普遍係数定理

1 は自由分解 $0\to0\to H\xrightarrow{\mathrm{id}}H\to0$ から従う。2 は自由分解 $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{m}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/m\to0$ に $\operatorname{Hom}(-,G)$ を施すと $f_1^*$ が $G\xrightarrow{m}G$ になることから従う。3 は各 $H_i$ の自由分解の直和が $\bigoplus_iH_i$ の自由分解であり、$\operatorname{Hom}(\bigoplus_iF_i,G)=\prod_i\operatorname{Hom}(F_i,G)$ で、写像の直積の余核は余核の直積であることから従う。4：有限生成アーベル群の構造定理により $H\cong\mathbb{Z}^r\oplus\bigoplus_{j=1}^s\mathbb{Z}/m_j$ と書ける。1–3 より $\operatorname{Ext}(H,\mathbb{Z})\cong\bigoplus_j\mathbb{Z}/m_j\cong T(H)$ である。$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/m_j,\mathbb{Z})=0$ なので $\operatorname{Hom}(H,\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^r,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^r$ である。$\square$

1．次数ごとの分裂． $B_{n-1}$ は自由アーベル群 $C_{n-1}$ の部分群なので自由である。全射 $\partial_n\colon C_n\to B_{n-1}$ の値域が自由なので、基底の各元の逆像を一つずつ選べば切断 $\sigma\colon B_{n-1}\to C_n$ が得られ、$C_n=Z_n\oplus\sigma(B_{n-1})$ となる。$p_n\colon C_n\to Z_n$ をこの分解による射影とすると、$p_n$ は $Z_n$ の上で恒等写像である。$Z_n,B_{n-1}$ も自由である。
2．余鎖複体の短完全列． 次数ごとの短完全列 $0\to Z_n\to C_n\xrightarrow{\partial_n}B_{n-1}\to0$ は分裂するので、$\operatorname{Hom}(-,G)$ を施しても完全である：
$$ 0\to\operatorname{Hom}(B_{n-1},G)\xrightarrow{\partial_n^*}\operatorname{Hom}(C_n,G)\xrightarrow{\ \mathrm{res}\ }\operatorname{Hom}(Z_n,G)\to0 . $$
$Z=(Z_n)$ と $B'=(B_{n-1})_n$ を微分 $0$ の鎖複体とみなすと、包含 $Z\to C$ と $\partial\colon C\to B'$ は鎖写像である（$\partial_{n-1}\partial_n=0$）。よって上の列は余鎖複体の短完全列であり、両端の微分は $0$ なので、そのコホモロジーは各項そのものである。蛇の補題による長完全列は
$$ \operatorname{Hom}(Z_{n-1},G)\xrightarrow{c_{n-1}}\operatorname{Hom}(B_{n-1},G)\xrightarrow{\ j'\ }H^n(C;G)\xrightarrow{\ h'\ }\operatorname{Hom}(Z_n,G)\xrightarrow{\ c_n\ }\operatorname{Hom}(B_n,G) $$
であり、$j'(\beta)=[\beta\circ\partial_n]$、$h'[\varphi]=\varphi|_{Z_n}$ である。
3．連結準同型は制限写像． $\phi\in\operatorname{Hom}(Z_n,G)$ を $\tilde\phi:=\phi\circ p_n\in\operatorname{Hom}(C_n,G)$ に持ち上げる。$\partial_{n+1}$ の値は $B_n\subset Z_n$ にあり $p_n$ はそこで恒等写像なので、$\delta\tilde\phi=\phi\circ p_n\circ\partial_{n+1}=(\phi|_{B_n})\circ\partial_{n+1}$ である。これは $\partial_{n+1}^*(\phi|_{B_n})$ だから、$c_n(\phi)=\phi|_{B_n}$、すなわち $c_n$ は包含 $i_n\colon B_n\hookrightarrow Z_n$ の双対 $i_n^*$ である。
4．核と余核の同定． $\ker c_n$ は $B_n$ の上で消える $Z_n\to G$ の全体であり、$\operatorname{Hom}(H_n(C),G)$ と同一視される。この同一視のもとで $h'$ は $h$ である。$\operatorname{coker}c_{n-1}=\operatorname{coker}(i_{n-1}^*)$ は、自由分解 $0\to B_{n-1}\xrightarrow{i_{n-1}}Z_{n-1}\to H_{n-1}(C)\to0$ で計算した $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(C),G)$ そのものである。長完全列の完全性から、$j'$ が誘導する $j$ は単射、$h$ は全射で、$\operatorname{im}j=\ker h$ である。
5．分裂． $\pi_n\colon Z_n\to H_n(C)$ を商写像とし、$\theta\in\operatorname{Hom}(H_n(C),G)$ に対し $\varphi_\theta:=\theta\circ\pi_n\circ p_n$ とおく。$\partial_{n+1}$ の値は $B_n$ にあり $\pi_n(B_n)=0$ なので $\delta\varphi_\theta=0$ である。$s(\theta):=[\varphi_\theta]$ は準同型で、$z\in Z_n$ について $\varphi_\theta(z)=\theta(\pi_n(z))$ だから $h\circ s=\mathrm{id}$ である。
6．自然性．

uct-thm-main の列は分裂するので $H^n(C;\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H_n(C),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_{n-1}(C),\mathbb{Z})$ である。uct-prop-ext-compute の 4 により、第 1 項は $H_n(C)/T_n$ と同じ階数の自由アーベル群、第 2 項は $T_{n-1}$ に同型である。$\square$

uct-thm-main の自然性により、$\alpha^*$ は $C'$ の短完全列から $C$ の短完全列への写像の中央の成分であり、両端の成分は $\operatorname{Ext}(\alpha_*,G)$ と $\operatorname{Hom}(\alpha_*,G)$ である。$\alpha_*$ が同型なので両端は同型であり、五項補題により中央も同型である。$\square$

$D:=C\otimes k$ は $k$ ベクトル空間の鎖複体で、$H_n(D)=H_n(C;k)$ である。$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(C_n,k)\cong\operatorname{Hom}_k(C_n\otimes k,k)$ は余境界と両立するので、$H^n(C;k)$ は余鎖複体 $\operatorname{Hom}_k(D,k)$ のコホモロジーである。ベクトル空間の部分空間は直和因子なので、uct-prf-main の段落 1–4 は「自由アーベル群」を「$k$ ベクトル空間」、準同型を $k$ 線型写像に置き換えてそのまま通る。段落 4 の $c_{n-1}\colon\operatorname{Hom}_k(Z_{n-1}(D),k)\to\operatorname{Hom}_k(B_{n-1}(D),k)$ は、$B_{n-1}(D)$ 上の線型形式を補空間の上で $0$ として延ばせるので全射であり、余核は $0$ である。よって $h$ が同型になる。自然性は uct-prf-main の段落 6 と同じである。$\square$

要点：uct-prf-main と同じ分裂を使い、$\operatorname{Hom}(-,G)$ の代わりに $-\otimes G$ を施す。

相対特異鎖複体 $C_\bullet(X,A)$ は各次数で $A$ に含まれない特異単体を基底とする自由アーベル群である（特異コホモロジーの記事の定義「相対コホモロジーと被約コホモロジー」）。$H^n(X,A;G)$ と $H_n(X,A;G)$ はそれぞれ $\operatorname{Hom}(C_\bullet(X,A),G)$ と $C_\bullet(X,A)\otimes G$ の（コ）ホモロジーなので、uct-thm-main と uct-thm-homology を $C=C_\bullet(X,A)$ に適用すればよい。対の連続写像は鎖写像を誘導するので、自然性も従う。$\square$

$\partial_1\alpha_2(x,y)$ と $\alpha_1\partial_2(x,y)$ はともに $mx$ なので $\alpha$ は鎖写像である。$H_2(C)=\ker\partial_2=\{(0,y)\}\cong\mathbb{Z}$ の上で $\alpha_2(0,y)=(0,y)$、$H_1(C)=\mathbb{Z}/m$ の上で $\alpha_1=\mathrm{id}$ なので、$\alpha_*$ は恒等写像である。
$\operatorname{Hom}(C_2,\mathbb{Z})$ の元を $(x,y)\mapsto ax+by$ と書いて $(a,b)$ で表す。$\delta\colon\operatorname{Hom}(C_1,\mathbb{Z})\to\operatorname{Hom}(C_2,\mathbb{Z})$ は $c\mapsto(mc,0)$ なので、$H^2(C;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/m\oplus\mathbb{Z}$（類 $([a],b)$）である。$\alpha_2^*(a,b)$ は $(x,y)\mapsto ax+b(x+y)$、すなわち $(a+b,b)$ なので、$\alpha^*([a],b)=([a+b],b)$ である。
$h([a],b)$ は $H_2(C)$ の生成元 $(0,1)$ に $b$ を対応させる。切断 $s$ が $h\circ s=\mathrm{id}$ を満たすなら $s(1)=([c],1)$ の形である。$\alpha_*=\mathrm{id}$ なので、自然性の式は $\alpha^*s(1)=s(1)$ を要求するが、$\alpha^*([c],1)=([c+1],1)$ であり、$m\ge2$ では $[c+1]\ne[c]$ である。$\square$