合成体
概要
合成体（compositum）とは、体 $\Omega$ の 2 つの部分体 $E,F$ について、$E$ と $F$ をともに含む $\Omega$ の最小の部分体 $EF$ のことである。$F$ が共通の部分体 $K$ 上代数的なら、その元は有限和 $\sum e_if_i$ で書ける。$E/K$ が有限次 Galois 拡大なら、制限により $\operatorname{Gal}(EF/F)\cong\operatorname{Gal}(E/E\cap F)$ となり、次数は共通部分から計算できる。合成体は $E,F$ を $\Omega$ の中にどう置くかに依存し、一般には同型類だけでは決まらない。
合成体（compositum）とは、体 $\Omega$ の 2 つの部分体 $E,F$ について、$E$ と $F$ をともに含む $\Omega$ の最小の部分体のことであり、$EF$ と書く。部分体の族についても同様に、すべてを含む最小の部分体を合成体という。
$\mathbb Q(\sqrt2)$ と $\mathbb Q(\sqrt3)$ の合成体は $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ であり、$\mathbb Q(i)$ と $\mathbb Q(\sqrt2)$ の合成体は 1 の原始 8 乗根で生成される体 $\mathbb Q(\zeta_8)$ である。合成体は「2 つの拡大を同時に行った体」であり、次数・Galois 群が $E,F$ のものからどう決まるかが基本的な問題になる。$E/K$ が有限次 Galois 拡大なら $\operatorname{Gal}(EF/F)\cong\operatorname{Gal}(E/E\cap F)$ となり（thm-cmp-translation）、次数も共通部分から計算できる。一方、合成体は $E$ と $F$ を同じ体 $\Omega$ の中にどう置くかに依存し、一般には $E,F$ の同型類だけでは決まらない（prop-cmp-factors）。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| prop-cmp-description | 合成体の元の記述。代数的なら分母が要らない |
| prop-cmp-degree | 次数の上界と整除性。次数が互いに素なら積 |
| thm-cmp-translation | $E/K$ が Galois なら $\operatorname{Gal}(EF/F)\cong\operatorname{Gal}(E/E\cap F)$ |
| thm-cmp-two-galois | 2 つの Galois 拡大の合成体の Galois 群 |
| prop-cmp-factors | 単純拡大と $F$ の合成体は、最小多項式の $F$ 上の既約因子に対応 |
定義
$\Omega$ を体とし、$(E_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を $\Omega$ の部分体の族とする。すべての $E_\lambda$ を含む $\Omega$ の部分体全体の共通部分を、族の合成体という。2 つの部分体 $E,F$ の合成体を $EF$ と書く。
部分体の共通部分は部分体なので、合成体はすべての $E_\lambda$ を含む最小の部分体である。以下ではおもに、体 $K$ と、$K$ を含む $\Omega$ の部分体 $E,F$ を考える。このとき $E\cap F$ も $K$ を含む部分体であり、$K\subset E\cap F\subset E,F\subset EF\subset\Omega$ である。
体 $E$ と $\Omega$ の部分集合 $T$ について、$E$ と $T$ を含む最小の部分体を $E(T)$、最小の部分環を $E[T]$ と書く（体の拡大 の記事の定義「元の添加と単純拡大」）。
$K\subset E,F\subset\Omega$ とする。
- $EF=E(F)=F(E)$ である。
- $E[F]$ は有限和 $\sum_{i}e_if_i$（$e_i\in E$、$f_i\in F$）の全体であり、$EF$ は $a/b$（$a,b\in E[F]$、$b\ne0$）の全体である。
- $F/K$ が代数拡大なら、$EF=E[F]$ である。すなわち合成体の元はどれも有限和 $\sum_ie_if_i$ と書ける。
- $E=K(\alpha_1,\dots,\alpha_m)$、$F=K(\beta_1,\dots,\beta_n)$ なら、$EF=K(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_n)$ である。
1。 $E(F)$ は $E$ と $F$ を含む部分体なので $EF\subset E(F)$ である。逆に $EF$ は $E$ と $F$ を含む部分体なので $E(F)\subset EF$ である。$F(E)$ も同じである。
2。 有限和 $\sum_ie_if_i$ の全体を $R$ とする。$R$ は和で閉じ、$(\sum_ie_if_i)(\sum_je'_jf'_j)=\sum_{i,j}(e_ie'_j)(f_if'_j)$ なので積でも閉じ、$E$ と $F$ を含む。$E$ と $F$ を含む部分環は $R$ の元をすべて含むので、$R=E[F]$ である。$a/b$（$a,b\in R$、$b\ne0$）の全体は部分体で、$E\cup F$ を含み、$E$ と $F$ を含む部分体はこれらの元をすべて含む。よってそれは $EF$ である。
3。 $x\in E[F]$ は有限和なので、有限個の $f_1,\dots,f_n\in F$ について $x\in E[f_1,\dots,f_n]$ である。各 $f_j$ は $K$ 上代数的なので $E$ 上も代数的であり、$E[f_1,\dots,f_n]$ は $E$ 上有限次元のベクトル空間である（$f_j$ の次数を $d_j$ とすると、指数が $d_j$ 未満の単項式 $f_1^{a_1}\cdots f_n^{a_n}$ で張られる）。$\Omega$ の部分環なので零因子をもたない。$0\ne x$ について $y\mapsto xy$ は $E[f_1,\dots,f_n]$ の $E$ 線形な単射なので全射であり、$xy=1$ となる $y$ がこの環の中にある。よって $E[F]$ の $0$ でない元は $E[F]$ の中に逆元をもち、$E[F]$ は体で、2 から $EF=E[F]$ である。
4。 右辺は $E$ と $F$ を含み（$E=K(\alpha_1,\dots,\alpha_m)$ は右辺に含まれる）、$EF$ は $K$ と $\alpha_i,\beta_j$ を含むので、両者は等しい。$\square$
次数
$K\subset E,F\subset\Omega$ とし、$m=[E:K]$、$n=[F:K]$ は有限とする。
- $[EF:F]\le m$ であり、$[EF:K]\le mn$ である。
- $m$ と $n$ はどちらも $[EF:K]$ を割り切る。
- $m$ と $n$ が互いに素なら、$[EF:K]=mn$ である。
- $[EF:K]=mn$ であることと、$E$ の $K$ 上の基底が $F$ 上一次独立であることは同値である。
$e_1,\dots,e_m$ を $E$ の $K$ 上の基底とする。
1。 $E/K$ は有限次なので代数拡大であり、prop-cmp-description の 3 を $E$ と $F$ の役割を入れ替えて使うと $EF=F[E]$ で、その元は有限和 $\sum_jf_je'_j$（$f_j\in F$、$e'_j\in E$）である。各 $e'_j$ は $e_1,\dots,e_m$ の $K$ 係数の一次結合なので、$EF$ は $F$ 上 $e_1,\dots,e_m$ で張られ、$[EF:F]\le m$ である。次数の乗法性（体の拡大 の記事の定理「拡大次数の乗法性」）から $[EF:K]=[EF:F]\,[F:K]\le mn$ である。
2。 $[EF:K]=[EF:E]\,m=[EF:F]\,n$ である。
3。 2 により $m$ と $n$ が $[EF:K]$ を割り切り、互いに素なので $mn$ も割り切る。1 と合わせて $[EF:K]=mn$ である。
4。 $e_1,\dots,e_m$ は $EF$ を $F$ 上張るので、それらが $F$ 上一次独立であることは $[EF:F]=m$、すなわち $[EF:K]=mn$ と同値である。$\square$
4 の条件をみたすとき、$E$ と $F$ は $K$ 上線形無関連（linearly disjoint）であるという。
Galois 拡大との合成体
次の定理は、Galois 拡大 $E/K$ を $F$ まで「持ち上げた」拡大 $EF/F$ の Galois 群が、$E$ の Galois 群の部分群として読めることを述べる。$F$ は $K$ 上有限次でなくてもよい。
$K\subset E,F\subset\Omega$ とし、$E/K$ は有限次 Galois 拡大とする。このとき $EF/F$ と $E/(E\cap F)$ は有限次 Galois 拡大であり、制限写像
$$
\operatorname{Gal}(EF/F)\longrightarrow\operatorname{Gal}(E/E\cap F),\qquad \sigma\longmapsto\sigma|_E
$$
は群の同型である。とくに $[EF:F]=[E:E\cap F]$ であり、$F/K$ も有限次なら
$$
[EF:K]=\frac{[E:K]\,[F:K]}{[E\cap F:K]}
$$
である。
Galois であること。 Galois拡大 の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」の 4 により、$E$ は $K$ 上のある分離多項式 $p$ の分解体である。$p$ は $E$ で 1 次式の積 $c\prod_{i=1}^r(x-\alpha_i)$ に分解し、$E=K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)$ である。$\Omega[x]$ でも同じ分解なので、$p$ の $\Omega$ における根はちょうど $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ である。prop-cmp-description の 4 から $EF=F(\alpha_1,\dots,\alpha_r)$ であり、これは分離多項式 $p\in F[x]$ の $F$ 上の分解体なので、$EF/F$ は有限次 Galois 拡大である。$E/(E\cap F)$ は Galois拡大 の記事の命題「中間体からのGalois性」により Galois である。
写像が定まること。 $\sigma\in\operatorname{Gal}(EF/F)$ は $p$ の係数（$K\subset F$ の元）を固定するので、$p$ の根を $p$ の根に移し、$\sigma(\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\})=\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}$ である。よって $\sigma(E)=E$ であり、$\sigma|_E$ は $E$ の自己同型で、$E\cap F\subset F$ の元を固定する。$\sigma\mapsto\sigma|_E$ は群準同型である。
単射。 $\sigma|_E=\mathrm{id}$ なら、$\sigma$ は $F$ と $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ を固定するので $EF=F(\alpha_1,\dots,\alpha_r)$ 上で恒等写像である。
全射。 像を $H\subset\operatorname{Gal}(E/E\cap F)$ とし、その $E$ の中の固定体を $E^H$ とする。$x\in E^H$ は $\operatorname{Gal}(EF/F)$ のすべての元で固定されるので、$EF/F$ が Galois であることから $x\in F$ であり（同じ特徴づけの 3）、$x\in E\cap F$ である。よって $E^H=E\cap F$ である。Galois理論 の記事の定理「Galois理論の基本定理」の 1 を有限次 Galois 拡大 $E/(E\cap F)$ に使うと、$H=\operatorname{Gal}(E/E^H)=\operatorname{Gal}(E/E\cap F)$ である。
次数。 $[EF:F]=\lvert\operatorname{Gal}(EF/F)\rvert=\lvert\operatorname{Gal}(E/E\cap F)\rvert=[E:E\cap F]=[E:K]/[E\cap F:K]$ である。$F/K$ が有限次なら $[EF:K]=[EF:F]\,[F:K]$ から最後の式を得る。$\square$
$E/K$ が Galois でないと、$E\cap F=K$ でも $[EF:K]$ が $[E:K][F:K]$ より小さくなることがある（ex-cmp-cube-root）。
$K\subset E_1,E_2\subset\Omega$ とし、$E_1/K$、$E_2/K$ は有限次 Galois 拡大とする。このとき $E_1E_2/K$ と $(E_1\cap E_2)/K$ は有限次 Galois 拡大であり、
$$
\operatorname{Gal}(E_1E_2/K)\longrightarrow\operatorname{Gal}(E_1/K)\times\operatorname{Gal}(E_2/K),\qquad \sigma\longmapsto(\sigma|_{E_1},\sigma|_{E_2})
$$
は単射な群準同型で、その像は $\{(\sigma_1,\sigma_2)\mid\sigma_1|_{E_1\cap E_2}=\sigma_2|_{E_1\cap E_2}\}$ である。とくに $E_1\cap E_2=K$ なら $\operatorname{Gal}(E_1E_2/K)\cong\operatorname{Gal}(E_1/K)\times\operatorname{Gal}(E_2/K)$ である。
Galois であること。 $E_i$ は分離多項式 $p_i\in K[x]$ の分解体である。$p_1p_2$ の相異なるモニックな既約因子の積 $p$ は分離多項式で、その $\Omega$ における根の全体は $p_1$ と $p_2$ の根の全体なので、prop-cmp-description の 4 により $E_1E_2$ は $p$ の $K$ 上の分解体であり、有限次 Galois 拡大である。$E_1\cap E_2$ は 正規拡大 の記事の命題「合成体と共通部分の正規性」の 1 により $K$ 上正規であり、分離拡大 $E_1/K$ の部分拡大なので分離的である。
写像。 $E_1/K$ は正規なので、$\sigma\in\operatorname{Gal}(E_1E_2/K)$ について $\sigma(E_1)=E_1$ であり（Galois理論 の記事の定理「Galois理論の基本定理」の 4 を $E_1E_2/K$ と中間体 $E_1$ に使う）、$E_2$ も同じである。よって写像は定まり、群準同型である。$\sigma|_{E_1}=\mathrm{id}$ かつ $\sigma|_{E_2}=\mathrm{id}$ なら、$\sigma$ は $E_1\cup E_2$ を固定するので $E_1E_2$ 上で恒等写像であり、単射である。像の元は明らかに $\sigma_1|_{E_1\cap E_2}=\sigma_2|_{E_1\cap E_2}$ をみたす。
位数の比較。 右辺の集合を $P$ とする。同じ定理の 4 を $E_2/K$ と中間体 $E_1\cap E_2$ に使うと、制限 $\operatorname{Gal}(E_2/K)\to\operatorname{Gal}(E_1\cap E_2/K)$ は全射で核の位数は $[E_2:E_1\cap E_2]$ なので、各 $\sigma_1$ について条件をみたす $\sigma_2$ はちょうど $[E_2:E_1\cap E_2]$ 個ある。よって $\lvert P\rvert=[E_1:K]\,[E_2:E_1\cap E_2]$ である。一方 thm-cmp-translation（$E=E_1$、$F=E_2$）により
$$
\lvert\operatorname{Gal}(E_1E_2/K)\rvert=[E_1E_2:K]=\frac{[E_1:K]\,[E_2:K]}{[E_1\cap E_2:K]}=[E_1:K]\,[E_2:E_1\cap E_2]=\lvert P\rvert
$$
である。単射の像は $P$ に含まれ位数が等しいので、像は $P$ である。$\square$
$\operatorname{Gal}(E_1E_2/K)$ は $\operatorname{Gal}(E_1/K)\times\operatorname{Gal}(E_2/K)$ の部分群と同型なので、Abel 拡大の合成体は Abel 拡大であり、Galois 群が可解群である拡大の合成体も同じ性質をもつ（可解群の直積の部分群は可解である）。
合成体は置き方で変わる
$K\subset F\subset\Omega$ とし、$E=K(\alpha)$ を $K$ 上有限次の単純拡大、$f\in K[x]$ を $\alpha$ の最小多項式とする。$K$ 上の体の準同型 $\iota\colon E\to\Omega$ について、$\iota(\alpha)$ の $F$ 上の最小多項式 $g$ は $f$ の $F[x]$ におけるモニックな既約因子であり、
$$
\iota(E)F=F(\iota(\alpha))\cong F[x]/(g),\qquad [\iota(E)F:F]=\deg g
$$
である。逆に、$f$ のモニックな既約因子 $g$ が $\Omega$ に根 $\beta$ をもてば、$\alpha\mapsto\beta$ で定まる $\iota$ について $\iota(\alpha)$ の $F$ 上の最小多項式は $g$ である。
$\iota(\alpha)$ は $f$ の根なので、その $F$ 上の最小多項式 $g$ は $F[x]$ で $f$ を割り切る既約なモニック多項式である。$\iota(E)=K(\iota(\alpha))$ なので prop-cmp-description の 4 から $\iota(E)F=F(\iota(\alpha))$ であり、これは $F[x]/(g)$ と同型で $F$ 上 $\deg g$ 次である（体の拡大 の記事の定理「単純拡大の構造」）。逆に $g$ の根 $\beta\in\Omega$ は $f$ の根なので、$K(\alpha)\cong K[x]/(f)\cong K(\beta)$ により $\iota$ が定まり、$\beta$ の $F$ 上の最小多項式は $\beta$ を根にもつ既約なモニック多項式 $g$ である。$\square$
したがって、$E$ と $F$ の合成体として現れる体の $F$ 上の次数は、$f$ が $F$ 上でどう既約分解するかで決まり、因子ごとに違いうる。
例
$K=\mathbb Q$、$\Omega=\mathbb C$、$E=\mathbb Q(\sqrt2)$、$F=\mathbb Q(\sqrt3)$ とする。$EF=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ である（prop-cmp-description の 4）。$E\cap F$ は $E$ の部分体で $[E:\mathbb Q]=2$ なので、$E\cap F=\mathbb Q$ か $E\cap F=E$ である。後者なら $\sqrt3=a+b\sqrt2$（$a,b\in\mathbb Q$）と書け、2 乗して $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt2$、$\sqrt2\notin\mathbb Q$ より $ab=0$ である。$b=0$ なら $\sqrt3=a\in\mathbb Q$、$a=0$ なら $b^2=3/2$ となり、どちらも起こらない。よって $E\cap F=\mathbb Q$ で、thm-cmp-translation から $[EF:\mathbb Q]=4$、thm-cmp-two-galois から
$$
\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z
$$
である。
$\zeta_8=e^{2\pi i/8}=(1+i)/\sqrt2$ とする。$\zeta_8\in\mathbb Q(i)\mathbb Q(\sqrt2)=\mathbb Q(i,\sqrt2)$ であり、逆に $i=\zeta_8^2$、$\sqrt2=\zeta_8+\zeta_8^{-1}$ なので $i,\sqrt2\in\mathbb Q(\zeta_8)$ である。よって $\mathbb Q(i)\mathbb Q(\sqrt2)=\mathbb Q(\zeta_8)$ である。$\mathbb Q(i)\cap\mathbb Q(\sqrt2)\subset\mathbb R\cap\mathbb Q(i)=\mathbb Q$ なので、thm-cmp-two-galois により $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_8)/\mathbb Q)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z$ であり、$[\mathbb Q(\zeta_8):\mathbb Q]=4$ である。
$\omega=e^{2\pi i/3}$ とし、$\Omega=\mathbb C$ の中で $E=\mathbb Q(\sqrt[3]2)$、$F=\mathbb Q(\omega\sqrt[3]2)$ を考える。どちらも $x^3-2$ の根を添加した 3 次の体である。$E\subset\mathbb R$ で $\omega\sqrt[3]2\notin\mathbb R$ なので $E\ne F$ であり、$E\cap F$ は次数が $3$ の約数で $3$ でないので $E\cap F=\mathbb Q$ である。$EF$ は $\sqrt[3]2$ と $\omega=\omega\sqrt[3]2/\sqrt[3]2$ を含み、$\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)$ に等しい。これは $x^3-2$ の分解体で、$[EF:\mathbb Q]=6$ である（$\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ は実数体に含まれ、$\omega$ は $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ 上 2 次）。
したがって $[EF:\mathbb Q]=6< 9=[E:\mathbb Q][F:\mathbb Q]/[E\cap F:\mathbb Q]$ である。$E/\mathbb Q$ は Galois でないので、thm-cmp-translation とは矛盾しない。prop-cmp-factors で見ると、$x^3-2$ は $F$ 上 $(x-\omega\sqrt[3]2)(x^2+\omega\sqrt[3]2\,x+\omega^2\sqrt[3]4)$ と分解し、$\sqrt[3]2$ は 2 次の因子の根なので $[EF:F]=2$ である。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $E/K$ が Galois | $E=\mathbb Q(\sqrt[3]2)$、$F=\mathbb Q(\omega\sqrt[3]2)$ | $[EF:K]=[E:K][F:K]/[E\cap F:K]$ |
| 次数が互いに素 | $E=F=\mathbb Q(\sqrt2)$ | $[EF:K]=[E:K][F:K]$ |
| $\Omega$ の中での置き方を固定する | $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ と、$\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ または $\mathbb Q(\omega\sqrt[3]2)$ | 合成体の次数が $E,F$ の同型類で決まる |
| $E/K$ か $F/K$ が代数的 | $\Omega=\mathbb Q(s,t)$、$E=\mathbb Q(s)$、$F=\mathbb Q(t)$ | $EF=E[F]$ |
1 行目：ex-cmp-cube-root のとおり、$E\cap F=\mathbb Q$ で $[EF:\mathbb Q]=6$ だが、右辺は $9$ である。$E,F$ は $\mathbb Q$ 上有限次で、外したのは $E/K$ が Galois であることだけである。
2 行目：$E=F=\mathbb Q(\sqrt2)$ は $\mathbb Q$ 上 Galois で、$EF=E$ の次数は $2$ であり、$[E:\mathbb Q][F:\mathbb Q]=4$ と異なる。次数 $2$ と $2$ は互いに素でない。thm-cmp-translation の式は $2\cdot2/2=2$ で成り立っている。
3 行目：$\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ と $\mathbb Q(\omega\sqrt[3]2)$ はどちらも $\mathbb Q[x]/(x^3-2)$ と同型である。$E=\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ と $F=\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ を $\mathbb C$ の同じ部分体として置けば $EF=E$ で次数は $3$、$F$ を $\mathbb Q(\omega\sqrt[3]2)$ として置けば次数は $6$ である。
4 行目：$s,t$ は $\mathbb Q$ 上独立な変数で、$E,F$ はどちらも $\mathbb Q$ 上代数的でない。$1/(s+t)\in EF$ が $E[F]$ に入ると仮定する。$E[F]$ の元は $\sum_ia_i(s)b_i(t)$（$a_i\in\mathbb Q(s)$、$b_i\in\mathbb Q(t)$）なので、分母を払うと $1/(s+t)=P(s,t)/(q(s)r(t))$（$P\in\mathbb Q[s,t]$、$q,r$ は $0$ でない 1 変数多項式）と書ける。すると $q(s)r(t)=(s+t)P(s,t)$ であり、$s=-t$ を代入して $q(-t)r(t)=0$ が $\mathbb Q[t]$ で成り立つ。$\mathbb Q[t]$ は整域で $q(-t)\ne0$、$r(t)\ne0$ なので矛盾する。よって $E[F]\ne EF$ である。
補足
$E/K$ が無限次の Galois 拡大でも、$EF/F$ は Galois であり、制限写像 $\operatorname{Gal}(EF/F)\to\operatorname{Gal}(E/E\cap F)$ は Krull位相 を込めた位相群の同型である（MilFT Proposition 7.15、p. 127）。部分体の族の合成体の例として、$\mathbb Q$ の有限次 Abel 拡大すべての合成体（最大 Abel 拡大）があり、Kronecker–Weberの定理 によりそれは 1 の冪根をすべて添加した体である。
合成体の定義は MilFT p. 13、Galois 群の中間体の束との関係は Remark 3.18（p. 48）、thm-cmp-translation は Proposition 3.19 と Corollary 3.20（pp. 48–49）、thm-cmp-two-galois は Proposition 3.21（pp. 49–50）にある。中間体の束の言葉では、有限次 Galois 拡大 $L/K$ の中間体 $M_1,M_2$ について $\operatorname{Gal}(L/M_1M_2)=\operatorname{Gal}(L/M_1)\cap\operatorname{Gal}(L/M_2)$ である（Galois理論 の記事の系「共通部分と合成体の対応」）。
関連項目
参考文献
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