変形理論

つねに $\epsilon(\epsilon M)=\epsilon^2M=0$ なので $\epsilon M\subset\ker\epsilon$ であり、2 と 3 は同値である。加群 $M$ が平坦であることは、環のすべての有限生成イデアル $J$ について自然な写像 $J\otimes M\to M$ が単射であることと同値である（AM69 第 2 章演習 26、Mat89 定理 7.7）。$k[\epsilon]$ のイデアルは $0$、$(\epsilon)$、$(1)$ の 3 つしかなく、$0$ と $(1)$ については条件は自明に成り立つ。イデアル $(\epsilon)$ は $\epsilon\mapsto1$ により $k[\epsilon]$ 加群 $k=k[\epsilon]/(\epsilon)$ と同型なので、$(\epsilon)\otimes M\cong k\otimes_{k[\epsilon]}M=M/\epsilon M$ であり、写像 $(\epsilon)\otimes M\to M$ はこの同一視のもとで $M/\epsilon M\to M$、$\bar{m}\mapsto\epsilon m$ である。これが単射であることは $\ker\epsilon\subset\epsilon M$ と同値であり、上の注意と合わせて 1 と 2 が同値になる。スキームについての言明は、平坦性が局所的な性質であり、アフィン開集合ごとに座標環に上を適用すればよいことから従う。

thm-deformation-first-order により $H^1(\mathbb{P}^1,T_{\mathbb{P}^1})=0$ を示せばよい。$\mathbb{P}^1=U_0\cup U_1$、$U_0=\operatorname{Spec}k[x]$、$U_1=\operatorname{Spec}k[y]$、$U_0\cap U_1=\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}]$、$y=x^{-1}$ とする。$T$ は $U_0$ 上で $\partial_x$、$U_1$ 上で $\partial_y$ を基底とする自由層であり、$U_0\cap U_1$ 上では $\partial_x=\frac{dy}{dx}\partial_y=-x^{-2}\partial_y$、すなわち $\partial_y=-x^2\partial_x$ である。Čechコホモロジーで計算する。$\mathbb{P}^1$ は分離的（分離射）でアフィン開被覆 $\{U_0,U_1\}$ の交わりはアフィンなので、準連接層 $T$ の $H^1$ はこの被覆の Čech コホモロジーに一致する（Har77 III.4.5）。Čech 複体は
$$ T(U_0)\oplus T(U_1)\longrightarrow T(U_0\cap U_1),\qquad(f\partial_x,\,g\partial_y)\longmapsto g\partial_y-f\partial_x=(-x^2g(x^{-1})-f(x))\partial_x $$
（$f\in k[x]$、$g\in k[y]$）であり、$H^1$ はこの写像の余核である。$T(U_0\cap U_1)=k[x,x^{-1}]\partial_x$ の元 $h(x)\partial_x$、$h=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nx^n$ をとる。$n\ge0$ の項の和 $h_+$ は $k[x]$ に入り、$n\le-1$ の項の和 $h_-$ は $x^2\cdot\sum_{n\le-1}a_nx^{n-2}$ と書けて $x^{n-2}$ は $n-2\le-3$ ゆえ $k[x^{-1}]=k[y]$ の元である。よって $h\partial_x=-(-h_+)\partial_x-x^2g(x^{-1})\partial_x$（$g(y):=-\sum_{n\le-1}a_ny^{2-n}$）は上の写像の像に入り、$H^1=0$ である。

$X$ を $A\in\mathrm{Art}_k$ 上の変形とする。$X$ は $X_0$ と同じ位相空間をもち、$X_0$ がアフィンなので $X$ もアフィンである（冪零なイデアル層で定まる閉部分スキームがアフィンならもとのスキームもアフィンである。Har77 III 演習 3.1、Ser06 第 1 章）。$X=\operatorname{Spec}B$ と書く。$B\to B_0$ は核 $\mathfrak{m}_AB$ が冪零な全射であり、$B_0$ は $k$ 上滑らかなので、無限小持上げの性質（滑らかな射は形式的に滑らか（形式的滑らかさ）である。Har77 II 演習 8.6、Har10 第 1 章 §4）により $k$ 代数の準同型 $s\colon B_0\to B$ で、$B\to B_0$ との合成が恒等写像になるものがある。$s$ は $A$ 線型に延びて $A$ 代数の準同型 $\tilde{s}\colon B_0\otimes_kA\to B$ を与え、$\tilde{s}$ は $k=A/\mathfrak{m}_A$ をテンソルすると $B_0$ の恒等写像になる。
$\tilde{s}$ が同型であることを $A$ の $k$ 上の次元についての帰納法で示す。$A=k$ なら明らかである。$A\ne k$ なら小さい拡大 $0\to I\to A\to\bar{A}\to0$（$I\ne0$、$\mathfrak{m}_AI=0$）がとれる。$\bar{B}:=B\otimes_A\bar{A}=B/IB$ は $\bar{A}$ 上の変形であり、$s$ の合成 $B_0\to B\to\bar{B}$ は $\bar{B}\to B_0$ の切断なので、帰納法の仮定により対応する $\bar{A}$ 代数の準同型 $B_0\otimes_k\bar{A}\to\bar{B}$ は同型である。$B$ は $A$ 上平坦なので $I\otimes_AB\to B$ は単射であり、$\mathfrak{m}_AI=0$ から $I\otimes_AB=I\otimes_A(B/\mathfrak{m}_AB)=I\otimes_kB_0$ である。$B_0\otimes_kA$ についても同じことが成り立つので、可換図式
$$ \begin{aligned} 0\to I\otimes_kB_0&\to B_0\otimes_kA\to B_0\otimes_k\bar{A}\to0\\ 0\to I\otimes_kB_0&\to B\to\bar{B}\to0 \end{aligned} $$
の 2 つの行はともに完全列である。縦の写像は左から順に、$\tilde{s}$ が誘導する写像であり、左端は $i\otimes b_0\mapsto i\cdot s(b_0)=i\cdot\tilde{b}_0$（$\tilde{b}_0$ は $b_0$ の任意の持上げ。$\mathfrak{m}_AI=0$ なので持上げの取り方によらない）で恒等写像、右端は帰納法の仮定により同型である。五項補題により真ん中の $\tilde{s}$ も同型である。
よって $A$ 上のどの変形も自明な変形 $X_0\times_k\operatorname{Spec}A$ に同型であり、自明な変形は任意の $A'\to A$ に沿って $X_0\times_k\operatorname{Spec}A'$ に持ち上がる。

1. まず $B_g$ が平坦であることを lem-deformation-flat-dual-numbers で確かめる。$P[\epsilon]$ の元 $a+\epsilon b$（$a,b\in P$）の類に $\epsilon$ を掛けて $0$ になるのは $\epsilon a\in(f+\epsilon g)$ のときで、$\epsilon a=(f+\epsilon g)(c+\epsilon d)=fc+\epsilon(gc+fd)$ から $fc=0$、よって $c=0$、$a=fd$ となる。このとき $a+\epsilon b=(f+\epsilon g)d+\epsilon(b-gd)$ は $B_g$ の中で $\epsilon B_g$ に入る。よって $\ker\epsilon=\epsilon B_g$ で $B_g$ は平坦であり、$B_g/\epsilon B_g=P/(f)=B_0$ である。同じ計算から、$a\in P$ について $\epsilon a\in(f+\epsilon g)$ と $a\in(f)$ が同値であることもわかる（$\ast$）。
   次に $B'$ を $B_0$ の任意の 1 次変形とする（アフィン性は ex-deformation-affine-smooth の証明の冒頭と同じ理由による）。各 $x_i$ の像 $\bar{x}_i\in B_0$ の持上げ $\xi_i\in B'$ を選び、$k[\epsilon]$ 代数の準同型 $\pi'\colon P[\epsilon]\to B'$、$x_i\mapsto\xi_i$ を定める。$\pi'$ の像 $R$ は $B'\to B_0$ で $B_0$ に全射するので $B'=R+\epsilon B'$ であり、$\epsilon B'=\epsilon(R+\epsilon B')=\epsilon R\subset R$ だから $\pi'$ は全射である。$I':=\ker\pi'$ とおく。$I'$ の $\epsilon$ を法とした像は $I=(f)$ に含まれ、逆に $f$ について $\pi'(f)\in\epsilon B'=\epsilon\pi'(P[\epsilon])$ だから $\pi'(f)=\epsilon\pi'(h)$ なる $h\in P[\epsilon]$ があり、$f':=f-\epsilon h\in I'$ は $f$ の持上げである。$f'=f+\epsilon g$ と書く。$I'=(f')$ を示す。$u\in I'$ をとると、$u$ の $\epsilon$ を法とした像は $(f)$ に入るので $u-af'\in I'\cap\epsilon P[\epsilon]$ なる $a\in P$ がある。$\epsilon c\in I'$（$c\in P$）は $\epsilon\pi'(c)=0$ を意味し、$B'$ の平坦性（lem-deformation-flat-dual-numbers）により $\epsilon\colon B_0\to\epsilon B'$ は単射なので、$\bar{c}=0$ すなわち $c\in(f)$ である。よって $u-af'=\epsilon fc_1=\epsilon f'c_1$（$c_1\in P$、$\epsilon f'=\epsilon f$ に注意）となり $u\in(f')$ である。したがって $B'\cong P[\epsilon]/(f+\epsilon g)=B_g$ であり、この同型は $B_0$ 上恒等写像を誘導する。
2. $\phi\colon B_g\to B_{g'}$ を $k[\epsilon]$ 代数の準同型で $B_0$ 上恒等写像を誘導するものとする。$\phi(x_i)$ は $x_i$ の持上げなので $x_i+\epsilon h_i$（$h_i\in P$）の類である。逆に $h=(h_1,\dots,h_n)\in P^n$ に対し $x_i\mapsto x_i+\epsilon h_i$ が $P[\epsilon]\to B_{g'}$ を定め、これが $B_g$ からの準同型を誘導することは $(f+\epsilon g)(x+\epsilon h)\in(f+\epsilon g')$ と同値である。Taylor 展開と $\epsilon^2=0$ により
   $$ (f+\epsilon g)(x+\epsilon h)=f+\epsilon\Bigl(g+\sum_ih_i\partial_if\Bigr) $$
   なので、条件は $\epsilon\bigl(g-g'+\sum_ih_i\partial_if\bigr)\in(f+\epsilon g')$、すなわち（$\ast$）により $g-g'+\sum_ih_i\partial_if\in(f)$ である。よって $B_0$ 上恒等な準同型 $B_g\to B_{g'}$ が存在することと $g-g'\in(f,\partial_1f,\dots,\partial_nf)$ は同値である。最後に、そのような準同型は自動的に同型である。実際 $\phi$ は完全列 $0\to B_0\xrightarrow{\epsilon}B_g\to B_0\to0$ と $0\to B_0\xrightarrow{\epsilon}B_{g'}\to B_0\to0$ の間の写像を誘導し、両端で恒等写像なので五項補題により同型である。

$\phi$ が $B_0$ 上恒等を誘導するので、$a\in B_0$ について $\phi(a)-a\in\epsilon B_0[\epsilon]=\epsilon B_0$ であり、$\phi(a)=a+\epsilon D(a)$ となる写像 $D\colon B_0\to B_0$ が一意に定まる。$\phi$ は $k[\epsilon]$ 線型なので $\phi(a+\epsilon b)=a+\epsilon D(a)+\epsilon b$ である。$\phi$ が加法的で $k$ 線型であることは $D$ が $k$ 線型であることと同値であり、乗法的であることは
$$ \phi(aa')=aa'+\epsilon D(aa'),\qquad\phi(a)\phi(a')=(a+\epsilon D(a))(a'+\epsilon D(a'))=aa'+\epsilon(aD(a')+a'D(a)) $$
の比較から Leibniz則 $D(aa')=aD(a')+a'D(a)$ と同値である。よって $\phi\mapsto D$ は $B_0$ 上恒等な自己準同型と $k$ 導分の 1 対 1 対応を与える。合成については
$$ (1+\epsilon D)\bigl((1+\epsilon D')(a+\epsilon b)\bigr)=(1+\epsilon D)\bigl(a+\epsilon(b+D'(a))\bigr)=a+\epsilon(b+D'(a)+D(a)) $$
であり、$1+\epsilon D$ は $1-\epsilon D$ を逆写像にもつ自己同型である。

$\mathfrak{U}=\{U_i\}_{i\in I}$ を $X_0$ のアフィン開被覆とする。$X_0$ は分離的なので有限個の $U_i$ の交わりはアフィンであり、準連接層 $T_{X_0}$ について $H^1(X_0,T_{X_0})=\check{H}^1(\mathfrak{U},T_{X_0})$ である（Har77 III.4.5）。$T_{X_0}(U_i)=\operatorname{Der}_k(\mathcal{O}(U_i),\mathcal{O}(U_i))$ である。
変形からコサイクルへ。$X$ を $X_0$ の 1 次変形とする。$X$ は $X_0$ と同じ位相空間をもつので、$X|_{U_i}$ は $U_i$ の 1 次変形であり、ex-deformation-affine-smooth により自明である。すなわち $k[\epsilon]$ 代数の層の同型 $\psi_i\colon\mathcal{O}_X|_{U_i}\xrightarrow{\sim}\mathcal{O}_{U_i}[\epsilon]$ で $\epsilon$ を法として恒等写像を誘導するものがある。$U_{ij}:=U_i\cap U_j$ 上で $\psi_i\circ\psi_j^{-1}$ は $\mathcal{O}_{U_{ij}}[\epsilon]$ の $k[\epsilon]$ 代数としての自己同型で $\mathcal{O}_{U_{ij}}$ 上恒等を誘導するので、lem-deformation-automorphism により
$$ \psi_i\circ\psi_j^{-1}=1+\epsilon\theta_{ij},\qquad\theta_{ij}\in T_{X_0}(U_{ij}) $$
と書ける（補題はアフィンな $U_{ij}$ の座標環に適用する）。$U_{ijk}$ 上で $\psi_i\psi_k^{-1}=(\psi_i\psi_j^{-1})(\psi_j\psi_k^{-1})$ であるから、補題の合成則により $\theta_{ik}=\theta_{ij}+\theta_{jk}$、すなわち $(\theta_{ij})$ は Čech 1 コサイクルである。$\psi_i$ の取り方を $\psi_i'=(1+\epsilon\eta_i)\psi_i$（$\eta_i\in T_{X_0}(U_i)$。lem-deformation-automorphism により他の取り方はこれに限る）に変えると $\theta'_{ij}=\theta_{ij}+\eta_i-\eta_j$ となり、コサイクルは Čech コバウンダリだけ変わる。よってコホモロジー類 $[\theta]\in\check{H}^1(\mathfrak{U},T_{X_0})$ は $X$ だけで決まる。変形の同型 $\alpha\colon X\to X'$ があれば、$X'$ の自明化 $\psi'_i$ から $X$ の自明化 $\psi'_i\circ(\alpha^\sharp)^{-1}$ が得られ、同じコサイクルを与えるので、$[\theta]$ は同型類の不変量である。自明な変形では $\psi_i$ を恒等写像にとれて $[\theta]=0$ である。
コサイクルから変形へ。逆に 1 コサイクル $(\theta_{ij})$ が与えられたとき、スキーム $U_i\times_k\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ を $U_{ij}$ 上の同型 $1+\epsilon\theta_{ij}$（の定めるスキームの同型）で貼り合わせる。コサイクル条件は貼り合わせの整合条件そのものであり、貼り合わせて得られるスキーム $X_\theta$ は $\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ 上局所的に自明なので平坦であり、$\epsilon$ を法として $X_0$ を与える（Har77 II 演習 2.12）。構成から $X_\theta$ のコサイクルは $(\theta_{ij})$ 自身である。
単射性。$X$、$X'$ のコサイクル $\theta$、$\theta'$ が同じ類をもつとする。自明化を取り替えて $\theta=\theta'$ としてよい。このとき $U_i$ 上の同型 $\psi_i'^{-1}\circ\psi_i\colon\mathcal{O}_X|_{U_i}\to\mathcal{O}_{X'}|_{U_i}$ は $U_{ij}$ 上で一致する（$\psi_j'^{-1}\psi_j=\psi_i'^{-1}(\psi_i'\psi_j'^{-1})(\psi_i\psi_j^{-1})^{-1}\psi_i=\psi_i'^{-1}\psi_i$）ので貼り合わさって変形の同型 $X\to X'$ を与える。
以上で $\mathrm{Def}_{X_0}(k[\epsilon])\to\check{H}^1(\mathfrak{U},T_{X_0})=H^1(X_0,T_{X_0})$ が全単射であることが示された。被覆の取り替えに関する自然性は、細分に沿ってコサイクルを制限すればよいことから従う。

$\alpha$ をそのような自己同型、$\{U_i\}$、$\psi_i$、$\theta_{ij}$ を thm-deformation-first-order の証明のとおりとする。$\psi_i\alpha^\sharp\psi_i^{-1}$ は $\mathcal{O}_{U_i}[\epsilon]$ の $\mathcal{O}_{U_i}$ 上恒等な自己同型なので $1+\epsilon\eta_i$（$\eta_i\in T_{X_0}(U_i)$）と書ける。$U_{ij}$ 上で
$$ 1+\epsilon\eta_j=\psi_j\alpha^\sharp\psi_j^{-1}=(\psi_j\psi_i^{-1})(\psi_i\alpha^\sharp\psi_i^{-1})(\psi_i\psi_j^{-1})=(1-\epsilon\theta_{ij})(1+\epsilon\eta_i)(1+\epsilon\theta_{ij})=1+\epsilon\eta_i $$
（lem-deformation-automorphism の合成則は可換）なので $\eta_i$ は貼り合わさって大域切断 $\eta\in H^0(X_0,T_{X_0})$ を与える。逆に $\eta$ から各 $U_i$ 上の自己同型 $\psi_i^{-1}(1+\epsilon\eta|_{U_i})\psi_i$ を作ると同じ計算で $U_{ij}$ 上一致し、貼り合わさって $X$ の自己同型を与える。合成が加法に対応することは補題の合成則による。