Z/2の群コホモロジー環

1：$i\ge1$ では $(\partial s+s\partial)(e_i)=s(e_{i-1}+Te_{i-1})=0+e_i$、$(\partial s+s\partial)(Te_i)=\partial e_{i+1}+s(Te_{i-1}+e_{i-1})=(e_i+Te_i)+e_i=Te_i$ である。次数 $0$ では $\partial s(e_0)=0=e_0-\eta\varepsilon(e_0)$、$\partial s(Te_0)=\partial e_1=e_0+Te_0=Te_0-\eta\varepsilon(Te_0)$ である。よって次数 $i\ge1$ の輪体 $z$ は $z=\partial s(z)$ と境界になり、$\varepsilon(z)=0$ をみたす $z\in W_0$ は $z=\partial s(z)$ と境界になる。$\varepsilon\eta=\mathrm{id}$ なので $\varepsilon$ は全射である。各 $W_i$ は自由なので、$W\to\mathbb{F}_2$ は自由分解である。

2：次数 $0$ 以外では $0$ とみなした写像 $\pi_A:=\eta_A\varepsilon_A$ をもつ複体 $A$ で、$\mathbb{F}_2$ 線形写像 $s_A$ が $\partial s_A+s_A\partial=\mathrm{id}-\pi_A$ をみたし、$\varepsilon_A\eta_A=\mathrm{id}$、$\varepsilon_A\partial=0$ となるものを「縮約付き」と呼ぶ。$W$ は 1 により縮約付きである。$\pi_A$ は鎖写像である（像は次数 $0$ にあるので $\partial\pi_A=0$、また $\pi_A\partial=\eta_A\varepsilon_A\partial=0$）。$A,B$ が縮約付きなら、$S:=s_A\otimes\mathrm{id}+\pi_A\otimes s_B$ について、標数 $2$ で $\partial(s_A\otimes\mathrm{id})+(s_A\otimes\mathrm{id})\partial=(\partial s_A+s_A\partial)\otimes\mathrm{id}$、$\partial(\pi_A\otimes s_B)+(\pi_A\otimes s_B)\partial=\pi_A\otimes(\partial s_B+s_B\partial)$ なので$$\partial S+S\partial=(\mathrm{id}-\pi_A)\otimes\mathrm{id}+\pi_A\otimes(\mathrm{id}-\pi_B)=\mathrm{id}-\pi_A\otimes\pi_B$$となり、$A\otimes B$ は $\varepsilon_A\otimes\varepsilon_B$、$\eta_A\otimes\eta_B$、$S$ で縮約付きである。$k$ の帰納法で $W^{\otimes k}$ は縮約付きであり、1 と同じ議論で $n\ge1$ の輪体は境界、次数 $0$ では $\ker\varepsilon^{\otimes k}$ が境界の全体になる。$\square$

存在：$q\colon P_0\to H_0(P)$、$q'\colon C_0\to H_0(C)$ を商写像とする。$q'$ は全射で $P_0$ は射影的なので、$q'f_0=\varphi q$ をみたす $f_0$ がある。$f_0,\dots,f_n$ が $\partial f_k=f_{k-1}\partial$（$1\le k\le n$）をみたすとする。$n=0$ なら $q'(f_0\partial)=\varphi q\partial=0$ なので $f_0\partial(P_1)\subset\ker q'=\partial(C_1)$、$n\ge1$ なら $\partial(f_n\partial)=f_{n-1}\partial\partial=0$ なので $f_n\partial(P_{n+1})$ は次数 $n$ の輪体の群に入り、$H_n(C)=0$ により $\partial(C_{n+1})$ に含まれる。いずれも $\partial\colon C_{n+1}\to\partial(C_{n+1})$ が全射なので、$P_{n+1}$ の射影性から $\partial f_{n+1}=f_n\partial$ をみたす $f_{n+1}$ がとれる。

ホモトピー：$h=f-f'$ とおく。$q'h_0=(\varphi-\varphi)q=0$ なので $h_0(P_0)\subset\partial(C_1)$ であり、射影性から $\partial K_0=h_0$ をみたす $K_0$ がある。$K_{-1}:=0$ とし、$K_0,\dots,K_{n-1}$（$n\ge1$）が $h_k=\partial K_k+K_{k-1}\partial$ をみたすとすると、$\partial(h_n-K_{n-1}\partial)=h_{n-1}\partial-\partial K_{n-1}\partial=K_{n-2}\partial\partial=0$ なので、$h_n-K_{n-1}\partial$ の像は $\partial(C_{n+1})$ に含まれる。射影性から $\partial K_n=h_n-K_{n-1}\partial$ をみたす $K_n$ がとれる。$\square$

1：$G$ 不変な $u$ は $u(Te_m)=u(e_m)$ をみたすので、$u(e_m)$ で決まる。$\delta u(e_{m+1})=u(e_m)+u(Te_m)=2u(e_m)=0$、同様に $\delta u(Te_{m+1})=0$ である。

2：$P_\bullet$ を Tateコホモロジー の記事の補題「巡回群の周期的な自由分解」の位数 $2$ の場合とする（$P_m=\mathbb{Z}[G]$、微分は $\sigma-1$ 倍と $1+\sigma$ 倍）。群のコホモロジー の記事の系「射影分解による計算」により $H^m(\mathbb{Z}/2,\mathbb{F}_2)\cong H^m(\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(P_\bullet,\mathbb{F}_2))$ である。$F\mapsto F(1)$ で $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(P_m,\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2$ となり、$\sigma-1$ 倍・$1+\sigma$ 倍との合成は $\mathbb{F}_2$ の上でそれぞれ $0$ 倍・$2$ 倍、どちらも $0$ になる。$F$ に「$e_m$ で値 $F(1)$ をとる $G$ 不変な写像」を対応させると、微分 $0$ の複体の同型 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(P_\bullet,\mathbb{F}_2)\cong\operatorname{Hom}_G(W,\mathbb{F}_2)$ が得られ、1 とあわせて主張が従う。$\square$

$\bar X_n=\mathbb{F}_2[G^{n+1}]$ は自由 $\mathbb{F}_2[G]$ 加群で、群のコホモロジー の記事の定理「標準分解」の証明にある縮約 $(g_0,\dots,g_n)\mapsto(1,g_0,\dots,g_n)$ を $\bmod 2$ にしたものにより、lem-z2-contraction の 2 の証明の意味で縮約付きである。よって $\bar X\otimes\bar X$ は次数 $\ge1$ で非輪状である。$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(X_n,\mathbb{F}_2)=\operatorname{Hom}_G(\bar X_n,\mathbb{F}_2)$ で、$\Delta_X(g_0,\dots,g_n):=\sum_p(g_0,\dots,g_p)\otimes(g_p,\dots,g_n)$ とおくと $a\cup b=(a\otimes b)\circ\Delta_X$ である。

$\Delta_X$ は鎖写像である：$\partial\Delta_X(g_0,\dots,g_n)$ の項のうち、第 1 因子 $(g_0,\dots,g_p)$ から $g_p$ を除いた項と第 2 因子 $(g_{p-1},\dots,g_n)$ から $g_{p-1}$ を除いた項は、ともに $(g_0,\dots,g_{p-1})\otimes(g_p,\dots,g_n)$（$1\le p\le n$）の全体をなし、打ち消し合う。残りは、ある $g_i$ を第 1 因子（$i< p$）または第 2 因子（$i>p$）から除いた項で、これらを $i$ ごとにまとめると $\Delta_X(g_0,\dots,\widehat{g_i},\dots,g_n)$ になる。$G$ 同変性と添加との両立は式から明らかである。

$P_\bullet$ を prop-z2-cochains の証明の分解とすると、群のコホモロジー の記事の系「射影分解による計算」の同型は、$\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ の比較写像 $u\colon P_\bullet\to X_\bullet$ との合成 $u^*$ で与えられる。$u$ を $\bmod 2$ にした $\bar u\colon W\to\bar X$ は添加と両立する $G$ 同変な鎖写像で、$u^*$ は $\bar u$ との合成と同じである。$a,b$ を余輪体とすると、$\bar u^*(a\cup b)=(a\otimes b)\Delta_X\bar u$、$\bar u^*a\smile\bar u^*b=(a\otimes b)(\bar u\otimes\bar u)\Delta_W$ である。lem-z2-comparison により $\Delta_X\bar u-(\bar u\otimes\bar u)\Delta_W=\partial K+K\partial$ となる $G$ 線形な $K$ がある。$(a\otimes b)\circ\partial=0$、$(a\otimes b)K\partial=\delta\bigl((a\otimes b)K\bigr)=0$（prop-z2-cochains の $\delta=0$）なので、2 つの余鎖は等しい。$\square$

1：基底 $e_i\otimes e_j$ での値を $n=i+j$ の帰納法で決め、$V$ 線形に延ばす。各基底 $x$ について $\partial\psi_0(x)=\psi_0(\partial x)$ を確かめればよい。$\partial(e_i\otimes e_j)=(1+g)(e_{i-1}\otimes e_j)+(1+h)(e_i\otimes e_{j-1})$（$e_{-1}:=0$）に注意する。

• $i=0$：$\psi_0(\partial(e_0\otimes x))=\psi_0(e_0\otimes\partial x)=\Delta_W(\partial x)=\partial\Delta_W(x)$（thm-z2-ring の 1）。$\Delta_W$ は $T$ を $T\otimes T$ に移すので、$h$ 同変性とも両立する。次数 $0$ では $\psi_0(e_0\otimes e_0)=e_0\otimes e_0$ で、添加と両立する。
• $i\ge1$、$j=0$：$\psi_0(\partial(e_i\otimes e_0))=(1+\tau)\psi_0(e_{i-1}\otimes e_0)$ は、$i=1$ なら $(1+\tau)(e_0\otimes e_0)=0$、$i\ge2$ なら $0$ である。よって値 $0$ と両立する。
• $(i,j)=(1,1)$：$\psi_0(\partial(e_1\otimes e_1))=(1+\tau)\Delta_W(e_1)+(1+T\otimes T)\psi_0(e_1\otimes e_0)=(1+\tau)(e_0\otimes e_1+e_1\otimes Te_0)=(1+T)e_0\otimes e_1+e_1\otimes(1+T)e_0$ であり、これは $\partial(e_1\otimes e_1)$ に等しい。
• それ以外（$i,j\ge1$、$n\ge3$）：$\psi_0(\partial x)$ は帰納法の仮定ですでに定まり、$\partial\psi_0(\partial x)=\psi_0(\partial\partial x)=0$ をみたす。$H_{n-1}(W_t\otimes W_t)=0$ なので、$\partial y=\psi_0(\partial x)$ をみたす $y$ をとり $\psi_0(x):=y$ とおく。

2：lem-z2-comparison を $R=\mathbb{F}_2[V]$、$P=W_s\otimes W_t$、$C=W_t\otimes W_t$ に使うと、$\psi-\psi'=\partial K+K\partial$ をみたす $V$ 線形な $K$ がある。$f:=u\otimes u$ は $\tau$ と $T\otimes T$ で不変なので $V$ 不変であり、$f\circ\partial=\delta u\otimes u+u\otimes\delta u=0$ である。$f\circ K$ は $W_s\otimes W_t$ 上の $V$ 不変な余鎖である。$V$ 不変な余鎖 $c$ は、$\partial(e_i\otimes e_j)$ が $(1+g)(\cdots)+(1+h)(\cdots)$ の形なので $c\circ\partial=0$ をみたす。よって $f\psi-f\psi'=f\partial K+fK\partial=0$ で、$e_i\otimes x$ で値をとると主張を得る。

3：2 により $\psi=\psi_0$ としてよい。$(u\smile_0^{\psi_0}u)(x)=(u\otimes u)\Delta_W(x)=(u\smile u)(x)$ である。$(\omega\smile_1^{\psi_0}\omega)(e_1)=(e_1^*\otimes e_1^*)(e_1\otimes e_1)=1$ なので $\omega\smile_1^{\psi_0}\omega=e_1^*=\omega$。$(\omega\smile_2^{\psi_0}\omega)(e_0)=(e_1^*\otimes e_1^*)\psi_0(e_2\otimes e_0)=0$ である。$\square$

標数 $2$ なので因子の並べ替え $\mathrm{sh}$、$\pi$ は鎖写像である。$\Phi_B$ の最初の $\Delta_W\otimes\Delta_W$ は $W_s\otimes W_t\to W_s\otimes W_s\otimes W_t\otimes W_t$ である。

同変性：$\Phi_A$ では、$\psi$ が $g$ を $\tau$ に、$h$ を $T\otimes T$ に移し、$\Delta_W\otimes\Delta_W$ が $\tau$ を $(13)(24)$ に、$T\otimes T$ を $T^{\otimes4}$ に移す。$\Phi_B$ では、$\Delta_W(Tx)=(T\otimes T)\Delta_W(x)$ なので、$g$（$W_s$ の $T$）は $\mathrm{sh}$ の後で 2 つの $W_s\otimes W_t$ の両方に $g$ として作用し、2 つの $\psi$ がそれを $z_1\leftrightarrow z_2$ と $z_3\leftrightarrow z_4$ に移す。$\pi$ の後でこれは $(13)(24)$ である。$h$ も同様に $T^{\otimes4}$ になる。添加：$\varepsilon^{\otimes2}\circ\Delta_W=\varepsilon$ と $(\varepsilon\otimes\varepsilon)\psi=\varepsilon\otimes\varepsilon$ から、どちらも次数 $0$ で $\varepsilon^{\otimes4}\circ\Phi=\varepsilon\otimes\varepsilon$ をみたす。

lem-z2-contraction の 2 により $W_t^{\otimes4}$ は次数 $\ge1$ で非輪状なので、lem-z2-comparison により $\Phi_A-\Phi_B=\partial K+K\partial$ をみたす $V$ 線形な $K$ がある。$f:=u\otimes v\otimes u\otimes v$ は $(13)(24)$ と $T^{\otimes4}$ で不変で、$f\circ\partial=0$ である。prop-z2-structure-map の 2 の証明と同じく、$V$ 不変な余鎖 $f\circ K$ は $\partial$ との合成で $0$ になるので、$f\circ\Phi_A=f\circ\Phi_B$ である。$x\in W_t$ について $e_r\otimes x$ で値をとる。

$f\Phi_A(e_r\otimes x)=\bigl((u\smile v)\otimes(u\smile v)\bigr)\psi(e_r\otimes x)=\bigl((u\smile v)\smile_r^\psi(u\smile v)\bigr)(x)$ である。

$\Delta_W(e_r)=\sum_ae_a\otimes T^ae_{r-a}$、$\Delta_W(x)=\sum x'\otimes x''$ と書くと、$f\Phi_B(e_r\otimes x)=\sum_a\sum(u\otimes u)\psi(e_a\otimes x')\cdot(v\otimes v)\psi(T^ae_{r-a}\otimes x'')$ である。$W_s$ の $T^a$ は $g^a$ なので $\psi(T^ae_{r-a}\otimes x'')=\tau^a\psi(e_{r-a}\otimes x'')$ で、$v\otimes v$ は $\tau$ 不変である。よって $f\Phi_B(e_r\otimes x)=\sum_a\sum(u\smile_a^\psi u)(x')\,(v\smile_{r-a}^\psi v)(x'')=\sum_a\bigl((u\smile_a^\psi u)\smile(v\smile_{r-a}^\psi v)\bigr)(x)$ である。2 つが等しいことが主張である。$\square$