Napierの類似式

1. 残りの辺 $c$。球面の余弦定理から
   $$ \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C=0.5\times0.17364\ldots+0.86602\ldots\times0.98480\ldots\times0.64278\ldots=0.63503\ldots $$
   で、$c=50.577\ldots^\circ$ である。
2. 角 $A$。余弦定理を $\cos A$ について解くと
   $$ \cos A=\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}=\frac{0.5-0.17364\ldots\times0.63503\ldots}{0.98480\ldots\times0.77248\ldots}=0.51229\ldots $$
   で、$A=59.183\ldots^\circ$ である。
3. 角 $B$。同じように $\cos B=\dfrac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}=-0.21505\ldots$ で、$B=102.418\ldots^\circ$ の鈍角である。
   内角の和は $59.18^\circ+102.42^\circ+50^\circ=211.60^\circ$ で、$180^\circ$ より大きい。平面のように「$A+B=180^\circ-C$」は使えない。

球面三角形の半角公式 で調べた、辺 $a=90^\circ$、$b=c=60^\circ$、角 $A=109.47\ldots^\circ$、$B=C=54.73\ldots^\circ$ の三角形を使う。
(1) 平面の Mollweideの公式 の差の式 $\dfrac{a-b}c=\dfrac{\sin\frac{A-B}2}{\cos\frac C2}$ に、辺を度の数のまま入れると、左辺は $\dfrac{90-60}{60}=0.5$ である。右辺は $\dfrac{A-B}2=\dfrac C2=27.36\ldots^\circ$ なので $\dfrac{\sin27.36\ldots^\circ}{\cos27.36\ldots^\circ}=\tan27.36\ldots^\circ=0.51763\ldots$ で、一致しない。
(2) 左辺の辺の差と辺を、半分の角の正弦 $\dfrac{\sin\frac{a-b}2}{\sin\frac c2}$ に替えると、$\dfrac{\sin15^\circ}{\sin30^\circ}=2\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2=0.51763\ldots$ となり、右辺と一致する。

1. 北極 $A$ と、赤道の上で経度が $60^\circ$ 離れた 2 点 $B$、$C$ の三角形（$a=60^\circ$、$b=c=90^\circ$、$A=60^\circ$、$B=C=90^\circ$）。$\dfrac C2=\dfrac c2=45^\circ$ なので、(D2) は $\dfrac{\sin(-15^\circ)}{\cos45^\circ}=\dfrac{\sin(-15^\circ)}{\sin45^\circ}$ で、$\cos45^\circ=\sin45^\circ$ から成り立つ。(D1) は $\dfrac{\sin75^\circ}{\cos45^\circ}$ と $\dfrac{\cos(-15^\circ)}{\cos45^\circ}$ で、$\sin75^\circ=\cos15^\circ$ から成り立つ。
2. ex-nap-try の三角形（$a=90^\circ$、$b=c=60^\circ$）。$\dfrac{A+B}2=82.10\ldots^\circ$、$\dfrac{A-B}2=\dfrac C2=27.36\ldots^\circ$ である。4 つの式の両辺は

   式	左辺（角）	右辺（辺）
   (D1)	$\dfrac{\sin82.10\ldots^\circ}{\cos27.36\ldots^\circ}=1.11535\ldots$	$\dfrac{\cos15^\circ}{\cos30^\circ}=1.11535\ldots$
   (D2)	$\dfrac{\sin27.36\ldots^\circ}{\cos27.36\ldots^\circ}=0.51763\ldots$	$\dfrac{\sin15^\circ}{\sin30^\circ}=0.51763\ldots$
   (D3)	$\dfrac{\cos82.10\ldots^\circ}{\sin27.36\ldots^\circ}=0.29885\ldots$	$\dfrac{\cos75^\circ}{\cos30^\circ}=0.29885\ldots$
   (D4)	$\dfrac{\cos27.36\ldots^\circ}{\sin27.36\ldots^\circ}=1.93185\ldots$	$\dfrac{\sin75^\circ}{\sin30^\circ}=1.93185\ldots$

   で、どれも一致する。(D2) の右辺は ex-nap-try (2) で計算した値である。

ex-nap-try の三角形（$a=90^\circ$、$b=60^\circ$、$C=54.73\ldots^\circ$、$A-B=54.73\ldots^\circ$）で、(N1) の右辺は
$$ \frac{\sin15^\circ}{\sin75^\circ}\cot27.36\ldots^\circ=0.26794\ldots\times1.93185\ldots=0.51763\ldots $$
で、左辺 $\tan27.36\ldots^\circ=0.51763\ldots$ と一致する。$\dfrac{\sin15^\circ}{\sin75^\circ}=\tan15^\circ=2-\sqrt3$ である。

$a=60^\circ$、$b=80^\circ$、$C=50^\circ$ とする（図 2）。$\dfrac{a-b}2=-10^\circ$、$\dfrac{a+b}2=70^\circ$、$\dfrac C2=25^\circ$ で、$\cot25^\circ=2.14450\ldots$ である。
(1) (N1) から
$$ \tan\frac{A-B}2=\frac{\sin(-10^\circ)}{\sin70^\circ}\cot25^\circ=\frac{-0.17364\ldots}{0.93969\ldots}\times2.14450\ldots=-0.39628\ldots $$
で、$\dfrac{A-B}2=-21.617\ldots^\circ$ である。
(2) $a+b=140^\circ<180^\circ$ なので、(N2) から
$$ \tan\frac{A+B}2=\frac{\cos(-10^\circ)}{\cos70^\circ}\cot25^\circ=\frac{0.98480\ldots}{0.34202\ldots}\times2.14450\ldots=6.17486\ldots $$
で、$\dfrac{A+B}2=80.800\ldots^\circ$ である。
(3) $A=80.800\ldots^\circ-21.617\ldots^\circ=59.183\ldots^\circ$、$B=80.800\ldots^\circ+21.617\ldots^\circ=102.418\ldots^\circ$ で、ex-nap-start の余弦定理による答えと一致する。$a< b$ なので $A< B$ で、cor-nap-order (1) とも合う。
(4) 残りの辺は $\cos\dfrac c2=\dfrac{\cos10^\circ\cos25^\circ}{\sin80.800\ldots^\circ}=0.90416\ldots$ から $\dfrac c2=25.288\ldots^\circ$、$c=50.577\ldots^\circ$ で、これも一致する。

$a=110^\circ$、$b=100^\circ$、$C=40^\circ$ とする（図 3）。(N2) から $\tan\dfrac{A+B}2=\dfrac{\cos5^\circ}{\cos105^\circ}\cot20^\circ=-10.5750\ldots$ で、値が負になる。$a+b=210^\circ>180^\circ$ なので、prop-nap-sas (2) のとおり $\dfrac{A+B}2=\arctan(-10.5750\ldots)+180^\circ=95.401\ldots^\circ$ とする。$A=109.325^\circ$、$B=81.479^\circ$ で、$A+B=190.80^\circ$ は cor-nap-order (2) のとおり $180^\circ$ を超える。

単位球面の上で $a=8h$、$b=3h$（ラジアン）、$C=60^\circ$ の三角形で、(N1) から $\dfrac{A-B}2$ を求める。平面の三角形 $a=8$、$b=3$、$C=60^\circ$ では、正接定理 から $\tan\dfrac{A-B}2=\dfrac5{11}\cot30^\circ=\dfrac{5\sqrt3}{11}$ で、$\dfrac{A-B}2=38.2132\ldots^\circ$ である。

$h$ を $\dfrac1{10}$ にすると、差はおよそ $\dfrac1{100}$ になり、平面の値に近づく。

球面三角法 の最初の例の、球面を座標平面で 8 等分した三角形（3 辺と 3 つの角がどれも $90^\circ$）では、$a+b=180^\circ$、$A+B=180^\circ$ である。(N2) の右辺は $\dfrac{\cos0^\circ}{\cos90^\circ}\cot45^\circ$ で分母が $0$、左辺は $\tan90^\circ$ で定まらない。(N2) はこの三角形では使えない。この場合は prop-nap-sas (2) の最後の場合で $\dfrac{A+B}2=90^\circ$ と決まる。

ex-nap-sas で、$\cot25^\circ=2.14450\ldots$ の代わりに $\tan25^\circ=0.46630\ldots$ を掛けると、$\tan\dfrac{A-B}2=-0.08617\ldots$、$\tan\dfrac{A+B}2=1.34267\ldots$ となり、$A=48.40^\circ$、$B=58.25^\circ$ が出る。正しい値 $A=59.18^\circ$、$B=102.42^\circ$ と大きく違う。
この誤った答えは、内角の和が $48.40^\circ+58.25^\circ+50^\circ=156.64^\circ$ で $180^\circ$ より小さい。球面三角形の内角の和は $180^\circ$ より大きい（球面三角形の面積 の系「球面三角形の内角の和の範囲」）ので、あり得ない。

ex-nap-sas2 で、$\dfrac{A+B}2=\arctan(-10.5750\ldots)=-84.598\ldots^\circ$ のままにすると、$A=-84.598^\circ+13.923^\circ=-70.67^\circ$、$B=-98.52^\circ$ となり、角が負になる。$a+b=210^\circ>180^\circ$ なので、cor-nap-order (2) により $A+B>180^\circ$ で、$\dfrac{A+B}2$ は $90^\circ$ と $180^\circ$ の間にとらなければならない。平面の 正接定理 では $\dfrac{A+B}2$ がいつも $90^\circ$ より小さいので、この注意は球面だけのものである。