可換モノイド
概要
可換モノイド（commutative monoid）とは、結合的かつ可換な二項演算と単位元を備えた集合である。加法記法では単位元を $0$ と書き、自然数の加法や集合の合併が基本例となる。群とは異なり逆元を仮定せず、部分モノイド、生成系、単元、消去律、冪等元、合同関係、群化などを通じて構造を調べる。
加法だけをもつ代数系
可換モノイド（commutative monoid）は、結合的で可換な加法と零元を備えた集合である。自然数の加法、非負実数の加法、可換環のイデアル全体の積、集合の合併など、多くの「足し合わせる」操作が可換モノイドをなす。
群との違いは、各元の逆元を仮定しないことである。たとえば $\mathbb N$ は加法について可換モノイドだが、正の自然数の加法逆元を含まないため群ではない。この弱い構造の中で、生成、関係式、群化、単元、消去律、冪等元を調べるのが可換モノイド論の出発点である。基本事項は Gri01 Chapters I–II を参照。
定義
集合 $M$、二項演算 $+:M\times M\to M$、元 $0\in M$ の組 $(M,+,0)$ が モノイド であるとは、任意の $a,b,c\in M$ について
$$
(a+b)+c=a+(b+c),
\qquad
a+0=0+a=a
$$
が成り立つことをいう。
モノイド $(M,+,0)$ が 可換モノイド であるとは、さらに任意の $a,b\in M$ について
$$
a+b=b+a
$$
が成り立つことをいう。
本記事では可換モノイドを加法記法で書く。乗法記法を用いる文献では演算を積、単位元を $1$ と書くこともある。
可換モノイド $M,N$ の間の写像 $f:M\to N$ が 可換モノイド準同型 であるとは
$$
f(0_M)=0_N,
\qquad
f(a+b)=f(a)+f(b)
$$
をすべての $a,b\in M$ について満たすことをいう。
可換モノイドを対象、可換モノイド準同型を射とする圏を $\mathsf{CMon}$ と書く。一般の非可換モノイドの圏 $\mathsf{Mon}$ と区別する。
自然数倍と有限和
$x\in M$ と $n\in\mathbb N$ に対し、$nx$ を
$$
0x=0,
\qquad
(n+1)x=nx+x
$$
によって帰納的に定める。
任意の $m,n\in\mathbb N$ と $x,y\in M$ について
$$
(m+n)x=mx+nx,
\qquad
n(x+y)=nx+ny,
\qquad
(mn)x=m(nx)
$$
が成り立つ。
最初の等式は $n$ に関する帰納法で示す。$n=0$ の場合は単位律である。$n$ について成り立つなら
$$
(m+n+1)x=(m+n)x+x=mx+(nx+x)=mx+(n+1)x
$$
である。
二つ目も $n$ に関する帰納法で示せる。$n=0$ は明らかで、帰納法の仮定と可換律から
$$
(n+1)(x+y)=n(x+y)+x+y=(nx+x)+(ny+y)
$$
を得る。三つ目は $m$ に関する帰納法と最初の等式から従う。$\blacksquare$
この法則により、有限族 $x_1,\ldots,x_r\in M$ と係数 $n_1,\ldots,n_r\in\mathbb N$ に対する有限和 $\sum_i n_ix_i$ を括弧や順序に依存せず扱える。
部分モノイドと生成
可換モノイド $M$ の部分集合 $N\subset M$ が 部分モノイド であるとは、$0\in N$ であり、任意の $x,y\in N$ について $x+y\in N$ となることをいう。
$M$ の部分モノイドの族 $\{N_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ の交わり
$$
\bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_\lambda
$$
は $M$ の部分モノイドである。
各 $N_\lambda$ は $0$ を含むので、交わりも $0$ を含む。$x,y$ が交わりに属するなら、すべての $\lambda$ について $x,y\in N_\lambda$ である。各 $N_\lambda$ は加法で閉じているから $x+y\in N_\lambda$ であり、したがって $x+y$ は交わりに属する。$\blacksquare$
部分集合 $X\subset M$ を含むすべての部分モノイドの交わりを、$X$ が 生成する部分モノイド といい、$\langle X\rangle$ と書く。$\langle X\rangle=M$ のとき $X$ を $M$ の生成系という。
部分集合 $X\subset M$ に対し、
$$
\langle X\rangle
=
\left\{
\sum_{i=1}^{r}n_ix_i
\;\middle|\;
r\in\mathbb N,\ x_i\in X,\ n_i\in\mathbb N
\right\}
$$
である。$r=0$ の空和は $0$ とする。
右辺を $S$ とする。空和により $0\in S$ であり、二つの有限和を連結すれば再び有限和になるので $S$ は部分モノイドである。また各 $x\in X$ は $1x$ と書けるため $X\subset S$ である。したがって $\langle X\rangle$ の最小性から $\langle X\rangle\subset S$ である。
逆に、$X$ を含む任意の部分モノイドは自然数倍と有限和について閉じているので $S$ を含む。これを特に $\langle X\rangle$ に適用すると $S\subset\langle X\rangle$ である。よって両者は等しい。$\blacksquare$
有限集合 $X\subset M$ で $\langle X\rangle=M$ となるものが存在するとき、$M$ は 有限生成 であるという。
有限生成性と有限表示性の詳しい関係は 有限生成モノイド と 可換モノイドの表示 で扱う。
単元・消去律・冪等元
元 $u\in M$ が 単元 または可逆元であるとは、ある $v\in M$ が存在して $u+v=0$ となることをいう。この $v$ を $u$ の逆元という。
単元の逆元は一意である。単元全体 $M^\times$ は $M$ の部分モノイドであり、加法についてアーベル群をなす。
$u+v=0=u+w$ とする。可換律と結合律により
$$
v=v+0=v+(u+w)=(v+u)+w=0+w=w
$$
だから逆元は一意である。
$0$ は自分自身を逆元にもつ。$u,v$ が単元で逆元をそれぞれ $u',v'$ とすれば
$$
(u+v)+(u'+v')=(u+u')+(v+v')=0
$$
なので $u+v$ も単元である。よって $M^\times$ は部分モノイドで、そのすべての元が逆元をもつからアーベル群である。$\blacksquare$
すべての元が単元である可換モノイドは、ちょうどアーベル群である。
可換モノイド $M$ が 消去的 であるとは
$$
a+x=b+x\quad\Longrightarrow\quad a=b
$$
がすべての $a,b,x\in M$ について成り立つことをいう。
消去律は、自然写像 $M\to M^{\mathrm{gp}}$ が単射になるための必要十分条件である。詳しくは 可換モノイドの群化 を参照。
元 $e\in M$ が 冪等元 であるとは $e+e=e$ を満たすことをいう。
消去的可換モノイドでは、冪等元は $0$ だけである。実際、$e+e=e+0$ から $e=0$ を得る。逆は成り立たず、非消去的でも非零冪等元をもたない可換モノイドがありうる。
準同型と部分モノイド
可換モノイド準同型 $f:M\to N$ について、部分モノイド $A\subset M$ の像 $f(A)$ は $N$ の部分モノイドである。また部分モノイド $B\subset N$ の逆像 $f^{-1}(B)$ は $M$ の部分モノイドである。
$0_N=f(0_M)\in f(A)$ であり、$f(a),f(a')\in f(A)$ なら
$$
f(a)+f(a')=f(a+a')\in f(A)
$$
なので像は部分モノイドである。
$0_N\in B$ かつ $f(0_M)=0_N$ だから $0_M\in f^{-1}(B)$ である。$x,y\in f^{-1}(B)$ なら $f(x),f(y)\in B$ であり、
$$
f(x+y)=f(x)+f(y)\in B
$$
なので $x+y\in f^{-1}(B)$ である。$\blacksquare$
準同型によって同一視される元の対は 可換モノイドの合同関係 をなし、その商には第一同型定理が成り立つ。
例と反例
加法に関して $\mathbb N$ は可換モノイドであり、$1$ が生成する自由可換モノイドである。$\mathbb Z$ も可換モノイドだが、すべての元が単元なのでアーベル群でもある。
集合 $S$ の冪集合 $\mathcal P(S)$ は、合併を加法、空集合を零元とすると可換モノイドになる。すべての元が $A\cup A=A$ を満たすため冪等である。$S\ne\varnothing$ なら消去的ではない。
可換モノイド $M,N$ の直積 $M\times N$ は
$$
(m,n)+(m',n')=(m+m',n+n'),
\qquad
0=(0_M,0_N)
$$
により可換モノイドになる。
$\mathbb N$ の部分集合 $\{1,2,3,\ldots\}$ は加法について閉じているが、零元 $0$ を含まないため部分モノイドではない。演算について閉じていることだけでは部分モノイドにならない反例である。
関連項目
参考文献
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