極座標

$(r,\theta)$ が $P$ の極座標なら、$x^2+y^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$（三角関数 の記事の系「余弦と正弦の平方の和」）であり、$r\ge0$ なので $r=\sqrt{x^2+y^2}$ である。$P\neq O$ なので $r>0$ である。これで 2 の $r=r'$ と、1 の $r$ の値が分かる。
$r:=\sqrt{x^2+y^2}>0$ とおき、$a:=x/r$、$b:=y/r$ とすると $a^2+b^2=1$ である。三角関数 の記事の定理「単位円の媒介変数表示」により、$(\cos t,\sin t)=(a,b)$ となる $t\in[0,2\pi)$ がただ一つ存在し、実数 $s$ について $(\cos s,\sin s)=(a,b)$ となるのは $s-t$ が $2\pi$ の整数倍のときに限る。$\theta$ が $P$ の偏角であることは $(\cos\theta,\sin\theta)=(x/r,y/r)=(a,b)$ と同値なので、1・2・3 の残りの主張はすべてこれから従う。$\square$

$r:=\sqrt{x^2+y^2}$ とし、各場合に示す $\theta$ について $(\cos\theta,\sin\theta)=(x/r,y/r)$ かつ $-\pi<\theta\le\pi$ を確かめる。偏角は $2\pi$ の整数倍を除いて一つ（prop-polar-existence）で、長さ $2\pi$ の区間 $(-\pi,\pi]$ にはそのうちちょうど一つが入るので、これで十分である。
$x>0$ の場合：$\varphi:=\arctan(y/x)\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ とおく。三角関数 の記事の命題「正接と逆正接・逆正弦」により $\tan\varphi=y/x$ であり、同記事の定理「周期と零点」の 3 により $\cos\varphi>0$ である。$\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1$ を $\cos^2\varphi$ で割ると $1+\tan^2\varphi=1/\cos^2\varphi$ なので
$$ \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+(y/x)^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac xr,\qquad\sin\varphi=\tan\varphi\cos\varphi=\frac yx\cdot\frac xr=\frac yr $$
である（$x>0$ を使った）。よって $\theta=\varphi$ である。
$x<0$ の場合：点 $(-x,-y)$ は $-x>0$ なので、前段により $\varphi:=\arctan(y/x)=\arctan((-y)/(-x))$ は $(\cos\varphi,\sin\varphi)=(-x/r,-y/r)$ を満たす。同記事の定理「周期と零点」の 2 により $\cos(\varphi\pm\pi)=-\cos\varphi=x/r$、$\sin(\varphi\pm\pi)=-\sin\varphi=y/r$ なので、$\varphi+\pi$ と $\varphi-\pi$ はどちらも $P$ の偏角である。$y\ge0$ なら $\sin\varphi=-y/r\le0$ で $\varphi\in(-\frac\pi2,0]$ なので $\varphi+\pi\in(\frac\pi2,\pi]$ であり、$y<0$ なら $\sin\varphi>0$ で $\varphi\in(0,\frac\pi2)$ なので $\varphi-\pi\in(-\pi,-\frac\pi2)$ である。いずれも $(-\pi,\pi]$ に入る。
$x=0$ の場合：$r=|y|$ であり、$\cos\frac\pi2=0$、$\sin\frac\pi2=1$（同記事の定理「周期と零点」の 1）から $y>0$ なら $\theta=\frac\pi2$、$y<0$ なら $\sin(-\frac\pi2)=-1$ から $\theta=-\frac\pi2$ である。$\square$

$g(\theta):=\frac12f(\theta)^2$ とおく。$g$ は連続なので、Riemann積分 の記事の定理「連続関数の可積分性」により $[\alpha,\beta]$ 上で Riemann 積分可能であり、下限和の上限と上限和の下限はともに $\int_\alpha^\beta g$ に等しい（同記事の定義「Riemann積分可能性と積分の値」）。
$[\alpha,\beta]$ の分割 $P\colon\alpha=\theta_0<\theta_1<\cdots<\theta_m=\beta$ をとる。各 $k$ について、$f$ の $[\theta_{k-1},\theta_k]$ での最小値を $m_k$、最大値を $M_k$ とし（連続関数なので存在する）、
$$ D_k:=\{(r\cos\theta,r\sin\theta)\mid\theta_{k-1}\le\theta\le\theta_k,\ 0\le r\le f(\theta)\} $$
とおく。$D=D_1\cup\cdots\cup D_m$ であり、$\beta-\alpha\le2\pi$ なので、$D_k$ どうしは原点から出る線分（偏角 $\theta_k$ の方向、$\beta-\alpha=2\pi$ なら偏角 $\alpha$ の方向も）だけを共有する。$D_k$ は半径 $m_k$、中心角 $\theta_k-\theta_{k-1}$ の扇形を含み、半径 $M_k$ の同じ中心角の扇形に含まれる。(i)・(ii)・(iii) により
$$ \sum_{k=1}^m\frac12m_k^2(\theta_k-\theta_{k-1})\le(D\text{ の面積})\le\sum_{k=1}^m\frac12M_k^2(\theta_k-\theta_{k-1}) $$
である。$f\ge0$ なので、$[\theta_{k-1},\theta_k]$ での $g$ の最小値は $\frac12m_k^2$、最大値は $\frac12M_k^2$ であり、左辺と右辺は $g$ の分割 $P$ についての下限和と上限和である。分割 $P$ は任意なので、$D$ の面積は下限和の上限以上かつ上限和の下限以下であり、$\int_\alpha^\beta g$ に等しい。$\square$

$\theta$ を止めて $r$ で微分すると $\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta$、$\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta$ である。$r$ を止めて $\theta$ で微分すると、三角関数 の記事の定理「正弦と余弦の導関数」により $\frac{\partial x}{\partial\theta}=-r\sin\theta$、$\frac{\partial y}{\partial\theta}=r\cos\theta$ である。行列式は $r\cos^2\theta-(-r\sin\theta)\sin\theta=r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r$ である。$\square$

$R>0$ について $I(R):=\int_{-R}^Re^{-x^2}\,dx$ とおき、正方形 $Q_R:=[-R,R]^2$ をとる。長方形上の連続関数に Fubini の定理（Leb2 §10.2、p. 106）を使うと
$$ I(R)^2=\int_{-R}^R\Bigl(\int_{-R}^Re^{-x^2}e^{-y^2}\,dy\Bigr)dx=\iint_{Q_R}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy $$
である。
閉円板について、$\overline{D}_R\subset Q_R\subset\overline{D}_{\sqrt2R}$ である（$Q_R$ の点は $x^2+y^2\le2R^2$ を満たす）。有界な集合 $A$ 上の積分は、$A$ を含む長方形の上で $A$ の外では $0$ とした関数の積分として定められる（Leb2 の Definition 10.5.4、p. 124）ので、被積分関数が $0$ 以上なら、積分する集合が大きいほど積分の値は大きい。よって
$$ \iint_{\overline{D}_R}e^{-(x^2+y^2)}\le I(R)^2\le\iint_{\overline{D}_{\sqrt2R}}e^{-(x^2+y^2)} $$
である。thm-polar-change-of-variables により、$\rho>0$ について
$$ \iint_{\overline{D}_\rho}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\Bigl(\int_0^\rho e^{-r^2}r\,dr\Bigr)d\theta=2\pi\Bigl[-\frac{e^{-r^2}}2\Bigr]_0^\rho=\pi\bigl(1-e^{-\rho^2}\bigr) $$
である（$-\frac12e^{-r^2}$ は $re^{-r^2}$ の原始関数であり、微分積分学の基本定理 の記事の定理「原始関数による積分の計算」を使った）。したがって
$$ \pi\bigl(1-e^{-R^2}\bigr)\le I(R)^2\le\pi\bigl(1-e^{-2R^2}\bigr) $$
であり、$R\to\infty$ で両側は $\pi$ に収束するので $I(R)^2\to\pi$、$I(R)>0$ なので $I(R)\to\sqrt\pi$ である。
最後に広義積分との関係を確かめる。$e^{-x^2}$ は偶関数なので、$x\mapsto-x$ の置換により $\int_{-R}^0e^{-x^2}\,dx=\int_0^Re^{-x^2}\,dx=\frac12I(R)$ である。したがって $\int_0^Re^{-x^2}\,dx$ と $\int_{-R}^0e^{-x^2}\,dx$ はともに $R\to\infty$ で $\frac{\sqrt\pi}2$ に収束し、広義積分 $\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$ と $\int_{-\infty}^0e^{-x^2}\,dx$ はともに収束して値は $\frac{\sqrt\pi}2$ である。その和が $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$ である。$\square$