三角関数の直交性（高校数学）

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin2x\,dx$ を求める。積和の公式 $\sin A\sin B=\frac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$ で $A=2x$、$B=x$ とすると
$$ \sin x\sin2x=\frac12(\cos x-\cos3x) $$
である。$\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\,dx=\bigl[\sin x\bigr]_{-\pi}^{\pi}=0-0=0$、$\int_{-\pi}^{\pi}\cos3x\,dx=\Bigl[\frac{\sin3x}3\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=0-0=0$ なので
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin2x\,dx=\frac12(0-0)=0 $$
である。

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^22x\,dx$ を求める。半角の公式 $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}2$ で $\theta=2x$ とすると $\sin^22x=\frac12-\frac12\cos4x$ である。$\int_{-\pi}^{\pi}\cos4x\,dx=\Bigl[\frac{\sin4x}4\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=0$ なので
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^22x\,dx=\frac12\cdot2\pi-0=\pi $$
である。

1. $\int_{-\pi}^{\pi}\cos3x\,dx=\Bigl[\frac{\sin3x}3\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\sin3\pi-\sin(-3\pi)}3=0$。
2. $\int_{-\pi}^{\pi}\sin5x\,dx=\Bigl[-\frac{\cos5x}5\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac{-\cos5\pi+\cos(-5\pi)}5=\frac{1-1}5=0$。
3. $k=-2$ でも $\cos(-2x)=\cos2x$ なので $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(-2x)\,dx=0$ である。
4. $k$ が整数でないと、lem-otf-single は成り立たない。たとえば $\int_{-\pi}^{\pi}\cos\frac x2\,dx=\Bigl[2\sin\frac x2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=2\cdot1-2\cdot(-1)=4$ である。

1. $m=1$、$n=3$：$\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\cos3x\,dx=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\,dx+\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos4x\,dx=0$（$\cos(1-3)x=\cos2x$ を使った）。
2. $m=n=3$：$\int_{-\pi}^{\pi}\cos^23x\,dx=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx+\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos6x\,dx=\pi$。
3. $m=n=2$ の $\sin$ と $\cos$：$\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\cos2x\,dx=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin4x\,dx+\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin0\,dx=0$。
4. $\cos x$ と $\cos 2x$ の和の長さ：展開すると $\|\cos x+\cos2x\|^2=\|\cos x\|^2+2\langle\cos x,\cos2x\rangle+\|\cos2x\|^2=\pi+0+\pi=2\pi$ であり、直交する 2 つの関数についてのピタゴラスの定理になっている。

1. 座標軸の向きの単位ベクトル $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ は正規直交系である。
2. $\frac13(1,2,2)$、$\frac13(2,1,-2)$、$\frac13(2,-2,1)$ も正規直交系である。たとえば 1 つ目の長さの 2 乗は $\frac19(1+4+4)=1$、1 つ目と 2 つ目の内積は $\frac19(2+2-4)=0$ である。残りの組も同じように確かめられる。

1. $\langle c_2,c_2\rangle=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos^22x\,dx=\frac1\pi\cdot\pi=1$。
2. $\langle c_1,s_1\rangle=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\sin x\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\,dx=0$（$\sin x\cos x=\frac12\sin2x$ を使った）。
3. $\langle e_0,c_3\rangle=\frac1{\sqrt{2\pi}\sqrt\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos3x\,dx=0$。

$T(x):=1+3\cos x-2\sin2x$ とする。thm-otf-orthogonality を使うと、次のように各係数が積分で取り出せる。

1. $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}T(x)\cos x\,dx=\frac1\pi\bigl(0+3\pi-0\bigr)=3$（$\cos x$ の係数）。
2. $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}T(x)\sin2x\,dx=\frac1\pi\bigl(0+0-2\pi\bigr)=-2$（$\sin2x$ の係数）。
3. $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}T(x)\,dx=\frac1{2\pi}\bigl(2\pi+0-0\bigr)=1$（定数項）。
4. $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}T(x)\cos2x\,dx=0$（$\cos2x$ は $T$ に含まれていない）。
   長さの 2 乗は、3 つの項が互いに直交するのでピタゴラスの定理から $\|T\|^2=\|1\|^2+\|3\cos x\|^2+\|2\sin2x\|^2=2\pi+9\pi+4\pi=15\pi$ である。$\int_{-\pi}^{\pi}T(x)^2\,dx$ を直接展開して積分しても $15\pi$ になる。

区間 $[0,\pi]$ での内積 $\int_0^\pi f(x)g(x)\,dx$ を考える（これも内積である。積分で定める内積 の定理と同じ証明が使える）。

1. $\int_0^\pi\sin x\cos2x\,dx$：積和の公式から $\sin x\cos2x=\frac12(\sin3x-\sin x)$ である（$\sin(x-2x)=-\sin x$ を使った）。$\int_0^\pi\sin3x\,dx=\Bigl[-\frac{\cos3x}3\Bigr]_0^\pi=\frac23$、$\int_0^\pi\sin x\,dx=\bigl[-\cos x\bigr]_0^\pi=2$ なので、$\int_0^\pi\sin x\cos2x\,dx=\frac12\bigl(\frac23-2\bigr)=-\frac23$ であり、$0$ でない（図 3）。
2. $\int_0^\pi1\cdot\sin x\,dx=2$ も $0$ でない。
   満たす性質：$[0,\pi]$ の内積は内積の条件をすべて満たす。満たさない性質：$1,\cos nx,\sin nx$ が直交系であること。崩れる理由：lem-otf-single の $\sin$ の積分が、区間の端で $\cos k\pi\ne\cos0$ となりうるため $0$ にならない。
   一方、$[0,\pi]$ でも $\sin nx$ どうしは直交する（$\int_0^\pi\sin x\sin2x\,dx=0$ など）。積和の公式で $\cos$ の積分に直すと、整数 $k\ne0$ について $\int_0^\pi\cos kx\,dx=\bigl[\frac{\sin kx}k\bigr]_0^\pi=0$ となるからである。また、区間 $[0,2\pi]$ のように長さ $2\pi$ の区間なら、lem-otf-single の証明がそのまま通り（端での $\sin$、$\cos$ の値が等しいので）、thm-otf-orthogonality も成り立つ。

thm-otf-orthogonality で $m,n$ に負の整数を許すと、$m=1$、$n=-1$ は $m\ne n$ なのに
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin(-x)\,dx=-\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx=-\pi\ne0 $$
となる。$\sin(-x)=-\sin x$ は $\sin x$ の定数倍であり、別の関数ではないからである。$\sin$ どうしの積なので、崩れるのは証明の段 2 で使った「$m+n\ge2$ なので第 2 項はつねに $0$」である。$m+n=0$ となるので、第 2 項が $-\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos0x\,dx=-\frac12\cdot2\pi=-\pi$ として残る（第 1 項は $\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\,dx=0$）。$\cos$ どうしでも同じことが起こり、段 1 で使った「$m\ne n$ なら $m+n\ne0$」が崩れて $\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\cos(-x)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\pi\ne0$ となる。

$\cos x$ と $\cos\frac x2$ は、区間 $[-\pi,\pi]$ で直交しない。積和の公式から $\cos x\cos\frac x2=\frac12\bigl(\cos\frac x2+\cos\frac{3x}2\bigr)$ であり、
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos\frac x2\,dx=\Bigl[2\sin\frac x2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=4,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\cos\frac{3x}2\,dx=\Bigl[\frac23\sin\frac{3x}2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac23(-1)-\frac23\cdot1=-\frac43 $$
なので、$\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\cos\frac x2\,dx=\frac12\bigl(4-\frac43\bigr)=\frac43\ne0$ である。lem-otf-single は $k$ が整数であること（$\sin k\pi=0$）を使っていた。長さ $2\pi$ の区間で $\cos kx$ がちょうど $|k|$ 周期分だけ振動し、正の部分と負の部分が打ち消し合うことが、直交の理由である。