対称モノイダル閉圏

同義語：symmetric monoidal closed categoryclosed symmetric monoidal category

概要

前提知識: 圏, 関手, 随伴, モノイダル圏, 内部Hom

対称性と閉性を同時に持つ圏

対称モノイダル閉圏（symmetric monoidal closed category）とは、対象を組み合わせる対称なテンソル積と、そのテンソル積に対する内部Homを備えた圏である。二つの条件は役割が異なる。対称性は $X\otimes Y$ と $Y\otimes X$ を自然に交換する。閉性は $X$ を掛ける関手 $-\otimes X$ に右随伴 $[X,-]$ があることをいう。したがって「対称なテンソル積がある」だけでは閉圏とはいえず、「対象の間の射の集合がある」だけでも内部Homがあるとはいえない。
集合の圏ではテンソル積を直積とすると、$[X,Y]$ は写像全体の集合 $Y^X$ である。可換環 $R$ 上の加群の圏では、テンソル積は通常の $R$ 上のテンソル積であり、$[M,N]$ は $R$ 線形写像全体が作る加群 $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ である。二つの例は同じ随伴式を満たすが、内部Homはそれぞれ集合と加群であって、単なる記号の言い換えではない。Rich20
この構造は豊穣圏の基礎となる。普通の圏では二対象の間に射の集合がある。対称モノイダル閉圏 $\mathcal V$ 上の豊穣圏では、その位置に $\mathcal V$ の対象を置き、射の合成をテンソル積からの射で表す。内部Homの定義と、豊穣圏のHom対象の選択は別の段階である。本記事では基礎となる圏 $\mathcal V$ 自身の閉構造を定義し、例と反例で条件の働きを確かめる。Rich20

定義を分解して読む

$\mathcal V$ を局所小な圏とする。局所小とは任意の二対象の間の射が集合をなすことである。モノイダル構造は双関手 $\otimes\colon\mathcal V\times\mathcal V\to\mathcal V$、単位対象 $I$、結合および単位の自然同型からなる。例えば $(X\otimes Y)\otimes Z$ と $X\otimes(Y\otimes Z)$ は指定された自然同型で結ばれる。これらは整合条件を満たし、括弧の付け替え方によって異なる写像が生じない。対称性はさらに自然同型
$$ \sigma_{X,Y}\colon X\otimes Y\xrightarrow{\ \cong\ }Y\otimes X $$
を与える。逆向きにもう一度交換すると恒等射になり、結合との整合条件も要求される。対称性を単に「二つの対象がたまたま同型」と読み替えてはならない。自然性と整合条件を含む、圏全体に共通した構造である。Mac98

対称モノイダル閉圏

対称モノイダル圏 $(\mathcal V,\otimes,I,\sigma)$ が閉であるとは、各対象 $X$ について関手 $-\otimes X$ が右随伴 $[X,-]$ を持つことをいう。すなわち任意の $T,X,Y\in\mathcal V$ に対して
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes X,Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[X,Y]) $$
という $T$ と $Y$ に自然な全単射がある。この二つの構造を備えた圏を対称モノイダル閉圏という。対象 $[X,Y]$ は $X$ から $Y$ への内部Homである。Rich20

ここで式の両辺にある $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}$ は通常の射集合を表す。一方、角括弧 $[X,Y]$ は $\mathcal V$ の対象を表す。両者を同一視できるのは $\mathcal V=\mathbf{Set}$ のように対象自身が集合である場合でも、定義に従った説明を済ませてからである。加群の圏では $[M,N]$ が加群となること、層の圏では内部Homが層になることに意味がある。後者は単なる大域射の集合とは違う。
固定した $X$ ごとに右随伴が存在する、という量化も重要である。ある特定の $X,Y$ に対して偶然式に似た対応があっても、全ての $Y$ に自然な右随伴がなければ閉性ではない。また自然性とは、$T$ から $T'$ への射を前合成したり、$Y$ から $Y'$ への射を後合成したりしても対応が可換であることをいう。これにより内部Homは $X$ に反変、$Y$ に共変な関手として扱える。対称性を使えば $T\otimes X$ と $X\otimes T$ を入れ替えられるため、左右の閉性をこの文脈で区別しなくてよい。非対称モノイダル圏では左右それぞれの右随伴を区別する必要がある。Mac98

随伴が与える写像

閉性の式から、評価写像とカリー化が作られる。評価写像は「写像を引数に適用する」操作の抽象化である。カリー化は二変数の操作を一変数の操作へ移す。同じ対象の間に恣意的な同型を選ぶのではなく、指定された随伴がこの二つを互いに逆の操作として結び付ける。

評価写像とカリー化

対称モノイダル閉圏には各 $X,Y$ について自然な評価写像
$$ \operatorname{ev}_{X,Y}\colon [X,Y]\otimes X\longrightarrow Y $$
がある。任意の射 $f\colon T\otimes X\to Y$ には一意な転置射 $\widetilde f\colon T\to[X,Y]$ が対応し、
$$ f=\operatorname{ev}_{X,Y}\circ(\widetilde f\otimes\operatorname{id}_X) $$
となる。ただし結合・単位同型は省略している。

随伴の単位と余単位から構成する

定義の全単射で $T=[X,Y]$ とし、右辺の恒等射 $\operatorname{id}_{[X,Y]}$ に対応する左辺の射を $\operatorname{ev}_{X,Y}$ と定める。一般の $f\colon T\otimes X\to Y$ に対応する右辺の射を $\widetilde f$ とする。定義の全単射は $T$ に自然なので、$\widetilde f$ を恒等射へ前合成して得る射は、左辺で評価写像を $\widetilde f\otimes\operatorname{id}_X$ へ前合成した射に対応する。したがって表示した等式が成り立つ。全単射であるから転置射は一意である。$\square$

対象の式だけでなく、圏の射を実際に往復させることが閉性の要点である。例えば集合では $f(t,x)$ に対して $\widetilde f(t)$ は $x\mapsto f(t,x)$ という関数であり、評価写像は $(h,x)\mapsto h(x)$ になる。加群では同じ式が双線形性を保ちながら成り立つ。逆に、評価の候補を式だけで書いても自然な全単射が証明できなければ閉性の証明にはならない。

単位対象から通常の射を回収する

任意の $X,Y$ について自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal V}(X,Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,[X,Y]) $$
がある。

定義で単位対象を代入する

閉性の全単射で $T=I$ とおく。単位制約 $I\otimes X\cong X$ を左辺に代入すれば求める全単射が得られる。右辺は内部Hom対象への $I$ からの射であり、内部Hom対象そのものが射集合と等しいという主張ではない。$\square$

この命題は豊穣圏を読む際の橋渡しにもなる。集合の圏では $I$ は一元集合であり、一元集合から $Y^X$ への写像は $X$ から $Y$ への写像を一つ選ぶ。加群の圏では $I=R$ で、$R$ から $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ への $R$ 線形写像は $1$ の像で決まる。内部Homは通常の射集合を失わせるものではなく、射の情報を対象として持ち上げる。

集合と加群の基本例

集合の圏 $\mathbf{Set}$ では $X\otimes Y=X\times Y$ とし、単位対象は一元集合 $1$ とする。交換写像 $(x,y)\mapsto(y,x)$ が対称性を与える。$[X,Y]=Y^X$ を $X$ から $Y$ への全写像の集合とおく。$T\times X$ から $Y$ への写像を、各 $t\in T$ ごとに $x\mapsto f(t,x)$ という写像へ移すと、$T$ から $Y^X$ への写像が得られる。逆向きは評価 $g(t)(x)$ で与えられ、この二つは互いに逆である。Rich20

空集合も含めた指数対象

$X=\emptyset$ なら $Y^\emptyset$ は $Y$ がどんな集合でも一元集合である。実際、空集合から $Y$ への写像は空写像ただ一つである。$T\times\emptyset=\emptyset$ から $Y$ への写像もただ一つなので、随伴式はこの境界の場合にも成立する。一方、$X$ が空でなく $Y=\emptyset$ なら $Y^X=\emptyset$ であり、$T\times X\to\emptyset$ が存在するのは $T=\emptyset$ の場合だけである。この場合も両辺の写像集合は同じ個数になる。

可換環 $R$ 上の左加群の圏 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ では、$M\otimes_RN$ と単位加群 $R$ が対称モノイダル構造を与える。$M\otimes_RN$ の $m\otimes n$ を $n\otimes m$ に移す写像は整合する対称性である。内部Homは通常の $R$ 線形写像全体に点ごとの加法・スカラー倍を入れた加群 $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ である。可換性を明記したのは、一般の非可換環の左加群だけでは同じ向きのテンソル積がこの圏の双関手にならないためである。Rich20

加群のテンソル積とHomの随伴

可換環 $R$ 上の加群 $T,M,N$ には自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_R(T\otimes_RM,N) \cong \operatorname{Hom}_R(T,\operatorname{Hom}_R(M,N)) $$
がある。したがって $R\text{-}\mathbf{Mod}$ は対称モノイダル閉圏である。

双線形写像を両方向に作る

$f\colon T\otimes_RM\to N$ に対し、$\widehat f(t)$ を $m\mapsto f(t\otimes m)$ と定める。$f$ の線形性により各 $\widehat f(t)$ は $R$ 線形であり、$t\mapsto\widehat f(t)$ も点ごとの演算について $R$ 線形である。逆に $g\colon T\to\operatorname{Hom}_R(M,N)$ があれば $(t,m)\mapsto g(t)(m)$ は両変数で $R$ 線形かつ $R$ に関して釣り合うので、テンソル積の普遍性により一意な $R$ 線形写像 $T\otimes_RM\to N$ を定める。両構成を順に行うと純テンソルと各 $t$ 上で元の写像に戻る。純テンソルはテンソル積を生成するので二つの構成は互いに逆である。$T,M,N$ の写像と合成しても同じ式が成り立ち、自然性も従う。$\square$

この証明には有限生成性も射影性も必要ない。例えば $R=\mathbb Z$ ならアーベル群全体の圏が同じ構造を持つ。$M=\mathbb Z/n\mathbb Z$ とすると $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(M,N)$ は $N$ の $n$ で消える元からなる群と自然に同型になる。この計算は内部Homが単なる射の「個数」ではなく、加法を保った対象であることを具体的に示す。ただし、Hom加群が $M$ や $N$ と同型になるとは一般にいえない。

閉性が自動でないこと

対称モノイダル構造を一つ選んだ後で、閉性を別に調べる必要がある。同じ圏でもテンソル積を変えると結論が変わる。アーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$ は、通常のテンソル積 $\otimes_{\mathbb Z}$ を選べば先の命題により閉である。しかし有限直和をモノイダル積とし、零群を単位とした構造では閉ではない。直和も結合的・対称的で単位を持つので、閉性が失敗する理由は対称性の欠如ではない。

直和モノイダル構造は閉でない

零対象 $0$ と非零対象を持つ加法圏で、モノイダル積を双積 $\oplus$、単位を $0$ としたとき、この構造は閉でない。特に $(\mathbf{Ab},\oplus,0)$ は対称モノイダル圏だが対称モノイダル閉圏ではない。

右随伴の存在を零対象で否定する

非零対象 $X$ を固定し、もし $-\oplus X$ が右随伴 $[X,-]$ を持つなら、$T=0$ として
$$ \operatorname{Hom}(X,Y) \cong \operatorname{Hom}(0,[X,Y]) $$
がすべての $Y$ について必要である。加法圏では $0$ から任意の対象への射は零射ただ一つなので、右辺は一元集合である。ところが $Y=X$ とすると左辺には零射と恒等射があり、$X\neq0$ なら二つは異なる。矛盾する。$\square$

これは「直和があるので内部Homもありそうだ」という直感に対する反例である。重要なのは加法圏に別の閉構造が存在しないという意味ではないことだ。$\mathbf{Ab}$ にはテンソル積による閉構造がある。閉かどうかは圏の対象と射だけでなく、指定されたモノイダル積に関する問いである。また、この反例を「零対象がある圏は閉にならない」と一般化してはいけない。加群の圏には零対象もテンソル積による閉構造もある。

直積だけでは閉性は従わない

任意の有限積を持つ圏では、直積が対称モノイダル構造を与える。しかし各 $X$ について $-\times X$ の右随伴があるとは限らない。右随伴がある場合にその対象を指数対象 $Y^X$ と呼び、圏をデカルト閉圏という。したがって「直積が存在する」と「指数対象が存在する」は異なる主張である。集合の圏は両者を満たすが、この区別を確認せずに一般の位相空間の圏へ同じ式を移してはならない。Mac98

上の二つの反例は失敗の仕方も異なる。直和の例では、仮に右随伴があれば一つの Hom 集合の個数だけで矛盾する。有限積の一般論では、対称モノイダル構造が与えられることだけから指数対象の存在を導く論理的な根拠がない。どちらも随伴式を全ての対象について調べる必要を示す。

豊穣圏と層への接続

$\mathcal V$ が対称モノイダル閉圏のとき、$\mathcal V$ 上の豊穣圏 $\mathcal C$ は各二対象 $A,B$ に対して Hom 対象 $\mathcal C(A,B)\in\mathcal V$ を指定する。合成は
$$ \mathcal C(B,C)\otimes\mathcal C(A,B)\longrightarrow\mathcal C(A,C) $$
という $\mathcal V$ の射であり、単位は $I\to\mathcal C(A,A)$ という射である。結合律と単位律はモノイダル圏の結合・単位同型を介して表す。対称性は、テンソル因子の順序を入れ替える操作を制御する。ここでは $\mathcal C(A,B)$ は $\mathcal V$ の内部Hom $[A,B]$ と限らない。$A,B$ は豊穣圏の対象であり、$\mathcal V$ の対象とは別に選ばれるからである。Rich20
例えば $\mathcal V=\mathbf{Ab}$ とすると、Hom対象がアーベル群で合成が双線形な圏、すなわち加法的な構造を持つ圏を扱える。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ なら通常の局所小圏に戻る。$\mathcal V=R\text{-}\mathbf{Mod}$ なら射が $R$ 加群をなし、合成が $R$ 双線形な圏を扱える。基礎圏を取り替えると「射の集まり」に保持したい構造を選べる。このため対称モノイダル閉圏は豊穣圏論の入り口に置かれる。Rich20
加群の層にも類似の構造がある。環付き空間上の加群層では、層のテンソル積と内部Hom層の間に随伴がある。内部Hom層を各開集合上での局所的な加群準同型から構成する点が、普通の大域的なHom集合との違いである。開集合を小さくした際の制限写像を保つので、局所的な情報を貼り合わせることができる。一方、一般の前層や層について正確にどの圏とモノイダル積を使うかを指定せず、任意の「写像の層」を内部Homと呼ぶことはできない。内部Homの記事で層の構成を詳しく扱う。Mac98
高次圏でも閉な対称モノイダル構造という言葉が現れる。ただし通常の圏での Hom 集合の自然な全単射を、そのまま高次の写像空間の等価へ置き換える必要がある。本記事の定義と証明は通常の1圏についてのものであり、安定∞圏や豊穣∞圏のすべての整合条件まで含む定義ではない。この境界を意識すれば、通常の随伴式は高次の文献を読むときの正確な出発点になる。

記号と仮定の確認

文献により「閉モノイダル圏」と「モノイダル閉圏」の語順は揺れる。また対称性を既に仮定して単に「閉圏」と書く場合もある。本記事では対称性と右随伴の両方を明記するため「対称モノイダル閉圏」と呼ぶ。内部Homを $[X,Y]$、$\underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)$、$Y^X$ と書く文献があり、$Y^X$ は特に直積を積とする場合の指数対象によく使われる。記号が同じでも、対象が属する圏と選んだテンソル積を確認することが必要である。
定義に完備性や余完備性は含めない。極限や余極限がすべて存在すると、豊穣前層やエンドを用いた構成を進めやすいが、それは追加の仮定である。同じく、単位対象が終対象である必要もない。集合の直積では単位の一元集合が終対象だが、加群のテンソル積では単位 $R$ は一般に終対象ではない。$R$ が零環でない限り、加群圏の終対象は零加群である。この違いは「対称モノイダル閉圏」を「デカルト閉圏」と同一視してはいけない理由の一つである。
随伴の向きも確認する。$-\otimes X$ が左随伴で、$[X,-]$ が右随伴である。$[X,Y]$ の第1変数には反変、第2変数には共変に作用する。例えば $u\colon X'\to X$ は前合成により $[X,Y]\to[X',Y]$ を与え、$v\colon Y\to Y'$ は後合成により $[X,Y]\to[X,Y']$ を与える。集合の関数空間で考えれば、$u$ による前合成と $v$ による後合成であり、向きを取り違えにくい。