すると、$h\circ f=\operatorname{id}_I$ を満たす $h\colon B\to I$ が存在し、これが $f$ のレトラクションを与えるので短完全列は分裂する。$\blacksquare$
この命題の逆（「$P$ を終域とする任意の短完全列が分裂するならば $P$ は射影対象である」）も一般のアーベル圏で成り立つことが知られているが、証明にはエピ射どうしのファイバー積（引き戻し）が再びエピ射になるという事実が必要であり、これは蛇の補題を用いて示される。本記事ではこの逆方向の証明には立ち入らないWei94。
関連項目
参考文献
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