イデアル商
概要
イデアル商（ideal quotient）とは、可換環 $A$ のイデアル $I,J$ に対し、$aJ\subset I$ を満たす元 $a$ 全体のなすイデアル $(I:J)$ である。イデアル $K$ について $KJ\subset I$ と $K\subset(I:J)$ は同値であり、$(I:J)=\operatorname{Ann}_A((J+I)/I)$ と剰余加群の消滅イデアルとしても表され、$((I:J):K)=(I:JK)$ が成り立つ。$J$ が有限生成なら任意の乗法的集合による局所化と交換するが、無限生成なら交換が失敗する例があり、分子の和に対する分配則も一般には成り立たない。また $(I:f^\infty)$ は局所化 $A\to A_f$ による $IA_f$ の逆像として飽和を表す。
掛け算の条件をイデアルで表す
環の中で割り算ができなくても、「ある元を掛けると指定したイデアルに入る」という条件は意味をもつ。イデアル商は、その条件を満たす元をまとめたイデアルである。剰余環における零因子、加群の消滅、局所化による条件の変化、飽和などを、同じ記号で扱える。
以下、$A$ は単位元をもつ可換環とし、$I,J$ は $A$ のイデアルとする。$IJ$ は積 $ij$ の有限和からなる積イデアルである。$I/J$ という記号は $J\subset I$ の場合の商加群を表すために使い、これから定義するイデアル商と区別する。名称に商という語が含まれていても、二つのイデアルを割った剰余類の集合を作る操作ではない。
$I$ の $J$ によるイデアル商は
$$
(I:J)=\{a\in A\mid aJ\subset I\}
$$
である。元 $f\in A$ に対しては $(I:f)=(I:(f))$ と書く。
この集合はイデアルである。$aJ\subset I$、$bJ\subset I$ なら $(a+b)J\subset I$ であり、$c\in A$ に対して $(ca)J=c(aJ)\subset I$ となる。零元も条件を満たす。また $I\subset(I:J)$ である。$i\in I$ にどの $j\in J$ を掛けても $ij\in I$ だからである。従ってイデアル商は、元の $I$ を含むイデアルを作る操作となる。
とくに $(I:A)=I$、$(I:0)=A$、$(A:J)=A$ である。$J\subset I$ なら $(I:J)=A$ となり、逆に $(I:J)=A$ なら $1\in(I:J)$ だから $J\subset I$ である。このように境界の場合も定義だけで決まる。分母側に零イデアルを置いても、割り算のように未定義にはならない。
主イデアルによる商 $(I:f)$ は、元 $a$ を $f$ 倍すると $I$ に入るという条件である。一般の $J$ による商では、そのすべての元について同時に条件を満たす必要がある。「$J$ のどれか一つの非零元を掛ければよい」という存在条件ではない。この全称条件は、局所化との交換を調べる際に有限生成性が必要になる理由にもなる。
包含と積による特徴づけ
$K$ を $A$ のイデアルとすると
$$
KJ\subset I\quad\Longleftrightarrow\quad K\subset(I:J)
$$
が成り立つ。
$KJ\subset I$ とする。$k\in K$ と任意の $j\in J$ について $kj\in KJ\subset I$ なので $kJ\subset I$ であり、$k\in(I:J)$ となる。逆に $K\subset(I:J)$ とする。積イデアル $KJ$ の元は $k_1j_1+\cdots+k_rj_r$ と書ける。各 $k_i$ はイデアル商に入るので $k_ij_i\in I$ であり、その和も $I$ に入る。従って $KJ\subset I$ となる。
この性質から、$(I:J)$ は $J$ を掛けたとき $I$ に入るイデアルのうち最大のものである。候補を一つずつ探す代わりに、条件を満たす元をすべて集めたことが、最大性を保証している。積イデアルと包含の関係を反転して書き直す道具として理解できる。
包含に対する向きも決まる。$I\subset I'$ なら $(I:J)\subset(I':J)$ である。一方、$J\subset J'$ なら $(I:J')\subset(I:J)$ である。分母側のイデアルが大きいほど、満たさなければならない条件が増えるため、イデアル商は小さくなる。分数の大小を連想するより、全称条件を読み直す方が向きを間違えにくい。
任意の族 $\{I_\lambda\}$、$\{J_\mu\}$ とイデアル $J,K$ に対して
$$
\left(\bigcap_\lambda I_\lambda:J\right)=\bigcap_\lambda(I_\lambda:J),\qquad
\left(I:\sum_\mu J_\mu\right)=\bigcap_\mu(I:J_\mu),\qquad
((I:J):K)=(I:JK)
$$
が成り立つ。空の交わりは $A$、空の和は零イデアルとする。
第一の公式では、$aJ$ が交わりに含まれることは、すべての $\lambda$ について $aJ\subset I_\lambda$ となることと同じである。これを各イデアル商の定義に読み替えればよい。
第二の公式で、$a\sum_\mu J_\mu\subset I$ なら、各 $J_\mu$ は和に含まれるから $aJ_\mu\subset I$ となる。逆にすべての $\mu$ についてこの条件が成立するとする。和イデアルの一つの元は、有限個の添字に属する元の和で表せる。その各項を $a$ 倍すると $I$ に入るので、和のすべての元についても条件が成立する。無限族であっても、個々の元の和は有限であることを使っている。
第三の公式では、$a\in((I:J):K)$ は、すべての $k\in K$ について $ak\in(I:J)$ となる条件である。これはすべての $k\in K$、$j\in J$ に対して $akj\in I$ となることを意味する。その有限和にも同じ条件が成立するので $aJK\subset I$ と同値であり、$(I:JK)$ が得られる。空族については最初に述べた $(A:J)=A$ と $(I:0)=A$ に一致する。
この公式のうち第二のものは、$J=(f_1,\ldots,f_r)$ の場合に
$$
(I:J)=\bigcap_{i=1}^r(I:f_i)
$$
となることを含む。有限生成イデアルでは、生成元ごとの条件を有限個確認すれば十分である。計算の際には、全元にわたる定義をこの形に置き換えると扱いやすい。
ただし分子側の和について同様の等式は一般には成り立たない。各 $aJ$ の元が $I+I'$ に入っても、$a$ 自身を二つのイデアル商の元の和に分けられるとは限らない。この違いを、後で具体的な多項式の反例として示す。
剰余環の消滅イデアル
加群 $M$ の消滅イデアルは $\operatorname{Ann}_A(M)=\{a\in A\mid aM=0\}$ である。イデアル商は、この消滅条件を剰余環の中で表したものでもある。$A/I$ で $J$ の像がすべて零になるような係数を探している。
任意のイデアル $I,J$ について
$$
(I:J)=\operatorname{Ann}_A((J+I)/I)
$$
が成り立つ。特に $I\subset J$ なら $(I:J)=\operatorname{Ann}_A(J/I)$ である。
加群 $(J+I)/I$ の各元は、ある $j\in J$ を用いて $j+I$ と書ける。$a\in A$ がこれらをすべて零にすることは、すべての $j\in J$ について $aj\in I$ となることであり、イデアル商の定義と一致する。$I\subset J$ の場合は $J+I=J$ なので後半が従う。
元 $f$ に対するイデアル商は、乗法写像の核を直接記述する。$A/I$ 上の $f$ 倍写像
$$
\mu_f:A/I\longrightarrow A/I,\qquad a+I\longmapsto fa+I
$$
を考えると、その核は $(I:f)/I$ である。従って $\mu_f$ が単射であることと $(I:f)=I$ であることは同値である。剰余環が非零なら、これは $f+I$ が $A/I$ 上の非零因子であることを表す。
また、この写像の像は $(fA+I)/I$、余核は $A/(I+(f))$ である。そのため次の完全列が得られる。
$$
0\longrightarrow (I:f)/I\longrightarrow A/I\xrightarrow{\mu_f}A/I\longrightarrow A/(I+(f))\longrightarrow0.
$$
左の写像は包含、右の写像はさらに商を取る写像である。核と像を上の表示で確認すれば、各箇所の完全性が分かる。イデアル商は、掛け算の失敗を記録する核として現れている。
この説明は、正則列を調べる際にも有用である。$f_1,\ldots,f_r$ を順に商に移すとき、各段階で $f_i$ が非零因子かどうかは
$$
((f_1,\ldots,f_{i-1}):f_i)=(f_1,\ldots,f_{i-1})
$$
によって判定できる。ただし正則列の定義には最後の商が非零となる条件も含めるので、この等式だけでその条件まで置き換えるわけではない。零加群上の単射性と、非零加群上の非零因子性を区別する。
多項式での具体的な計算
以下の多項式の例では $k$ を体とする。
$A=k[x]$、$I=(x^n)$、$f=x^r$ とする。$n,r$ は非負整数であり、$x^0=1$ とする。このとき
$$
((x^n):x^r)=(x^{\max\{n-r,0\}}).
$$
実際、$r\geq n$ なら任意の多項式の $x^r$ 倍が $x^n$ で割り切れるのでイデアル商は $A$ となる。$r< n$ なら、$a x^r$ が $x^n$ で割り切れることと $a$ が $x^{n-r}$ で割り切れることは同値である。ここでは多項式の次数の最低項を比較すればよい。$n=0$ の場合も $I=A$ なので式に一致する。
$A=k[x,y]$、$I=(x^2,xy)$ とすると
$$
(I:x)=(x,y),\qquad (I:y)=(x),\qquad (I:(x,y))=(x).
$$
$I=x(x,y)$ なので、$ax\in I$ となることは整域で $x$ を約分して $a\in(x,y)$ となることと同値である。次に $ay\in I\subset(x)$ なら、商 $A/(x)=k[y]$ で $\overline a y=0$ となる。この商は整域で $y\neq0$ なので $\overline a=0$、従って $a\in(x)$ である。逆に $a\in(x)$ なら $ay\in(xy)\subset I$ となる。最後は生成元による交わりの公式から $(x,y)\cap(x)=(x)$ となる。
この例を $A/I$ で見ると、$x$ は零因子であり、その消滅イデアルは $(x,y)/I$ である。$y$ も $x$ を零にする。元の多項式環は整域でも、商を取れば掛け算の核が生まれる。この核を元の環に引き戻して書いたものがイデアル商である。
$A=k[x,y]$、$I=(x)$ とする。このとき $(I:y)=I$ である。
剰余環 $A/I=k[y]$ で $y$ 倍が単射だからである。あるいは $ay\in(x)$ を $x=0$ で評価して $a(0,y)y=0$ とし、整域性から $a(0,y)=0$ を得てもよい。同じ記号 $(I:y)$ でも、分子を $(x^2,xy)$ から $(x)$ に変えると、零因子としての振る舞いが変わる。
局所化との交換と有限生成性
イデアル商の条件を局所的に調べるため、乗法的集合 $S\subset A$ による局所化を考える。$S^{-1}I$ と $S^{-1}J$ は $S^{-1}A$ のイデアルである。常に
$$
S^{-1}(I:J)\subset (S^{-1}I:S^{-1}J)
$$
となる。$aJ\subset I$ の条件を局所化すれば、そのまま右側の条件になるからである。逆向きには、各元で必要になる分母をまとめる問題がある。
$J$ が有限生成なら、任意の乗法的集合 $S$ について
$$
S^{-1}(I:J)=(S^{-1}I:S^{-1}J)
$$
が成り立つ。$A$ のNoether性そのものは不要である。
上で述べた包含の逆を示す。$J=(f_1,\ldots,f_r)$ とし、$a/s$ が右辺に入るとする。各 $i$ について $(a/s)(f_i/1)$ は $S^{-1}I$ に入る。局所化におけるイデアル所属の判定により、ある $t_i\in S$ が存在して $t_i a f_i\in I$ となる。
$t=t_1\cdots t_r$ とおくと、各 $i$ について $taf_i\in I$ である。従って生成元による条件から $taJ\subset I$、すなわち $ta\in(I:J)$ となる。局所化環の中で $a/s=(ta)/(ts)$ だから、この元は $S^{-1}(I:J)$ に入る。$J=0$ の場合は両辺とも $S^{-1}A$ であり、空の積を $1$ として同じ議論に含められる。
証明で使った有限性は、分母を有限個掛け合わせて一つにできることである。$J$ の生成元が無限個になると、各生成元を処理する元 $t_i$ があっても、それら全部を同時に処理する $t$ が存在するとは限らない。局所化が有限個の条件とはよく交換しても、無限個の条件との交換までは保証しない。
$A=\mathbb Z$、$I=0$ のイデアル商だけを考えると有限生成性の問題は見えない。これに対し、無限個の冪零方向をもつ環では交換が実際に失敗する。
$M=\bigoplus_{n\geq1}\mathbb Z/2^n\mathbb Z$ とし、環 $A=\mathbb Z\oplus M$ に
$$
(a,m)(b,n)=(ab,an+bm)
$$
という積を入れる。$J=0\oplus M$、$I=0$、$S=\{(2^r,0)\mid r\geq0\}$ とする。このとき
$$
S^{-1}(0:J)=0,\qquad (S^{-1}0:S^{-1}J)=S^{-1}A\neq0.
$$
この積は可換で、単位元は $(1,0)$ である。結合性は三つの元を掛けたときの第二成分が $ab\ell+acn+bcm$ となることから確認できる。$J$ は積が零のイデアルである。
$(a,m)$ が $J$ を消滅させることは、整数 $a$ が $M$ のすべてを消滅させることと同値である。これは $a$ がすべての $2^n$ で割り切れることを意味するため $a=0$ に限られる。一方、第二成分 $m$ は $J$ との積に寄与しない。従って $(0:J)=J$ である。
$M$ の一つの元は有限個の成分にしか台をもたず、ある $2^r$ で零になる。従って $S^{-1}M=0$ であり、$S^{-1}J=0$ となる。局所化環は $S^{-1}A\cong\mathbb Z[1/2]$ であり、非零である。左辺は $S^{-1}J=0$、右辺は零イデアルによる商なので環全体となる。
また $J$ は有限生成ではない。$A$ による $M$ の作用は整数による作用と同じで、有限個の元が生成する部分加群は、それらの元が支える有限個の直和成分にとどまる。全ての成分を生成できない。従って反例は、定理の分母イデアルの有限生成性を明確に破っている。
この構成では、各成分は局所化で消えるが、それらを元の環で一度に消す非零整数はない。元ごとの消滅と、加群全体に対する一様な消滅の差が、イデアル商と局所化の非交換として現れる。平方零イデアルを用いた環は、このような一様性の欠如を具体化するためにも役立つ。
飽和と局所化からの逆像
元 $f\in A$ を固定する。$(I:f)\subset(I:f^2)\subset\cdots$ は増大列である。$af^n\in I$ なら $af^{n+1}\in I$ だからである。その合併
$$
(I:f^\infty)=\bigcup_{n\geq0}(I:f^n)
$$
を $f$ による飽和と呼ぶ。$n=0$ の項は $I$ である。増大するイデアルの合併なので、和や環の元による積について閉じ、イデアルとなる。
$A_f$ を $f$ の冪で局所化した環とする。自然写像 $A\to A_f$ による $IA_f$ の逆像は $(I:f^\infty)$ である。
$a/1\in IA_f$ となることは、ある $n\geq0$ で $f^na\in I$ となることと同値である。これは局所化におけるイデアル所属の条件である。従って逆像に属することは、いずれかの $(I:f^n)$ に属することと同値であり、合併が得られる。$f$ が冪零で $A_f=0$ となる場合も、十分大きい $n$ で $f^na=0\in I$ となるから、両辺とも $A$ になる。
$A$ がNoetherなら、この増大列はある $N$ で安定する。従って $(I:f^\infty)=(I:f^N)$ となる。Noether性は無限の存在条件を有限の一つの段階で処理するために使われている。一般の環では、各元がある段階で入ることから、全イデアルが一つの段階で得られるとは結論できない。
先の $I=(x^2,xy)$ を $x$ で飽和すると、$x^2\in I$ なので全環になる。一方、$y$ による飽和は $(x)$ となる。$(I:y)=(x)$ であり、$(x):y=(x)$ だからである。局所化したとき $x$ が可逆になる場合と、$y$ が可逆になる場合とで、残るイデアルが異なる。
この計算は、飽和が形式的な記号操作ではなく、指定した元を逆にした場所で何が残るかを表すことを示している。ただしイデアル商 $(I:f)$ は一回の掛け算の条件であり、飽和 $(I:f^\infty)$ は何回か掛ければよいという存在条件である。二つを混同すると、局所化から逆像したイデアルを過小に計算する。
分子の和とは一般に交換しない
$A=k[x,y]$、$I=(x)$、$I'=(y)$、$J=(x+y)$ とする。このとき
$$
(I+I':J)=A,\qquad (I:J)+(I':J)=(x,y)\neq A.
$$
$x+y\in I+I'$ なので $J\subset I+I'$ であり、左辺は $A$ である。次に $a(x+y)\in(x)$ なら、$x=0$ として $a(0,y)y=0$ となる。$k[y]$ は整域なので $a(0,y)=0$、従って $a\in(x)$ である。逆向きはイデアル性から従うため $(I:J)=(x)$ となる。同様に $y=0$ として $(I':J)=(y)$ を得る。右辺は $(x,y)$ であり、定数 $1$ を含まない真のイデアルである。
常に $(I:J)+(I':J)\subset(I+I':J)$ という包含はあるが、等号は上の例で失敗する。生成元 $x+y$ が和イデアルに入ることと、その生成元を掛けた後の条件を元ごとに分解できることは違う。正しい公式は分子の交わりと分母の和に対するものであり、どの場所に和や交わりが置かれているかを確かめる必要がある。
| 外す条件・誤った等式 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 局所化定理の $J$ の有限生成性 | $A=\mathbb Z\oplus\bigoplus_n\mathbb Z/2^n\mathbb Z$ の平方零イデアル | 局所化後のイデアル商が全環でも、元のイデアル商の局所化は零になる |
| 分子の和にも分配するという追加主張 | $(x)$、$(y)$、$(x+y)$ | 和のイデアル商が $A$、個々のイデアル商の和が $(x,y)$ になる |
記号を使う際の確認点
計算を始めるときは、イデアル商を取る環を明示する。同じ生成元の式でも、多項式環、その局所化、剰余環では条件が変わりうる。剰余環の零因子性を調べるために元の環のイデアル商を使う場合は、最後に $I$ で割った $(I:f)/I$ が乗法写像の核になっていることを確認する。
次に、条件がすべての元にわたるのか、ある冪について成立すればよいのかを分ける。$(I:J)$ は $J$ のすべての元に対する条件である。$(I:f^\infty)$ は、元 $a$ ごとにある冪が存在するという条件である。この二つの量化が混ざると、局所化との交換や無限生成イデアルの処理で誤りが生じる。
最後に、等式を主張する場合には両方向を確かめる。積との随伴性や交わりの公式は定義から両方向が出る。局所化との交換では片方向は無条件でも、逆方向に有限生成性が必要である。分子の和では自然な包含を等式へ強めること自体が失敗する。イデアル商は、こうした仮定と量化を環の計算の中で見える形にする道具である。
関連項目
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