空間の平面と法線ベクトル

$x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$ なので、線形性から $f(x)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+x_3f(e_3)=n\cdot x$ である。一意性：$n\cdot x=n'\cdot x$ がすべての $x$ で成り立てば、$x=e_i$ として $n$ と $n'$ の第 $i$ 成分が一致する。$\square$

$n'=\lambda n$, $d'=\lambda d$ なら $n'\cdot x=d'\iff\lambda(n\cdot x-d)=0\iff n\cdot x=d$ である。
逆に $H:=H(n,d)=H(n',d')$ とする。$A:=\frac d{|n|^2}n$ は $n\cdot A=d$ を満たすので $A\in H$ である。$\lambda:=\frac{n\cdot n'}{|n|^2}$ とおき、$w:=n'-\lambda n$ とすると $n\cdot w=0$ である。すると $n\cdot(A+w)=d$ なので $A+w\in H$ であり、$A,A+w$ の両方が $H(n',d')$ に入るから $n'\cdot w=n'\cdot(A+w)-n'\cdot A=d'-d'=0$ である。よって
$$ |w|^2=w\cdot w=(n'-\lambda n)\cdot w=n'\cdot w-\lambda\,n\cdot w=0 $$
となり $w=0$、すなわち $n'=\lambda n$ である。$n'\ne0$ なので $\lambda\ne0$ であり、$d'=n'\cdot A=\lambda\,n\cdot A=\lambda d$ である。$\square$

$t:=\frac{n\cdot P-d}{|n|^2}$ とおくと $P_0=P-tn$ であり、$n\cdot P_0=n\cdot P-t|n|^2=d$ なので $P_0\in H$ である。$Q\in H$ なら $n\cdot(P_0-Q)=d-d=0$ なので、$P-P_0=tn$ と $P_0-Q$ は直交する。よって
$$ |P-Q|^2=|(P-P_0)+(P_0-Q)|^2=|P-P_0|^2+2t\,n\cdot(P_0-Q)+|P_0-Q|^2=|P-P_0|^2+|P_0-Q|^2 $$
である。右辺の第 2 項は $Q=P_0$ のときだけ 0 なので、最も近い点は $P_0$ だけである。最後に $|P-P_0|=|t||n|=\frac{|n\cdot P-d|}{|n|}$ である。$\square$

1：各成分 $a_ib_j-a_jb_i$ が $a$ についても $b$ についても線形であり、$a$ と $b$ を入れ替えると符号が変わる。$b=a$ とすれば $a\times a=-a\times a$ なので $a\times a=0$ である。
2：$(a\times b)\cdot c=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$ を展開すると Sarrus の 6 項に一致する。同じ計算で $(b\times c)\cdot a=\det(b,c,a)$ であり、これは巡回の入れ替えにより $\det(a,b,c)$ に等しい。$c=a$ または $c=b$ とすると行が重なるので $(a\times b)\cdot a=(a\times b)\cdot b=0$ である。
3：1 により両辺とも $a,b,c,d$ のそれぞれについて線形なので、$a=e_i$, $b=e_j$, $c=e_k$, $d=e_l$ の場合に示せば十分である（一般の場合は $a=\sum a_ie_i$ などを代入して展開すればよい）。右辺は $\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}$ である（$\delta_{ik}$ は $i=k$ なら $1$、それ以外は $0$）。$i=j$ または $k=l$ なら両辺とも $0$ である。$i\ne j$ かつ $k\ne l$ なら、$e_i\times e_j$ は $\{i,j\}$ に入らない番号 $m$ について $\pm e_m$ であり、$e_k\times e_l$ も同様である。左辺が $0$ でないのは $\{k,l\}=\{i,j\}$ のときだけで、$(k,l)=(i,j)$ なら左辺 $=1=$ 右辺、$(k,l)=(j,i)$ なら $e_j\times e_i=-e_i\times e_j$ から左辺 $=-1=$ 右辺である。$\{k,l\}\ne\{i,j\}$ なら右辺も $0$ である。後半は $c=a$, $d=b$ とし、$a\cdot b=|a||b|\cos\theta$ を代入すれば $|a\times b|^2=|a|^2|b|^2(1-\cos^2\theta)$ となる。平行四辺形の面積は底辺 $|a|$ と高さ $|b|\sin\theta$ の積である。
4：$b=0$ なら明らかである。$b\ne0$ なら $t:=\frac{a\cdot b}{|b|^2}$ とおくと、3 により
$$ |a-tb|^2=|a|^2-2t\,a\cdot b+t^2|b|^2=|a|^2-\frac{(a\cdot b)^2}{|b|^2}=\frac{|a\times b|^2}{|b|^2} $$
である。よって $a\times b=0$ なら $a=tb$ である。逆に一方が他方の実数倍なら、1 により $a\times b=0$ である。
5：任意の $d$ について、2（$x=a\times b$, $y=c$, $z=d$ として $(x\times y)\cdot z=x\cdot(y\times z)$）と 3 により
$$ \bigl((a\times b)\times c\bigr)\cdot d=(a\times b)\cdot(c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)=\bigl((a\cdot c)b-(b\cdot c)a\bigr)\cdot d $$
である。$d=e_1,e_2,e_3$ として成分が一致する。
6：$n:=a\times b$ は 4 により $0$ でない。5 により $n\times w=(a\cdot w)b-(b\cdot w)a=0$ なので、4 により $w=\lambda n$ となる $\lambda$ がある。$\square$

$n\ne0$ は thm-pnv-cross の 4 による。$n\cdot u=n\cdot v=0$ なので左辺は右辺に含まれる。逆に $x$ が右辺の点なら $w:=x-A$ は $n\cdot w=0$ を満たす。$\alpha,\beta$ についての連立方程式
$$ \alpha|u|^2+\beta\,u\cdot v=w\cdot u,\qquad \alpha\,u\cdot v+\beta|v|^2=w\cdot v $$
は係数の行列式が $|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2=|n|^2\ne0$（thm-pnv-cross の 3）なので解をもつ。$r:=w-\alpha u-\beta v$ とおくと $r\cdot u=r\cdot v=0$ なので、thm-pnv-cross の 6 により $r=\lambda n$ であり、$r\cdot n=w\cdot n=0$ から $\lambda|n|^2=0$、$r=0$ である。よって $x=A+\alpha u+\beta v$ は左辺に入る。面積は thm-pnv-cross の 3 の平行四辺形の半分である。$\square$

$n_1,n_2$ が平行でないので $u=n_1\times n_2\ne0$ である。まず交線を求める。$x=\alpha n_1+\beta n_2$ の形で $n_1\cdot x=d_1$, $n_2\cdot x=d_2$ を解く連立方程式は、係数の行列式が $|n_1|^2|n_2|^2-(n_1\cdot n_2)^2=|u|^2\ne0$ なので解をもつ。その点を $A$ とすると、$x\in H_1\cap H_2$ は $x-A$ が $n_1,n_2$ の両方に直交することと同値であり、thm-pnv-cross の 2・6 により $x-A=\lambda u$ と同値である。よって $H_1\cap H_2=\{A+\lambda u:\lambda\in\mathbb{R}\}$ は方向 $u$ の直線である。
$v_i=u\times n_i$ は $n_i$ と $u$ に直交するので（thm-pnv-cross の 2）、$A+sv_i$ は $H_i$ に含まれ、交線に垂直な直線である。Lagrange の恒等式と $u\cdot n_i=0$ から
$$ v_1\cdot v_2=(u\cdot u)(n_1\cdot n_2)-(u\cdot n_2)(n_1\cdot u)=|u|^2\,n_1\cdot n_2,\qquad |v_i|^2=|u|^2|n_i|^2 $$
である。辺々割れば主張を得る。$\square$

底面は $a,b$ の張る平行四辺形で、その面積は $|a\times b|$ である（thm-pnv-cross の 3）。底面を含む平面は $H(a\times b,0)$ であり（cor-pnv-three-points で $A=0$）、高さは点 $c$ とこの平面の距離なので、thm-pnv-distance により $\frac{|(a\times b)\cdot c|}{|a\times b|}$ である。積は $|(a\times b)\cdot c|=|\det(a,b,c)|$ である。$\square$

$w:=P-A$, $t_0:=\frac{w\cdot u}{|u|^2}$, $P_1:=A+t_0u$ とおくと $(P-P_1)\cdot u=w\cdot u-t_0|u|^2=0$ なので、thm-pnv-distance の証明と同じく $|P-(A+tu)|^2=|P-P_1|^2+(t-t_0)^2|u|^2$ であり、距離は $|P-P_1|$ である。$|P-P_1|^2=|w|^2-\frac{(w\cdot u)^2}{|u|^2}=\frac{|w\times u|^2}{|u|^2}$（thm-pnv-cross の 3）である。$\square$

左辺を $T(n,a)$ とおく。$a=0$ なら二項定理により $T(n,0)=(1-1)^n=0$ である。$a\ge1$ とする（このとき $n\ge2$）。$j\binom nj=n\binom{n-1}{j-1}$ を使い、$i=j-1$ とおいて $(i+1)^{a-1}$ を二項展開すると
$$ T(n,a)=\sum_{j=1}^n(-1)^jn\binom{n-1}{j-1}j^{a-1}=-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\binom{n-1}i(i+1)^{a-1}=-n\sum_{b=0}^{a-1}\binom{a-1}b\,T(n-1,b) $$
である。$b\le a-1< n-1$ なので、帰納法の仮定により右辺の各 $T(n-1,b)$ は $0$ である。$\square$

答は $3n$ である。
まず $3n$ 枚で足りる。平面 $x+y+z=k$（$k=1,2,\dots,3n$）はどれも原点を通らず、$S$ の点は $x+y+z$ が $1$ 以上 $3n$ 以下なので、どれかに乗る。
次に、$3n$ 枚より少なくできないことを示す。$m$ 枚の平面が条件を満たすとし、$m<3n$ と仮定する。$i$ 番目の平面を $a_ix+b_iy+c_iz=d_i$ とすると、原点を通らないので $d_i\ne0$ である。多項式
$$ P(x,y,z):=\prod_{i=1}^m(a_ix+b_iy+c_iz-d_i) $$
は $S$ の各点で $0$ になり、$P(0,0,0)=\prod_i(-d_i)\ne0$ である。$w(t):=(-1)^t\binom nt$ とおき、重み付きの和
$$ \Sigma:=\sum_{x=0}^n\sum_{y=0}^n\sum_{z=0}^n w(x)w(y)w(z)\,P(x,y,z) $$
を 2 通りに計算する。$P$ は原点以外で $0$ なので $\Sigma=w(0)^3P(0,0,0)=P(0,0,0)\ne0$ である。一方、$P$ を展開すると次数 $\alpha+\beta+\gamma\le m<3n$ の単項式 $x^\alpha y^\beta z^\gamma$ の定数倍の和であり、単項式ごとに和は
$$ \sum_{x,y,z}w(x)w(y)w(z)x^\alpha y^\beta z^\gamma=T(n,\alpha)\,T(n,\beta)\,T(n,\gamma) $$
と分かれる。$\alpha+\beta+\gamma<3n$ なので $\alpha,\beta,\gamma$ のどれかは $n$ より小さく、lem-pnv-alternating によってその因子が $0$ になる。よって $\Sigma=0$ となり矛盾する。したがって $m\ge3n$ である。$\square$