双有理写像

$\Delta\colon Y\to Y\times_kY$ を対角射とし、$(f,g)\colon X\to Y\times_kY$ を $f$ と $g$ が定める射とする。$Y$ が $k$ 上分離的とは $\Delta$ が閉埋め込みであることであるから、ファイバー積 $Z:=X\times_{Y\times_kY}Y$（$(f,g)$ による $\Delta$ の底変換）は $X$ の閉部分スキームであり、$i\colon Z\to X$ は閉埋め込みである。ファイバー積の普遍性により、射 $h\colon T\to X$ が $i$ を経由することと $f\circ h=g\circ h$ とは同値である。
仮定 $f|_W=g|_W$ から、開埋め込み $W\hookrightarrow X$ は $i$ を経由する。とくに集合として $W\subset Z$ であり、$Z$ は閉で $W$ は稠密なので $Z$ の台は $X$ 全体である。$Z$ を定めるイデアル層を $\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X$ とすると、任意のアフィンスキームである開集合 $\operatorname{Spec}A\subset X$ 上で $\mathcal{I}$ はイデアル $I\subset A$ に対応し、$V(I)=\operatorname{Spec}A$ であるから $I$ はすべての素イデアルに含まれ、$I\subset\sqrt{0}$ である。$X$ は被約なので $\sqrt{0}=0$、よって $I=0$ であり、$\mathcal{I}=0$、すなわち $Z=X$ である。したがって恒等射 $\mathrm{id}_X$ が $i$ を経由し、$f=f\circ\mathrm{id}_X=g\circ\mathrm{id}_X=g$ を得る。$\square$

2 つの代表 $(U_i,f_i)$、$(U_j,f_j)$ をとる。同値の定義から、空でない開集合 $W\subset U_i\cap U_j$ で $f_i|_W=f_j|_W$ となるものがある。$U_i\cap U_j$ は空でない開集合で（$X$ の既約性）、$W$ はその稠密な開集合である。$U_i\cap U_j$ は被約スキーム（被約スキームの開部分スキームは被約）で $Y$ は分離的なので、lem-birational-map-reduced-separated により $f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$ である。
すなわち射の族 $(f_i)$ は重なりの上で一致するので、射の貼り合わせにより $U_{\max}$ 上の射 $f_{\max}$ で $f_{\max}|_{U_i}=f_i$ となるものがただ 1 つ存在する（射は開被覆上の制限で決まる）。$(U_{\max},f_{\max})$ は $(U_i,f_i)$ と $U_i$ 上で一致するので $f$ の代表である。最後の主張は $U_{\max}$ の定義と貼り合わせの一意性から従う。$\square$

1. $U$ 上で $\sigma(\sigma([x:y:z]))=[zx\cdot xy:xy\cdot yz:yz\cdot zx]=[xyz\cdot x:xyz\cdot y:xyz\cdot z]=[x:y:z]$ である（$xyz\ne0$）。$\sigma(U)\subset U$ でもあるので、$\sigma|_U\colon U\to U$ は $\sigma|_U$ 自身を逆射にもつ同型である。とくに $\sigma$ は支配的で、有理写像として $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}_{\mathbb{P}^2}$ である。
2. $[yz:zx:xy]$ の 3 成分がすべて $0$ になるのは、$x,y,z$ のうち 2 つ以上が $0$ のとき、すなわち 3 つの座標点に限る。したがって $V:=\mathbb{P}^2\setminus\{[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]\}$ 上では $[yz:zx:xy]$ は射 $V\to\mathbb{P}^2$ を定め（同時には消えない同次多項式の組は射影空間への射を定める）、$U$ 上で $\sigma$ に一致するので $V\subset\operatorname{dom}(\sigma)$ である。
   $p:=[1:0:0]$ が不確定点であることを示す（他の 2 点は対称性による）。$p$ を含む開集合 $U'$ と射 $g\colon U'\to\mathbb{P}^2$ で、$U'\cap V$ 上で $\sigma$ に一致するものがあったとする。$t\in k$ に対し、$p$ を通る直線 $L_t:=\{y=tz\}\cong\mathbb{P}^1$ を考える（座標 $[x:z]$）。$L_t\cap U'$ は $L_t$ の空でない開集合であり、$L_t\cap V$（$L_t$ から $p$ を含む高々 2 点を除いたもの）の上で
   $$ \sigma([x:tz:z])=[tz^2:zx:txz]=[tz:x:tx] $$
   である。右辺は $L_t$ 全体で定義された射 $h_t\colon L_t\to\mathbb{P}^2$、$[x:z]\mapsto[tz:x:tx]$ を与える（$x,z$ が同時に $0$ にならないので、3 成分が同時に $0$ になることはない）。$g|_{L_t\cap U'}$ と $h_t|_{L_t\cap U'}$ は $L_t\cap U'\cap V$ という $L_t\cap U'$ の稠密な開集合（既約な $L_t$ の空でない開集合）の上で一致するので、lem-birational-map-reduced-separated により $L_t\cap U'$ 全体で一致し、とくに $g(p)=h_t(p)=h_t([1:0])=[0:1:t]$ である。これがすべての $t\in k$ について成り立つが、$[0:1:t]$ は $t$ とともに変わるので矛盾である（$k$ が 2 元以上をもてばよい）。よって $p\notin\operatorname{dom}(\sigma)$ であり、$\operatorname{dom}(\sigma)=V$ である。
3. $x=0$、$yz\ne0$ の点で $\sigma([0:y:z])=[yz:0:0]=[1:0:0]$ である。他も同様である。$\square$

1. $f^*$ の構成。代表 $(U,f)$ をとる。$\phi\in K(Y)$ に対し、$\phi$ が正則になる空でない開集合 $V\subset Y$ をとる。$f$ は支配的なので $f^{-1}(V)$ は空でない開集合で、$f^\#(\phi)\in\mathcal{O}_X(f^{-1}(V))\subset K(X)$ が定まる。$V$ を小さくしても $f^{-1}(V)$ への制限が変わるだけで $K(X)$ の元としては同じであり、代表を取り替えても（共通の稠密開集合の上で射が一致するので）同じである。こうして定まる $f^*\colon K(Y)\to K(X)$、$\phi\mapsto f^\#(\phi)$ は環の準同型で $k$ の元を保つ。体の準同型なので単射である。合成の公式 $(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ は、$g\circ f$ の代表が $g\circ f\colon f^{-1}(V)\to Z$ であり、$(g\circ f)^\#=f^\#\circ g^\#$ であることから従う。
   全射性。$k$ 代数の準同型 $\theta\colon K(Y)\to K(X)$ が与えられたとする。空でないアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B\subset Y$ をとる。$B$ は有限生成 $k$ 代数（有限生成代数）で、$B\subset K(Y)=\operatorname{Frac}(B)$ である。生成元 $b_1,\dots,b_n$ をとると、各 $\theta(b_i)\in K(X)$ はある空でない開集合の上で正則であり、それらの共通部分の中に空でないアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A\subset X$ をとれば、$\theta(b_i)\in A$ である。$\theta(B)$ は $\theta(b_i)$ たちで生成されるので $\theta(B)\subset A$ であり、$\theta|_B\colon B\to A$ は $k$ 代数の準同型である。これに対応する射 $f_\theta\colon U=\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B=V\subset Y$ をとる（アフィンスキームへの射と環の準同型の対応、Har77 II §2 演習 2.4）。
   $f_\theta$ は支配的である。実際、$\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ の像の閉包は $V(\ker(\theta|_B))$ であり（Har77 II §2 演習 2.18）、$\theta$ は単射なので $\ker(\theta|_B)=0$、したがって像は $V$ で稠密、よって $Y$ で稠密である。また $f_\theta^*$ と $\theta$ は $B$ 上で一致し（$f_\theta^\#(b)=\theta(b)$）、$K(Y)=\operatorname{Frac}(B)$ からの体の準同型は $B$ での値で決まるので $f_\theta^*=\theta$ である。
   単射性。支配的な有理写像 $f,g$ が $f^*=g^*=:\theta$ を満たすとする。代表 $(U,f)$、$(U',g)$ をとり、空でないアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B\subset Y$ をとる。支配性から $f^{-1}(V)\cap g^{-1}(V)$ は空でない開集合で、その中に空でないアフィン開集合 $U''=\operatorname{Spec}A$ をとる。$f|_{U''},g|_{U''}\colon U''\to V$ に対応する環の準同型 $B\to A$ は、どちらも $\theta$ の $B$ への制限（$\subset A\subset K(X)$）である。射と環準同型の対応は全単射なので $f|_{U''}=g|_{U''}$、したがって $f$ と $g$ は同じ有理写像である。
2. $f$ が双有理写像で $g$ がその逆なら、1 の合成公式から $f^*\circ g^*=(g\circ f)^*=\mathrm{id}_X^*=\mathrm{id}_{K(X)}$、同様に $g^*\circ f^*=\mathrm{id}_{K(Y)}$ であり、$f^*$ は同型である。逆に $f^*$ が同型なら、その逆写像 $\psi\colon K(X)\to K(Y)$ は $k$ 代数の準同型なので、1 の全射性により $g^*=\psi$ となる支配的な有理写像 $g\colon Y\dashrightarrow X$ がある。すると $(g\circ f)^*=f^*\circ g^*=\mathrm{id}_{K(X)}=\mathrm{id}_X^*$ であり、1 の単射性から $g\circ f=\mathrm{id}_X$ である。同様に $f\circ g=\mathrm{id}_Y$ であり、$f$ は双有理写像である。
3. 前半は 1 の全射性と 2 から従う。後半は $K(\mathbb{P}^n_k)=k(t_1,\dots,t_n)$ による（$\mathbb{P}^n$ は $\mathbb{A}^n=\operatorname{Spec}k[t_1,\dots,t_n]$ を開集合として含む）。$\square$

1. 開集合の同型 $\alpha\colon U\to V$ があれば、$\alpha$ を $U\subset X$ 上の射 $U\to V\subset Y$ とみて有理写像 $f\colon X\dashrightarrow Y$ を、$\alpha^{-1}$ から有理写像 $g\colon Y\dashrightarrow X$ を定めると、$g\circ f$ は $U$ 上で恒等射、$f\circ g$ は $V$ 上で恒等射だから、$f$ は双有理写像である（$f(U)=V$ は $Y$ で稠密なので支配的）。
   逆に $f\colon X\dashrightarrow Y$ を双有理写像、$g$ をその逆とし、代表 $(U,f)$、$(V,g)$ をとる。$U_1:=f^{-1}(V)$ は空でない開集合（$f$ の支配性）で、$g\circ f\colon U_1\to X$ は有理写像として $\mathrm{id}_X$ に等しいので、$U_1$ のある稠密開集合の上で包含写像 $U_1\hookrightarrow X$ に一致し、lem-birational-map-reduced-separated により $U_1$ 全体で一致する。すなわち $g(f(x))=x$（$x\in U_1$）である。同様に $V_1:=g^{-1}(U)$ 上で $f(g(y))=y$ である。
   $U':=\{x\in U_1\mid f(x)\in V_1\}=f^{-1}(V_1)$、$V':=\{y\in V_1\mid g(y)\in U_1\}=g^{-1}(U_1)$ とおく。どちらも開集合で、$U'$ は空でない（$f(U_1)$ は $Y$ で稠密で $V_1$ は空でない開集合だから）。$x\in U'$ なら $f(x)\in V_1$ かつ $g(f(x))=x\in U_1$ なので $f(x)\in V'$、すなわち $f(U')\subset V'$ である。同様に $g(V')\subset U'$ である。$U'$ 上で $g\circ f=\mathrm{id}$、$V'$ 上で $f\circ g=\mathrm{id}$ なので、$f|_{U'}\colon U'\to V'$ は $g|_{V'}$ を逆射にもつ同型である。
2. $f$ を射とし、逆の代表 $(V,g)$ をとる。1 の証明と同じく、$f^{-1}(V)$ 上で $g\circ f=\mathrm{id}$、$V$ 上（$V_1=g^{-1}(X)=V$）で $f\circ g=\mathrm{id}_V$ である。$y\in V$ に対し $f(g(y))=y\in V$ なので $g(V)\subset f^{-1}(V)$ であり、$g\colon V\to f^{-1}(V)$ は $f|_{f^{-1}(V)}$ の両側の逆射である。$\square$

有限射はアフィン射なので、$Y$ の任意のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$ について $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}A$ であり、$A$ は $B$ 加群として有限生成（有限生成加群）である。$f^{-1}(V)$ が空でないことは $f$ の支配性による。対応する準同型 $\varphi\colon B\to A$ は単射である。実際、$f$ は支配的なので $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ の像は稠密であり、その閉包 $V(\ker\varphi)$ が $\operatorname{Spec}B$ 全体だから $\ker\varphi\subset\sqrt{0}=0$ である（$B$ は整域）。
$f$ は双有理なので、thm-birational-map-function-field により $f^*\colon K(Y)=\operatorname{Frac}(B)\to K(X)=\operatorname{Frac}(A)$ は同型であり、$\varphi$ はその制限である。$K(X)$ を $f^*$ で $K(Y)$ と同一視すると、$B\subset A\subset\operatorname{Frac}(B)$ であり、$A$ は $B$ 上整（整拡大。有限生成加群だから）である。$Y$ は正規なので $B$ は整閉整域（正規性は局所環で定義したが、$B$ が整閉であることと各局所化 $B_{\mathfrak{p}}$ が整閉であることは同値、AM69 5.13）であり、したがって $A=B$ である。よって $f^{-1}(V)\to V$ は同型であり、$Y$ のアフィン開被覆のすべてで同型なので $f$ は同型である。$\square$

前半：thm-birational-map-curve により $C\cong C'$ であり、種数 $g(C)=\dim_kH^1(C,\mathcal{O}_C)$ は同型で保たれる。後半：$k$ が代数閉体で $g(C)=0$ とし、閉点 $P\in C$ をとる。Riemann–Rochの定理により $\deg P=1>2g-2=-2$ なので $h^0(C,\mathcal{O}_C(P))=1-g+1=2$ であり、$h^0(C,\mathcal{O}_C)=1<2$ なので $P$ は線型系 $|P|$ の基点でなく、$P$ 以外の点では切断 $1$ が消えないので、$|P|$ は基点をもたず、次数 $\deg P=1$ の射 $C\to\mathbb{P}^1$ を定める。次数 $1$ の有限射は関数体の同型を誘導するので双有理射であり、前半と同じく thm-birational-map-curve により同型である（Har77 IV.1.3.5）。$\square$