回転体の表面積

同義語：回転面の面積と媒介変数表示Pappus–Guldinusの定理（曲面積）surface area of a solid of revolution

概要

前提知識: 球の体積と表面積, 媒介変数表示と曲線の長さ, 体積と回転体, 平均値の定理

高校での出発点：グラフでない曲線を回す

球の体積と表面積では、曲線 $y=f(x)$（$a\le x\le b$、$f\ge0$）を $x$ 軸のまわりに回した面の面積を、内接する折れ線を回した円錐台の側面積の和の極限として定め（同記事の定義「回転面の面積」）、
$$ S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx $$
を証明した（同記事の定理「回転面の面積の公式」）。この公式は、曲線が関数のグラフで、$f'$ が閉区間 $[a,b]$ で連続なときのものである。次の 2 つの面には、そのままでは使えない。

グラフの公式が使えない 2 つの面

トーラス（ドーナツの表面）：中心 $(0,2)$、半径 $1$ の円を $x$ 軸のまわりに回した面。円は 1 つの $x$ に 2 つの $y$ が対応するので、1 つの関数のグラフではない。上半分 $y=2+\sqrt{1-x^2}$ と下半分 $y=2-\sqrt{1-x^2}$ に分けると、どちらも $x=\pm1$ で導関数 $\mp\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ が無限大になり、公式の仮定（$f'$ が閉区間で連続）を満たさない。
サイクロイドの 1 アーチ $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$0\le t\le2\pi$）を $x$ 軸のまわりに回した面。$y$ を $x$ の式で書くことができない（$t$ を $x$ で表せない）。

どちらの曲線も、媒介変数 $t$ を使えば簡単に表せる（媒介変数表示と曲線の長さ）。トーラスの円は $x=\cos t$、$y=2+\sin t$（$0\le t\le2\pi$）である。そこで、媒介変数表示された曲線を回した面の面積を求める。

円錐台で近似してみる

トーラスの円 $x=\cos t$、$y=2+\sin t$ の上に、$t=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}2,2\pi$ の 5 点 $(1,2)$、$(0,3)$、$(-1,2)$、$(0,1)$、$(1,2)$ をとって結ぶ（正方形）。各辺を $x$ 軸のまわりに回すと円錐台の側面になり、側面積は球の体積と表面積の補題「円錐台の側面積」により $\pi(\text{2 つの半径の和})\times(\text{母線の長さ})$ である。辺の長さはどれも $\sqrt2$ なので、
$$ \pi(2+3)\sqrt2+\pi(3+2)\sqrt2+\pi(2+1)\sqrt2+\pi(1+2)\sqrt2=16\sqrt2\,\pi=71.08\cdots $$
である。点を増やすと、この値は後で求める $4\pi^2\cdot2\cdot1=78.96\cdots$ に近づいていく（$t$ を $8$ 等分すると $76.94\cdots$、$16$ 等分すると $78.45\cdots$）。

この記事で答える問いは次の 2 つである。

媒介変数表示された曲線を回した面の面積は、どんな積分になるか。→ thm-sar-param

その面積を「曲線の長さ $\times$ 何か」と読めるか。→ thm-sar-pappus

グラフの場合	媒介変数表示の場合
$x$ の区間 $[a,b]$ を分割	$t$ の区間 $[\alpha,\beta]$ を分割
$\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$	$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$
$2\pi\int f\sqrt{1+f'^2}\,dx$	$2\pi\int y\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$

媒介変数表示された曲線の回転面の面積

媒介変数表示された曲線と回転面の面積

区間 $[\alpha,\beta]$ で微分可能で、導関数が連続な関数 $x(t)$、$y(t)$ があり、$y(t)\ge0$ とする。点 $\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ が描く曲線 $C$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる面を考える。
$[\alpha,\beta]$ の分割 $P\colon\alpha=t_0< t_1<\cdots< t_n=\beta$ をとり、曲線の上の点 $P_k=\bigl(x(t_k),y(t_k)\bigr)$ を順に結ぶ。線分 $P_{k-1}P_k$ の長さを $\ell_k$、$y_k=y(t_k)$ として
$$ A(P)=\sum_{k=1}^n\pi\bigl(y_{k-1}+y_k\bigr)\ell_k $$
とおく。分割の幅 $\lvert P\rvert$（小区間の幅の最大値）を $0$ に近づけると、分割の選び方によらず $A(P)$ がある数 $S$ に近づくとき、$S$ をこの回転面の面積という。ただし、曲線が端点のほかで同じ点を 2 度通らない表し方をとる（同じ部分を 2 度通ると、その部分を 2 回数えてしまう。ex-sar-counter (2)）。

$A(P)$ の各項は、線分 $P_{k-1}P_k$ を $x$ 軸のまわりに回してできる面の面積である。

線分を回した面の面積

$y_1,y_2\ge0$ とし、2 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ を結ぶ長さ $\ell>0$ の線分を $x$ 軸のまわりに回してできる面の面積は $\pi(y_1+y_2)\ell$ である。

$x_1\ne x_2$ なら、回してできる面は、2 つの底面の半径が $y_1$、$y_2$ で母線の長さが $\ell$ の円錐台の側面（$y_1=y_2$ なら円柱の側面、一方が $0$ なら円錐の側面）で、球の体積と表面積の補題「円錐台の側面積」により面積は $\pi(y_1+y_2)\ell$ である。$x_1=x_2$ なら、線分は $x$ 軸に垂直で、回してできる面は半径 $y_1$ と $y_2$ の同心円にはさまれた円環（一方が $0$ なら円板）である。$y_1\ge y_2$ としてよく、このとき $\ell=y_1-y_2$ で、面積は
$$ \pi y_1^2-\pi y_2^2=\pi(y_1+y_2)(y_1-y_2)=\pi(y_1+y_2)\ell $$
である。$\square$

関数のグラフ $y=f(x)$ は、$x(t)=t$、$y(t)=f(t)$（$a\le t\le b$）という媒介変数表示の場合で、このとき def-sar-area は球の体積と表面積の定義「回転面の面積」と同じものである。

主定理 1：媒介変数表示の面積の公式

媒介変数表示された曲線の回転面の面積

def-sar-area の設定で、回転面の面積は存在して
$$ S=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt $$
である。

方針：球の体積と表面積の定理「回転面の面積の公式」の証明と同じく、$A(P)$ を Riemann 和と誤差に分ける。違うのは、平均値の定理を $x(t)$ と $y(t)$ に別々に使う所で、そのため 2 つの点 $\sigma_k$、$\tau_k$ が出てくる。$v(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$（速さ）とおく。
段 1（母線の長さ）。小区間 $[t_{k-1},t_k]$ の幅を $\Delta t_k$ とする。平均値の定理（平均値の定理）を $x(t)$ と $y(t)$ に別々に使うと、$t_{k-1}<\sigma_k< t_k$、$t_{k-1}<\tau_k< t_k$ となる点があって
$$ x(t_k)-x(t_{k-1})=x'(\sigma_k)\Delta t_k,\qquad y(t_k)-y(t_{k-1})=y'(\tau_k)\Delta t_k $$
である。よって
$$ \ell_k=\sqrt{x'(\sigma_k)^2+y'(\tau_k)^2}\;\Delta t_k $$
である。$\sigma_k$ と $\tau_k$ は一般に違う点なので、$\ell_k$ は $v(t)\Delta t_k$ の形にちょうどはならない。
段 2（速さとのずれ）。2 つのベクトル $\boldsymbol p=(p_1,p_2)$、$\boldsymbol q=(q_1,q_2)$ について、ベクトルの三角不等式 $\lvert\boldsymbol p\rvert\le\lvert\boldsymbol q\rvert+\lvert\boldsymbol p-\boldsymbol q\rvert$、$\lvert\boldsymbol q\rvert\le\lvert\boldsymbol p\rvert+\lvert\boldsymbol p-\boldsymbol q\rvert$ から $\bigl\lvert\lvert\boldsymbol p\rvert-\lvert\boldsymbol q\rvert\bigr\rvert\le\lvert\boldsymbol p-\boldsymbol q\rvert$ であり、さらに $\lvert\boldsymbol p-\boldsymbol q\rvert=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}\le\lvert p_1-q_1\rvert+\lvert p_2-q_2\rvert$ である（右辺を 2 乗すると左辺の 2 乗に $2\lvert p_1-q_1\rvert\lvert p_2-q_2\rvert\ge0$ を足したものになる）。$\boldsymbol p=\bigl(x'(\sigma_k),y'(\tau_k)\bigr)$、$\boldsymbol q=\bigl(x'(t_k),y'(t_k)\bigr)$ に使うと
$$ \bigl\lvert\ell_k-v(t_k)\Delta t_k\bigr\rvert\le\Bigl(\bigl\lvert x'(\sigma_k)-x'(t_k)\bigr\rvert+\bigl\lvert y'(\tau_k)-y'(t_k)\bigr\rvert\Bigr)\Delta t_k $$
である。
段 3（和を 2 つに分ける）。$g(t)=2\pi y(t)v(t)$ とおく。$A(P)$ の第 $k$ 項は
$$ \pi(y_{k-1}+y_k)\ell_k=\underbrace{2\pi y_kv(t_k)\Delta t_k}_{g(t_k)\Delta t_k}+\underbrace{\pi(y_{k-1}-y_k)\ell_k+2\pi y_k\bigl(\ell_k-v(t_k)\Delta t_k\bigr)}_{\text{誤差 }E_k} $$
と分けられる（右辺を展開すると左辺に戻る）。よって $A(P)=\sum_kg(t_k)\Delta t_k+\sum_kE_k$ である。
段 4（Riemann 和）。$g$ は $[\alpha,\beta]$ で連続なので、区分求積と積分の定義の定理「連続関数の積分可能性」により、$\lvert P\rvert\to0$ のとき $\sum_kg(t_k)\Delta t_k\to\int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ である。
段 5（誤差の和）。$\lvert x'\rvert$、$\lvert y'\rvert$、$y$ は閉区間で連続なので最大値をもつ。$\lvert x'\rvert$ と $\lvert y'\rvert$ の最大値の大きい方を $K$、$y$ の最大値を $Y$ とする。段 1 から $\ell_k\le\sqrt{K^2+K^2}\,\Delta t_k\le2K\Delta t_k$ である。$y$、$x'$、$y'$ は閉区間で連続なので一様連続である（区分求積と積分の定義の定理「閉区間上の連続関数は一様連続」）。任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ をとり、$\lvert s-t\rvert<\delta$ なら $\lvert y(s)-y(t)\rvert$、$\lvert x'(s)-x'(t)\rvert$、$\lvert y'(s)-y'(t)\rvert$ がどれも $\varepsilon$ 未満になるようにする。$\lvert P\rvert<\delta$ なら、$t_{k-1}$、$\sigma_k$、$\tau_k$ はどれも $t_k$ から $\delta$ 未満の距離にあるので、段 2 と合わせて
$$ \lvert E_k\rvert\le\pi\varepsilon\cdot2K\Delta t_k+2\pi Y\cdot2\varepsilon\,\Delta t_k=2\pi(K+2Y)\,\varepsilon\,\Delta t_k $$
である。$k$ について足すと $\Bigl\lvert\sum_kE_k\Bigr\rvert\le2\pi(K+2Y)(\beta-\alpha)\,\varepsilon$ で、$\varepsilon$ はいくらでも小さくとれるので、$\lvert P\rvert\to0$ のとき $\sum_kE_k\to0$ である。
段 4・段 5 から、$\lvert P\rvert\to0$ のとき $A(P)\to\int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ であり、これが回転面の面積である。$\square$

グラフ $x=t$、$y=f(t)$ では $x'=1$、$y'=f'$ なので、主定理 1 は球の体積と表面積の公式 $2\pi\int f\sqrt{1+f'^2}\,dx$ に戻る。曲線を $y$ 軸のまわりに回すときは、$x(t)\ge0$ として、$x$ と $y$ の役割を入れかえた
$$ S=2\pi\int_\alpha^\beta x(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt $$
が同じ証明で成り立つ（各点から回転軸までの距離が $x(t)$ になる）。

トーラス・半円・放物線

トーラス：$x=r\cos t$、$y=R+r\sin t$（$0\le t\le2\pi$、$R>r>0$）。$x'=-r\sin t$、$y'=r\cos t$ なので速さは $\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}=r$ で、
$$ S=2\pi\int_0^{2\pi}(R+r\sin t)\,r\,dt=2\pi r\Bigl[Rt-r\cos t\Bigr]_0^{2\pi}=2\pi r\cdot2\pi R=4\pi^2Rr $$
である。$R=2$、$r=1$ で $8\pi^2=78.96\cdots$。
半円 $x=r\cos t$、$y=r\sin t$（$0\le t\le\pi$）：速さは $r$ で、$S=2\pi\displaystyle\int_0^\pi r\sin t\cdot r\,dt=2\pi r^2\Bigl[-\cos t\Bigr]_0^\pi=4\pi r^2$（球の表面積）。$t$ の範囲を $[t_1,t_2]$ に変えると $2\pi r^2(\cos t_1-\cos t_2)=2\pi r\bigl(x(t_1)-x(t_2)\bigr)$ で、球を 2 つの平行な平面ではさんだ帯の面積は、平面の間隔 $\times2\pi r$ になる。これは Archimedesの帽子箱定理の帯の面積である。
$y$ 軸のまわり：$y=x^2$（$0\le x\le1$）を $x=t$、$y=t^2$ と表すと、速さは $\sqrt{1+4t^2}$ で
$$ S=2\pi\int_0^1t\sqrt{1+4t^2}\,dt=2\pi\Bigl[\frac1{12}(1+4t^2)^{\frac32}\Bigr]_0^1=\frac\pi6\bigl(5\sqrt5-1\bigr)=5.330\cdots $$
である（$\frac{d}{dt}(1+4t^2)^{\frac32}=12t(1+4t^2)^{\frac12}$）。

主定理 2：面積は「曲線の長さ $\times$ 重心が回る距離」

体積と回転体の定理「Pappus–Guldinusの定理」は、回転体の体積が「図形の面積 $\times$ 重心が 1 回転で動く距離」に等しいことを示した。面積にも同じ形の公式がある。曲線の長さは $L=\displaystyle\int_\alpha^\beta v(t)\,dt$ である（媒介変数表示と曲線の長さの定理「曲線の長さの公式」）。

曲線の重心の高さ

def-sar-area の曲線 $C$ の長さを $L>0$ とするとき
$$ \bar y=\frac1L\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt $$
を、曲線 $C$ の 重心の高さ（$x$ 軸からの距離）という。

$\bar y$ は、曲線を細かく分けたときの各部分の高さ $y(t)$ を、その部分の長さ $v(t)\,\Delta t$ で重み付けして平均したものである。曲線を太さの一様な針金と思ったときの、針金の重心の高さに当たる。

Pappus–Guldinus の定理（面積）

def-sar-area の回転面の面積は
$$ S=2\pi\bar y\cdot L $$
である。つまり、曲線を回した面の面積は、曲線の長さに、曲線の重心が 1 回転で動く距離 $2\pi\bar y$ を掛けたものに等しい。

def-sar-centroid の両辺に $L$ を掛けると $\bar yL=\displaystyle\int_\alpha^\beta y(t)v(t)\,dt$ である。thm-sar-param により $S=2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta y(t)v(t)\,dt=2\pi\bar yL$ である。$\square$

線分では、lem-sar-segment の $\pi(y_1+y_2)\ell=2\pi\cdot\dfrac{y_1+y_2}2\cdot\ell$ がこの定理の形になっている（線分の重心は中点で、高さ $\dfrac{y_1+y_2}2$）。

逆向きに使う：半円の弧の重心

半径 $r$ の半円の弧（ex-sar-examples (2)）は、長さ $L=\pi r$ で、回すと面積 $4\pi r^2$ の球面になる。thm-sar-pappus から
$$ 4\pi r^2=2\pi\bar y\cdot\pi r,\qquad\bar y=\frac{2r}\pi=0.6366\,r $$
である。半円の弧の重心は、中心から $\dfrac{2r}\pi$ の高さにある。体積と回転体の例「逆向きに使う：半円板の重心」の、半円板の重心の高さ $\dfrac{4r}{3\pi}=0.4244\,r$ より高い。弧は中心から距離 $r$ の所にだけあり、半円板は中心に近い部分も含むからである。

中心 (0,2)、半径 1 の円を x 軸のまわりに回してできるトーラスで、回す円（実線）とその重心が回る円（破線）を描いてある
図 1 のトーラスでは、回す円の重心は中心 $(0,R)$ で、1 回転で $2\pi R$ だけ動く。円の長さは $2\pi r$ なので、面積は $2\pi r\cdot2\pi R=4\pi^2Rr$ で、ex-sar-examples (1) と一致する。

サイクロイドを回した面

サイクロイド $x=a(t-\sin t)$、$y=a(1-\cos t)$（$0\le t\le2\pi$、$a>0$）では、$x'=a(1-\cos t)$、$y'=a\sin t$ で
$$ x'^2+y'^2=a^2\bigl(1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t\bigr)=2a^2(1-\cos t)=4a^2\sin^2\frac t2 $$
なので（半角の公式 $1-\cos t=2\sin^2\frac t2$）、$0\le t\le2\pi$ で速さは $2a\sin\dfrac t2$ である。また $y=2a\sin^2\dfrac t2$ である。よって
$$ S=2\pi\int_0^{2\pi}2a\sin^2\frac t2\cdot2a\sin\frac t2\,dt=8\pi a^2\int_0^{2\pi}\sin^3\frac t2\,dt $$
で、$u=\dfrac t2$ と置換すると $16\pi a^2\displaystyle\int_0^\pi\sin^3u\,du$ である。$\sin^3u=\sin u-\sin u\cos^2u$ から $\displaystyle\int_0^\pi\sin^3u\,du=\Bigl[-\cos u+\frac{\cos^3u}3\Bigr]_0^\pi=\frac43$ なので、
$$ S=\frac{64}3\pi a^2 $$
である（$a=1$ で $67.02\cdots$）。長さは $L=\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\sin\frac t2\,dt=8a$（サイクロイド）なので、thm-sar-pappus から弧の重心の高さは $\bar y=\dfrac{S}{2\pi L}=\dfrac{64\pi a^2/3}{16\pi a}=\dfrac43a$ である。

サイクロイドの 1 アーチと、その弧の重心の高さ 4a/3 を表す破線
図 2 で、アーチの最高点の高さは $2a$ だが、重心の高さ $\dfrac43a$ はその $\dfrac23$ である。アーチは両端の低い所では急に立ち上がり、長さの多くは高い所にあるので、半分の $a$ よりは高くなる。

アステロイドを回した面

アステロイドの上半分 $x=a\cos^3t$、$y=a\sin^3t$（$0\le t\le\pi$）を $x$ 軸のまわりに回す。$x'=-3a\cos^2t\sin t$、$y'=3a\sin^2t\cos t$ で、速さは $3a\lvert\sin t\cos t\rvert$ である（アステロイド）。$t=\dfrac\pi2$ に関する対称性から $0\le t\le\dfrac\pi2$ の 2 倍として
$$ S=2\cdot2\pi\int_0^{\frac\pi2}a\sin^3t\cdot3a\sin t\cos t\,dt=12\pi a^2\Bigl[\frac{\sin^5t}5\Bigr]_0^{\frac\pi2}=\frac{12}5\pi a^2 $$
である。このアステロイドの上半分は $x$ の関数のグラフでもあるが、$x=0$（$t=\frac\pi2$）で傾きが無限大になり、グラフの公式の仮定を満たさない。媒介変数表示ではその問題が起きない。

曲線	長さ $L$	重心の高さ $\bar y$	面の面積 $S$
半円の弧（半径 $r$）	$\pi r$	$\frac{2r}\pi$	$4\pi r^2$
円（トーラス）	$2\pi r$	$R$	$4\pi^2Rr$
サイクロイド 1 アーチ	$8a$	$\frac43a$	$\frac{64}3\pi a^2$
アステロイドの上半分	$3a$	$\frac25a$	$\frac{12}5\pi a^2$

アステロイドの上半分の長さは、全体の長さ $6a$（アステロイド）の半分で、重心の高さは $\dfrac{S}{2\pi L}=\dfrac{12\pi a^2/5}{6\pi a}=\dfrac25a$ である。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$y(t)\ge0$（曲線が回転軸をまたぐ）	線分 $x=t$、$y=2t-1$（$0\le t\le1$）	面の面積 $=2\pi\int y\,v\,dt$（右辺は $0$）
曲線は端点のほかで同じ点を 2 度通らない	円を 2 周する $t\in[0,4\pi]$	面の面積 $=2\pi\int y\,v\,dt$（右辺は 2 倍）
母線の長さで近似する（定義を変える）	円柱の帯で近似した $2\pi\int y\,\lvert x'\rvert\,dt$	球で $4\pi r^2$ になる（$\pi^2r^2$ になる）

反例の確認

線分 $x=t$、$y=2t-1$（$0\le t\le1$）は、$t=\frac12$ で $x$ 軸と交わる。速さは $\sqrt5$ で、$2\pi\displaystyle\int_0^1(2t-1)\sqrt5\,dt=0$ である。実際に回してできる面は、頂点が $\bigl(\frac12,0\bigr)$ で底面の半径が $1$、母線の長さが $\frac{\sqrt5}2$ の 2 つの円錐の側面で、面積は $2\cdot\pi\cdot1\cdot\frac{\sqrt5}2=\sqrt5\,\pi=7.02\cdots$ である。軸の下の部分は $y<0$ で、積分の中で打ち消し合ってしまう。$y$ の代わりに軸からの距離 $\lvert y\rvert$ を使えば正しい値が出る。
トーラスの円を $0\le t\le4\pi$ で 2 周させると、$2\pi\displaystyle\int_0^{4\pi}(R+r\sin t)r\,dt=8\pi^2Rr$ で、面積 $4\pi^2Rr$ の 2 倍になる。def-sar-area の $A(P)$ は同じ面を 2 回数える。面の面積を求めるには、曲線が同じ部分を 2 度通らない表し方を使う（媒介変数表示と曲線の長さの反例「同じ円を 2 周する」と同じ）。
母線の長さ $\ell_k$ の代わりに水平な幅 $\lvert x_k-x_{k-1}\rvert$ を使う（円柱の帯で近似する）と、半円 $x=r\cos t$、$y=r\sin t$ では $2\pi\displaystyle\int_0^\pi r\sin t\cdot r\sin t\,dt=\pi^2r^2$ となり、$4\pi r^2$ にならない。球の体積と表面積の注意「円柱の近似が誤る理由」と同じで、帯の傾きの分だけ面積を縮めてしまう。

大学数学で見る

主定理 1 は、曲面の面積の一般の定義の特別な場合である。大学では、曲面を 2 つの媒介変数 $(t,\phi)$ で $\boldsymbol p(t,\phi)$ と表し、面積を $\iint\lvert\boldsymbol p_t\times\boldsymbol p_\phi\rvert\,dt\,d\phi$ で定める（曲面積）。回転面を $\boldsymbol p(t,\phi)=\bigl(x(t),\,y(t)\cos\phi,\,y(t)\sin\phi\bigr)$（$\phi$ は回転角）と表すと $\lvert\boldsymbol p_t\times\boldsymbol p_\phi\rvert=y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ となり、$\phi$ について $0$ から $2\pi$ まで積分すると主定理 1 の式になる。
Wei26 は、回転面の例として球・トーラス・円錐・円柱・放物面・双曲面などを挙げ、媒介変数表示された曲線を $x$ 軸のまわりに回した面の面積を $2\pi\int y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$ の形で述べている。