Navier–Stokes方程式
概要
Navier–Stokes方程式（Navier–Stokes equations）とは、粘性をもつ非圧縮性の流体の速度 $u$ と圧力 $p$ が満たす偏微分方程式系 $\partial_tu+(u\cdot\nabla)u=\nu\Delta u-\nabla p+f$、$\operatorname{div}u=0$ である。圧力は速度から Poisson 方程式で決まり、トーラス上の滑らかな解はエネルギー等式を満たして一意である。2 次元では渦度の方程式からエンストロフィーが減少する。3 次元で滑らかな解が時間大域的に存在するかどうかは未解決で、Clay 数学研究所のミレニアム懸賞問題の 1 つである。
前提知識: 偏微分方程式, ベクトル解析, 熱方程式, Grönwallの不等式
Navier–Stokes 方程式（Navier–Stokes equations）は、粘性をもつ非圧縮性の流体の運動を表す偏微分方程式系
$$
\partial_tu+(u\cdot\nabla)u=\nu\Delta u-\nabla p+f,\qquad\operatorname{div}u=0
$$
である。未知関数は流体の速度 $u(x,t)\in\mathbb{R}^n$ と圧力 $p(x,t)\in\mathbb{R}$、$\nu>0$ は粘性係数、$f$ は外力で、空間の次元は $n=2$ または $3$ が主に考えられる。第 1 式は流体の各部分についての Newton の運動法則で、第 2 式は流体が圧縮されないことを表す。$\nu=0$ とした方程式は Euler 方程式（非粘性の流体の方程式）である（CJW06 C. Fefferman「Existence and Smoothness of the Navier–Stokes Equation」p. 57）。
2 次元では、滑らかな初期値から出発した解が時間大域的に滑らかなままであることが古くから知られている。一方 3 次元では、滑らかで減衰の速い初期値から出発した解が永久に滑らかであり続けるかどうかが分かっておらず、この問いは Clay 数学研究所のミレニアム懸賞問題の 1 つになっている（CJW06 pp. 58–59）。この記事では、方程式の形と圧力の役割、厳密解の例、尺度変換とエネルギー等式、滑らかな解の一意性、渦度の方程式と 2 次元のエンストロフィーの減少を証明し、懸賞問題の主張と知られている部分的な結果を述べる。
方程式と記号
$\Omega$ は $\mathbb{R}^n$ か、周期 $2\pi$ のトーラス $\mathbb{T}^n:=\mathbb{R}^n/(2\pi\mathbb{Z})^n$ とする。$\mathbb{T}^n$ 上の関数とは、各変数について周期 $2\pi$ の $\mathbb{R}^n$ 上の関数のことで、$\int_{\mathbb{T}^n}$ は $[0,2\pi]^n$ での積分を表す。ベクトル場 $u=(u_1,\dots,u_n)$、$v$ について
$$
\bigl((u\cdot\nabla)v\bigr)_i:=\sum_{j=1}^nu_j\,\partial_jv_i,\qquad|\nabla u|^2:=\sum_{i,j}(\partial_ju_i)^2,\qquad\|u\|^2:=\int_\Omega|u|^2dx
$$
と書く。$\Delta u$ は成分ごとの Laplacian である。
$\nu>0$、$0< T\le\infty$ とし、$u_0$ を $\Omega$ 上の滑らかなベクトル場で $\operatorname{div}u_0=0$ を満たすもの、$f$ を $\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかなベクトル場とする。$\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかなベクトル場 $u$ と滑らかな関数 $p$ の組が
$$
\partial_tu+(u\cdot\nabla)u=\nu\Delta u-\nabla p+f,\qquad\operatorname{div}u=0,\qquad u(\cdot,0)=u_0
$$
を満たすとき、$(u,p)$ を初期値 $u_0$ の Navier–Stokes 方程式の 古典解（滑らかな解）という。$\Omega=\mathbb{T}^n$ のときは $u,p$ も空間について周期的とする。
圧力 $p$ は運動方程式の中に勾配としてだけ現れ、$p$ に時間だけの関数を足しても解である。圧力は独立な未知関数というより、速度場が $\operatorname{div}u=0$ を保つように決まる量である（prop-ns-pressure）。
密度を $1$ とする。流体の各部分にはたらく力は、外力 $f$ と、周囲から面を通して受ける応力である。速度の勾配に比例する摩擦を表す Newton 流体 の応力テンソルは $\sigma_{ij}=-p\,\delta_{ij}+\nu(\partial_ju_i+\partial_iu_j)$ で、Newton の運動法則は $\frac{D u}{Dt}=\operatorname{div}\sigma+f$ と書ける。ここで $\frac{Du}{Dt}=\partial_tu+(u\cdot\nabla)u$ は流れに乗って動く点から見た加速度（物質微分）である。成分で計算すると
$$
\sum_j\partial_j\bigl(\partial_ju_i+\partial_iu_j\bigr)=\Delta u_i+\partial_i(\operatorname{div}u)
$$
なので、$\operatorname{div}u=0$ のもとで $\operatorname{div}\sigma=-\nabla p+\nu\Delta u$ となり、Navier–Stokes 方程式が得られる。$\operatorname{div}u=0$ は、流れに沿って動く領域の体積が変わらないことと同値な条件である。
圧力の方程式
$(u,p)$ を古典解とすると、
$$
-\Delta p=\sum_{i,j=1}^n\partial_i\partial_j(u_iu_j)-\operatorname{div}f
$$
が成り立つ。$\Omega=\mathbb{T}^n$ なら、各時刻で $p$ はこの方程式から定数の差を除いて決まる。
$\operatorname{div}u=0$ から $\sum_j\partial_j(u_ju_i)=\sum_ju_j\partial_ju_i+u_i\operatorname{div}u=((u\cdot\nabla)u)_i$ なので、$\operatorname{div}\bigl((u\cdot\nabla)u\bigr)=\sum_{i,j}\partial_i\partial_j(u_iu_j)$ である。運動方程式の発散をとると、$\operatorname{div}\partial_tu=\partial_t\operatorname{div}u=0$、$\operatorname{div}\Delta u=\Delta\operatorname{div}u=0$ なので主張の式が出る。
一意性：$p_1,p_2$ が同じ式を満たす周期関数なら、$h:=p_1-p_2$ は $\Delta h=0$ を満たす滑らかな周期関数である。$h$ に掛けて $\mathbb{T}^n$ で部分積分すると $\int|\nabla h|^2dx=-\int h\,\Delta h\,dx=0$（周期性から境界の項は出ない）なので $\nabla h=0$ であり、$h$ は定数である。$\square$
この式から、$p$ は $u$ の 2 次式に Laplacian の逆を施したものとして $u$ から決まる。運動方程式の右辺から $-\nabla p$ を除く操作は、ベクトル場を発散が $0$ の部分と勾配の部分に分け、前者を取り出す射影（Leray 射影）$P$ で書ける。この射影を使うと方程式は圧力を含まない形 $\partial_tu=\nu\Delta u-P\bigl[(u\cdot\nabla)u\bigr]+Pf$ になる（Tao15 §1.1、pp. 2–3）。
厳密解の例
非線形項 $(u\cdot\nabla)u$ が圧力の勾配で打ち消される場合には、方程式を具体的に解くことができる。以下 $f=0$ とする。
$n\ge2$ とし、$U(y,t)$ が 1 次元の熱方程式 $U_t=\nu U_{yy}$ の滑らかな解なら、$u(x,t):=(U(x_2,t),0,\dots,0)$、$p:=0$ は古典解である。実際、$\operatorname{div}u=\partial_1U(x_2,t)=0$ で、$(u\cdot\nabla)u=U\,\partial_1U\,e_1=0$ なので、方程式は $U_t=\nu U_{x_2x_2}$ になる。たとえば $U=e^{-\nu k^2t}\sin(kx_2)$（$k\in\mathbb{Z}$）は $\mathbb{T}^n$ 上の解を与える。層が互いに滑り合う流れで、粘性によって速度の差がならされていく。
$n=2$、$\Omega=\mathbb{T}^2$ とし、$F(t):=e^{-2\nu t}$、
$$
u=F(t)\,(\sin x_1\cos x_2,\ -\cos x_1\sin x_2),\qquad p=\frac{F(t)^2}4\,(\cos2x_1+\cos2x_2)
$$
とおく。$\operatorname{div}u=F(\cos x_1\cos x_2-\cos x_1\cos x_2)=0$ で、各成分は $\Delta u=-2u$ を満たすので $\partial_tu-\nu\Delta u=-2\nu u+2\nu u=0$ である。非線形項は
$$
((u\cdot\nabla)u)_1=F^2\bigl(\sin x_1\cos x_1\cos^2x_2+\sin x_1\cos x_1\sin^2x_2\bigr)=\tfrac{F^2}2\sin2x_1
$$
で、同様に $((u\cdot\nabla)u)_2=\frac{F^2}2\sin2x_2$ であり、$\partial_1p=-\frac{F^2}2\sin2x_1$、$\partial_2p=-\frac{F^2}2\sin2x_2$ とちょうど打ち消し合う。よって $(u,p)$ は古典解で、渦の模様を保ったまま $e^{-2\nu t}$ で減衰する。
$n=3$、$\Omega=\mathbb{T}^3$、$A,B,C\in\mathbb{R}$ とし、
$$
u=e^{-\nu t}\bigl(A\sin x_3+C\cos x_2,\ B\sin x_1+A\cos x_3,\ C\sin x_2+B\cos x_1\bigr),\qquad p=-\tfrac12|u|^2
$$
とおく（ABC 流と呼ばれる）。成分ごとに確かめると $\operatorname{div}u=0$、$\operatorname{curl}u=u$、$\Delta u=-u$ である。たとえば $(\operatorname{curl}u)_1=\partial_2u_3-\partial_3u_2=e^{-\nu t}(C\cos x_2+A\sin x_3)=u_1$ である。ベクトル解析の恒等式 $(u\cdot\nabla)u=\nabla\bigl(\tfrac12|u|^2\bigr)-u\times\operatorname{curl}u$（$(u\times\operatorname{curl}u)_i=\sum_ju_j\partial_iu_j-\sum_ju_j\partial_ju_i$ を成分で確かめればよい）と $u\times u=0$ から $(u\cdot\nabla)u=\nabla(\frac12|u|^2)=-\nabla p$ となり、$\partial_tu-\nu\Delta u=-\nu u+\nu u=0$ と合わせて $(u,p)$ は古典解である。
尺度変換と臨界性
$\Omega=\mathbb{R}^n$、$f=0$ とし、$(u,p)$ を $\mathbb{R}^n\times[0,T)$ 上の古典解とする。$\lambda>0$ について
$$
u_\lambda(x,t):=\lambda\,u(\lambda x,\lambda^2t),\qquad p_\lambda(x,t):=\lambda^2p(\lambda x,\lambda^2t)
$$
とおくと、$(u_\lambda,p_\lambda)$ は $\mathbb{R}^n\times[0,T/\lambda^2)$ 上の古典解で、初期値は $\lambda u_0(\lambda x)$ である。また $1\le q<\infty$ について
$$
\|u_\lambda(\cdot,t)\|_{L^q}=\lambda^{1-n/q}\,\|u(\cdot,\lambda^2t)\|_{L^q}
$$
である。
連鎖律から $\partial_tu_\lambda$、$(u_\lambda\cdot\nabla)u_\lambda$、$\Delta u_\lambda$、$\nabla p_\lambda$ はいずれも、$u$ についての対応する量を点 $(\lambda x,\lambda^2t)$ で評価して $\lambda^3$ を掛けたものであり、$\operatorname{div}u_\lambda$ は $\operatorname{div}u$ の値の $\lambda^2$ 倍である。よって方程式は保たれる。ノルムは $y=\lambda x$ と置換すると $\int|u_\lambda|^qdx=\lambda^q\lambda^{-n}\int|u(y,\lambda^2t)|^qdy$ である。$\square$
この変換で値の変わらないノルム（臨界 なノルム）は $q=n$ の $L^n$ ノルムである。速度の空間変化の小さな尺度（$\lambda$ の大きい側）を見ると、運動エネルギー $\frac12\|u\|^2$ は $n=3$ では $\lambda^{-1}$ 倍に小さくなる。つまり、エネルギーが有界であることは小さな尺度での解の大きさをほとんど制御しない。この状況を、方程式はエネルギーについて 超臨界（supercritical）であるという。初期値が臨界なノルムで小さければ解は時間大域的に存在するが、エネルギー等式（下の thm-ns-energy）と調和解析の評価を組み合わせるだけでは一般の大域的な正則性は示せない、と専門家は長く考えてきた（Tao15 §1.1、pp. 4–5）。$n=2$ では運動エネルギーが尺度変換で不変（臨界）であり、これが 2 次元と 3 次元の違いの一つの現れである。
エネルギー等式
以下この節と次の節では $\Omega=\mathbb{T}^n$ とする。周期関数の部分積分では境界の項が現れないことを繰り返し使う。
$u,v$ を $\mathbb{T}^n$ 上の滑らかなベクトル場とし、$\operatorname{div}u=0$ とする。このとき
$$
\int_{\mathbb{T}^n}\bigl((u\cdot\nabla)v\bigr)\cdot v\,dx=0
$$
である。また、滑らかな周期関数 $q$ について $\int\nabla q\cdot u\,dx=0$ であり、$\int\Delta v\cdot v\,dx=-\int|\nabla v|^2dx$ である。
$\bigl((u\cdot\nabla)v\bigr)\cdot v=\sum_ju_j\,\partial_j\bigl(\tfrac12|v|^2\bigr)=\operatorname{div}\bigl(\tfrac12|v|^2u\bigr)-\tfrac12|v|^2\operatorname{div}u$ で、第 2 項は $0$、周期的なベクトル場の発散の積分は $0$ である。残りの 2 つも部分積分で $\int\nabla q\cdot u=-\int q\operatorname{div}u=0$、$\int\partial_j^2v_i\,v_i=-\int(\partial_jv_i)^2$ となる。$\square$
$(u,p)$ を $\mathbb{T}^n\times[0,T)$ 上の古典解とする。すべての $0\le t< T$ について
$$
\frac12\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u(s)\|^2ds=\frac12\|u_0\|^2+\int_0^t\!\!\int_{\mathbb{T}^n}f\cdot u\,dx\,ds
$$
が成り立つ。ここで $\|\nabla u\|^2=\int|\nabla u|^2dx$ である。とくに $f=0$ なら $\|u(t)\|$ は単調に減少する。
$u$ は $\mathbb{T}^n\times[0,t]$ で滑らかなので積分の中で微分でき、運動方程式と $u$ の内積をとって積分すると
$$
\frac{d}{dt}\frac12\|u\|^2=\int u\cdot\partial_tu\,dx=-\int\bigl((u\cdot\nabla)u\bigr)\cdot u-\int\nabla p\cdot u+\nu\int\Delta u\cdot u+\int f\cdot u
$$
である。lem-ns-cancel により右辺は $-\nu\|\nabla u\|^2+\int f\cdot u$ になる。$0$ から $t$ まで積分すればよい。$\square$
粘性による摩擦は運動エネルギーを熱に変えて失わせ、その割合が $\nu\|\nabla u\|^2$ である。非線形項はエネルギーを大きな尺度から小さな尺度へ移すが、全体の量は変えない。これが lem-ns-cancel の意味である。
$f=0$ とし、$(u,p)$ を $\mathbb{T}^n\times[0,T)$ 上の古典解とする。空間平均 $\bar u:=(2\pi)^{-n}\int u\,dx\in\mathbb{R}^n$ は時間によらず、
$$
\|u(t)-\bar u\|\le e^{-\nu t}\,\|u_0-\bar u\|\qquad(0\le t< T)
$$
である。
要点：非線形項と圧力の項は発散の形なので平均は保存され、平均 $0$ の部分には $\|\nabla v\|\ge\|v\|$ が使えて、エネルギー等式から指数減衰が出る。
詳しい証明を開く
prf-ns-pressure の最初の計算から $((u\cdot\nabla)u)_i=\sum_j\partial_j(u_ju_i)$ で、周期関数の微分の積分は $0$ なので、$\frac{d}{dt}\int u_i\,dx=\int\bigl(-\sum_j\partial_j(u_ju_i)-\partial_ip+\nu\Delta u_i\bigr)dx=0$ である。
$v:=u-\bar u$ は平均 $0$ で、$\|u\|^2=\|v\|^2+(2\pi)^n|\bar u|^2$、$\nabla u=\nabla v$ である。平均 $0$ の滑らかな周期関数 $g$ について $\int|g|^2\le\int|\nabla g|^2$ を示す。$A_jg$ を $g$ の変数 $x_1,\dots,x_j$ についての平均（$[0,2\pi]^j$ で積分して $(2\pi)^{-j}$ 倍したもの）とし、$A_0g=g$ とすると、$A_ng=0$ なので $g=\sum_{j=1}^nh_j$、$h_j:=A_{j-1}g-A_jg$ である。$h_j$ は他の変数を止めるたびに $x_j$ について平均 $0$ なので、Wirtingerの不等式(周期関数) の定理「周期関数の Wirtinger の不等式」から $\int|h_j|^2\le\int|\partial_jh_j|^2$ である。$A_jg$ は $x_j$ によらないので $\partial_jh_j=A_{j-1}\partial_jg$ で、平均をとる操作は $L^2$ ノルムを増やさない（Cauchy–Schwarz の不等式）から $\int|\partial_jh_j|^2\le\int|\partial_jg|^2$ である。また $j< k$ なら $h_k$ は $x_1,\dots,x_j$ によらず、$h_j$ は $x_j$ について平均 $0$ なので $\int h_jh_k=0$ である。よって
$$\int|g|^2dx=\sum_j\int|h_j|^2dx\le\sum_j\int|\partial_jg|^2dx=\int|\nabla g|^2dx$$
である。これを $v$ の各成分に当てて thm-ns-energy を使うと、$\frac{d}{dt}\frac12\|v\|^2=\frac{d}{dt}\frac12\|u\|^2=-\nu\|\nabla v\|^2\le-\nu\|v\|^2$ なので、Grönwallの不等式 の定理「微分形の評価」により $\|v(t)\|^2\le e^{-2\nu t}\|v(0)\|^2$ である。$\square$
ex-ns-abc では $\bar u=0$、$\|u(t)\|=e^{-\nu t}\|u_0\|$ なので、この減衰の速さは改良できない。
滑らかな解の一意性
$(u,p)$ と $(v,p')$ を、同じ初期値 $u_0$ と同じ外力 $f$ に対する $\mathbb{T}^n\times[0,T)$ 上の古典解とする。このとき $u=v$ であり、$p-p'$ は時間だけの関数である。
$w:=u-v$、$q:=p-p'$ とおく。2 つの運動方程式の差をとると、$(u\cdot\nabla)u-(v\cdot\nabla)v=(u\cdot\nabla)w+(w\cdot\nabla)v$ なので
$$
\partial_tw+(u\cdot\nabla)w+(w\cdot\nabla)v=\nu\Delta w-\nabla q,\qquad\operatorname{div}w=0,\qquad w(\cdot,0)=0
$$
である。$T'< T$ を固定し、$K:=\max\{|\nabla v(x,t)|: x\in\mathbb{T}^n,\ 0\le t\le T'\}$ とおく（連続関数のコンパクト集合上の最大値）。$w$ との内積をとって積分すると、lem-ns-cancel により $(u\cdot\nabla)w$、$\nabla q$ の項は消え、
$$
\frac{d}{dt}\frac12\|w\|^2+\nu\|\nabla w\|^2=-\int\sum_{i,j}w_j\,\partial_jv_i\,w_i\,dx\le K\|w\|^2
$$
である（Cauchy–Schwarz の不等式で $|\sum_{i,j}w_j\partial_jv_iw_i|\le|\nabla v|\,|w|^2$）。$y(t):=\|w(t)\|^2$ は $y'\le2Ky$、$y(0)=0$ を満たすので、Grönwallの不等式 の定理「微分形の評価」により $[0,T']$ で $y=0$ である。$T'$ は任意なので $u=v$ である。すると運動方程式の差から $\nabla q=0$ で、$q$ は時間だけの関数である。$\square$
この一意性の証明は、$v$ の勾配が有界であることを使っている。懸賞問題で問われているのは、まさにこのような滑らかさが時間大域的に保たれるかどうかである。
渦度の方程式
速度場の回転 $\omega:=\operatorname{curl}u$ を 渦度（vorticity）という。$n=2$ では $\omega:=\partial_1u_2-\partial_2u_1$ をスカラーとして扱う。渦度の方程式には圧力が現れない。
$(u,p)$ を $f=0$ の古典解とする。
- $n=3$ なら $\partial_t\omega+(u\cdot\nabla)\omega=(\omega\cdot\nabla)u+\nu\Delta\omega$ である。
- $n=2$ なら $\partial_t\omega+(u\cdot\nabla)\omega=\nu\Delta\omega$ である。
要点：勾配の回転は $0$ なので圧力が消え、非線形項の回転を $\operatorname{div}u=0$ を使って整理する。
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2．第 2 成分の方程式に $\partial_1$ を、第 1 成分の方程式に $\partial_2$ を当てて引く。圧力の項は $\partial_1\partial_2p-\partial_2\partial_1p=0$ で消え、時間微分と粘性の項はそのまま $\partial_t\omega$ と $\nu\Delta\omega$ になる。非線形項は
$$\partial_1\bigl((u\cdot\nabla)u_2\bigr)-\partial_2\bigl((u\cdot\nabla)u_1\bigr)=(u\cdot\nabla)\omega+\sum_j\bigl(\partial_1u_j\,\partial_ju_2-\partial_2u_j\,\partial_ju_1\bigr)$$
で、最後の和を書き出すと $(\partial_1u_1+\partial_2u_2)(\partial_1u_2-\partial_2u_1)=(\operatorname{div}u)\,\omega=0$ である。
1．ex-ns-abc の恒等式から $(u\cdot\nabla)u=\nabla\bigl(\frac12|u|^2\bigr)-u\times\omega$ で、勾配の回転は $0$ である。回転の積の公式 $\operatorname{curl}(u\times\omega)=u\operatorname{div}\omega-\omega\operatorname{div}u+(\omega\cdot\nabla)u-(u\cdot\nabla)\omega$（成分で確かめられる）と $\operatorname{div}\omega=\operatorname{div}\operatorname{curl}u=0$、$\operatorname{div}u=0$ から、$\operatorname{curl}\bigl((u\cdot\nabla)u\bigr)=(u\cdot\nabla)\omega-(\omega\cdot\nabla)u$ である。運動方程式の回転をとればよい。$\square$
3 次元の右辺の $(\omega\cdot\nabla)u$ は 渦の引き伸ばし（vortex stretching）の項と呼ばれ、渦管が流れで引き伸ばされると渦度が強まることを表す。2 次元にはこの項がなく、渦度は流れに運ばれながら熱方程式のように拡散するだけである。この違いから次の 2 次元特有の評価が得られる。
$n=2$、$f=0$ とし、$(u,p)$ を $\mathbb{T}^2\times[0,T)$ 上の古典解とする。このとき
$$
\frac12\|\omega(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla\omega(s)\|^2ds=\frac12\|\omega(0)\|^2,\qquad\|\nabla u(t)\|=\|\omega(t)\|
$$
である。とくに $\|\nabla u(t)\|\le\|\nabla u_0\|$ がすべての $t< T$ で成り立つ。
要点：輸送の項は lem-ns-cancel と同じ理由で積分が $0$ になり、粘性の項だけが残る。後半は部分積分による恒等式である。
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prop-ns-vorticity の 2 に $\omega$ を掛けて積分すると、$\int(u\cdot\nabla)\omega\;\omega\,dx=\int u\cdot\nabla(\frac12\omega^2)\,dx=-\frac12\int\omega^2\operatorname{div}u\,dx=0$、$\int\Delta\omega\,\omega=-\int|\nabla\omega|^2$ なので $\frac{d}{dt}\frac12\|\omega\|^2=-\nu\|\nabla\omega\|^2$ である。
後半：部分積分を 2 回行うと $\int\partial_1u_2\,\partial_2u_1\,dx=\int\partial_1u_1\,\partial_2u_2\,dx$ である。よって
$$\|\omega\|^2=\int\bigl((\partial_1u_2)^2+(\partial_2u_1)^2\bigr)-2\int\partial_1u_1\,\partial_2u_2=\|\nabla u\|^2-\int(\operatorname{div}u)^2=\|\nabla u\|^2$$
である。$\square$
$\|\omega\|^2$ を エンストロフィー という。2 次元ではエネルギーとエンストロフィーの両方が減少するので $u$ の 1 階の導関数が $L^2$ で時間について一様に押さえられ、これを出発点として 2 次元の大域的な正則性が示される（CJW06 p. 59。この記事では証明しない）。3 次元では $\int\bigl((\omega\cdot\nabla)u\bigr)\cdot\omega\,dx$ が一般に $0$ にならず、この評価が成り立たない。
ミレニアム懸賞問題
Clay 数学研究所が 2000 年に発表した問題では、$n=3$、$\nu>0$ の Navier–Stokes 方程式について次の 4 つのうちどれか 1 つの証明が求められている（CJW06 Introduction p. viii、pp. 57–58）。
- (A) $\mathbb{R}^3$ での存在と滑らかさ：$f=0$ とし、$u_0$ を滑らかで $\operatorname{div}u_0=0$ を満たし、すべての多重指数 $\alpha$ と $K$ について $|\partial^\alpha u_0(x)|\le C_{\alpha K}(1+|x|)^{-K}$ を満たすベクトル場とする。このとき $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上の滑らかな古典解 $(u,p)$ で、エネルギーが有界（$\int|u(x,t)|^2dx< C$ がすべての $t\ge0$ で成り立つ）なものが存在する。
- (B) $\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ での存在と滑らかさ：周期的な滑らかな初期値（$f=0$）に対して、$[0,\infty)$ 上の滑らかな周期的な古典解が存在する。
- (C)・(D) 解の破綻：$\mathbb{R}^3$ の場合、周期的な場合のそれぞれについて、上の条件を満たす初期値と滑らかで減衰の速い外力 $f$ で、時間大域的な滑らかな解が存在しないものがある。
(A)・(B) の主張は 2 次元では正しく（Ladyzhenskaya）、3 次元でも初期値が小さければ正しい。小さくない初期値でも、ある時刻 $T>0$ までは滑らかな解が存在し、その最大の $T$ を 爆発時刻 という。$\nu>0$ のとき爆発時刻が有限なら、その時刻に近づくと速度が有界でなくなる（CJW06 p. 59）。
古典解の代わりに、試験関数を掛けて部分積分した式を満たす 弱解 を考えると、存在は 1934 年に Leray が示している。ただし 3 次元の弱解の一意性は分かっていない。適切な増大条件を満たす弱解の特異集合 $E$（どの近傍でも解が有界でない時空の点の集合）については、放物型の柱状集合で測った 1 次元の Hausdorff 測度が $0$ であるという部分正則性定理（Caffarelli–Kohn–Nirenberg）が知られており、とくに $E$ は時空の曲線 $x=\varphi(t)$ を含まない。Euler 方程式（$\nu=0$）では、時空でコンパクトな台をもつ $0$ でない弱解（静止した流体が外力なしに動き出してまた止まる解）が構成されていて、弱解の一意性ははっきりと成り立たない（CJW06 pp. 59、65–66）。
この問題が難しい理由の一つは、上で見た超臨界性である。Tao は、非線形項 $(u\cdot\nabla)u$ を回転・拡大縮小・Fourier 乗数で平均化した、エネルギー等式（lem-ns-cancel にあたる打ち消し合い）を保つ方程式に、有限時間で爆発する滑らかな解があることを示した（Tao15 Theorem 1.5、p. 9）。したがって (A) を肯定的に解くには、エネルギー等式と調和解析の一般的な評価だけでなく、非線形項の細かな構造を使う必要がある（Tao15 §1.1、p. 5）。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\operatorname{div}u=0$（lem-ns-cancel） | $n=1$、$u=\sin x$、$v=1+\cos x$ | $\int((u\cdot\nabla)v)\cdot v\,dx=0$ |
| $\nu>0$（cor-ns-decay） | $\nu=0$ の Taylor–Green 渦 $u=(\sin x_1\cos x_2,-\cos x_1\sin x_2)$ | $t\to\infty$ で $u(t)\to\bar u$ となること |
| 平均を引くこと（cor-ns-decay） | $u\equiv c\ne0$（定数）、$p=0$ | $u(t)$ のノルムが $e^{-\nu t}$ 倍以下に減ること |
各行は左の列の条件だけを破っている。
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1 行目：$\mathbb{T}^1$ 上で $\operatorname{div}u=\cos x\ne0$ である。$\int_0^{2\pi}\sin x\,(-\sin x)(1+\cos x)\,dx=-\int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx-\int_0^{2\pi}\sin^2x\cos x\,dx=-\pi\ne0$ である。prf-ns-cancel の式では $-\frac12\int|v|^2\operatorname{div}u\,dx$ が残り、これも $-\pi$ になる。
2 行目：ex-ns-taylor-green の計算で $F\equiv1$、$\nu=0$ とすると、$\partial_tu=0$ で非線形項と圧力の勾配が打ち消し合うので、$p=\frac14(\cos2x_1+\cos2x_2)$ とともに Euler 方程式の定常な古典解である。平均は $0$ だが $\|u(t)\|$ は一定で、$u(t)$ は $\bar u=0$ に近づかない。系の不等式そのものは $\nu=0$ では $e^{-\nu t}=1$ となって等号で成り立ち、破れるのは $\nu>0$ のときに不等式から従う $t\to\infty$ での収束である。
3 行目：定数のベクトル場は $\operatorname{div}u=0$ を満たし、すべての項が $0$ になるので古典解である。$\|u(t)\|$ は一定で、$\nu>0$ でも $e^{-\nu t}$ で減衰しない。平均を引いた $u-\bar u=0$ については系の不等式は成り立っている。
関連項目
- 前提: 偏微分方程式, ベクトル解析, 熱方程式, Grönwallの不等式
- 比較: 回転(ベクトル場), Gaussの発散定理, Wirtingerの不等式(周期関数)
- 応用: 藤田指数
- 発展: Sobolev空間, Hausdorff次元
参考文献
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