Herbrand商

$X=A,B,C$ について、すべての整数 $m$ で $K^m(X):=X$ とし、微分 $d^m\colon K^m(X)\to K^{m+1}(X)$ を $m$ が偶数なら $f$、奇数なら $g$ とする。$d^{m+1}d^m$ は $gf$ または $fg$ なので $0$ であり、$K^\bullet(X)$ は複体である。そのコホモロジーは
$$ H^m(K^\bullet(X))=\begin{cases}\ker f/\operatorname{im}g=E_0(X)&(m\text{ が偶数})\\ \ker g/\operatorname{im}f=E_1(X)&(m\text{ が奇数})\end{cases} $$
である。$i,j$ は組の射なので複体の射 $K^\bullet(A)\to K^\bullet(B)\to K^\bullet(C)$ を与え、各次数で $0\to A\to B\to C\to0$ は完全だから、これは複体の短完全列である。長完全列 の記事の定理「複体の短完全列の長完全列」により
$$ \cdots\to E_0(A)\to E_0(B)\to E_0(C)\xrightarrow{\delta^0}E_1(A)\to E_1(B)\to E_1(C)\xrightarrow{\delta^1}E_0(A)\to E_0(B)\to\cdots $$
は完全である。$K^\bullet$ は次数を $2$ ずらしても同じ複体であり、接続準同型の構成も次数を $2$ ずらしても変わらないので、この列は 6 項を周期的に繰り返す。$\delta_0:=\delta^0$、$\delta_1:=\delta^1$ とおけば主張の 6 項の列が得られる。$\square$

1. $V\to W$ の核は $U$ の像で有限、像は $W$ の部分群で有限なので、$|V|=|\ker|\cdot|\operatorname{im}|$ は有限である。
2. $X_k$ から出る写像の像の位数を $a_k$ とおく（添字は $\bmod 6$）。$X_k$ での完全性から、出る写像の核は入る写像の像で、その位数は $a_{k-1}$ である。準同型定理により $|X_k|=a_{k-1}a_k$ となる。よって $|X_1||X_3||X_5|=a_6a_1\cdot a_2a_3\cdot a_4a_5$、$|X_2||X_4||X_6|=a_1a_2\cdot a_3a_4\cdot a_5a_6$ で、両者は等しい。$\square$

$q_{f,g}(X)$ が定義されることは、$E_0(X)$ と $E_1(X)$ がともに有限であることである。6 項の列 lem-herbrand-hexagon の中で、各群は両隣の群にはさまれている：

• $E_0(B)$ は $E_0(A)$ と $E_0(C)$、$E_1(B)$ は $E_1(A)$ と $E_1(C)$ の間にある。
• $E_0(C)$ は $E_0(B)$ と $E_1(A)$、$E_1(C)$ は $E_1(B)$ と $E_0(A)$ の間にある。
• $E_0(A)$ は $E_1(C)$ と $E_0(B)$、$E_1(A)$ は $E_0(C)$ と $E_1(B)$ の間にある。
  どの 2 つが定義される場合も、残りの 1 つの $E_0,E_1$ の両隣は定義される側の群なので、lem-herbrand-orders の 1 により有限である。6 つの群がすべて有限になったので、lem-herbrand-orders の 2 を $X_1=E_0(A)$、$X_2=E_0(B)$、$X_3=E_0(C)$、$X_4=E_1(A)$、$X_5=E_1(B)$、$X_6=E_1(C)$ に使うと
  $$ |E_0(A)|\,|E_0(C)|\,|E_1(B)|=|E_0(B)|\,|E_1(A)|\,|E_1(C)| $$
  である。両辺を $|E_1(A)||E_1(B)||E_1(C)|$ で割って整理すると $\dfrac{|E_0(B)|}{|E_1(B)|}=\dfrac{|E_0(A)|}{|E_1(A)|}\cdot\dfrac{|E_0(C)|}{|E_1(C)|}$ となる。巡回群の場合は $f=\sigma-1$、$g=N_G$ とすればよく、$G$ 準同型は $\sigma$ と可換なので組の射である。$\square$

準同型定理により $|A|=|\ker f|\,|\operatorname{im}f|=|\ker g|\,|\operatorname{im}g|$ である。$A$ が有限なので指数はすべて有限で、
$$ q_{f,g}(A)=\frac{|\ker f|/|\operatorname{im}g|}{|\ker g|/|\operatorname{im}f|}=\frac{|\ker f|\,|\operatorname{im}f|}{|\ker g|\,|\operatorname{im}g|}=\frac{|A|}{|A|}=1 $$
である。$\square$

$f,g$ は商 $A/B$ にも自己準同型を誘導し、$0\to B\to A\to A/B\to0$ の写像は組の射である。$A/B$ は有限なので thm-herbrand-finite により $q_{f,g}(A/B)=1$ が定義される。thm-herbrand-multiplicative により、$q_{f,g}(A)$ と $q_{f,g}(B)$ の一方が定義されれば他方も定義され、$q_{f,g}(A)=q_{f,g}(B)\cdot1$ である。$\square$

$e:=|H|$、$m:=n/e$ とし、$M:=\mathbb{Z}[G/H]$、$s:=\sum_{\tau H\in G/H}\tau H$ とおく。$G$ は剰余類に推移的に作用するので、$M^G=\mathbb{Z}s$ である。$H$ は $M$ に自明に作用し（$G$ は可換）、$N_G=\sum_{h\in H}\sum_{\rho}\rho h$（$\rho$ は $G/H$ の代表系）は $M$ 上で $e\cdot\sum_\rho\rho$ に等しいので、$N_Gx=e\,\varepsilon(x)s$（$\varepsilon$ は係数の和）となる。よって $N_GM=e\mathbb{Z}s$、$\hat H^0=\mathbb{Z}s/e\mathbb{Z}s\cong\mathbb{Z}/e$ である。また $\ker N_G=\ker\varepsilon$ である。$M$ は巡回群 $G/H$（$\sigma H$ で生成される位数 $m$ の群）の群環 $\mathbb{Z}[G/H]$ と同じもので、$\sigma$ は $\sigma H$ の掛け算として作用する。Tateコホモロジー の記事の補題「巡回群の周期的な自由分解」の証明のとおり $\ker\varepsilon=(\sigma H-1)\mathbb{Z}[G/H]=(\sigma-1)M$ なので、$\hat H^{-1}=0$ である。したがって $h=e/1=|H|$。$\square$