蛇の補題

$y,y'\in A$ がともに $p(y)=p(y')=x$ を満たすとする。$p(y-y')=0$ であるから、上段の完全性（$\ker p=\operatorname{im}i$）より $y-y'=i(w)$ を満たす $w\in A'$ が存在する。対応する $z,z'\in B'$（$j(z)=b(y)$、$j(z')=b(y')$）について、
$$ j(z-z')=b(y)-b(y')=b(i(w))=j(a(w)) $$
であり、$j$ がモノ射であることから $z-z'=a(w)$。ゆえに $q_A(z)-q_A(z')=q_A(a(w))=0$（$a(w)\in\operatorname{im}a=\ker q_A$）となり、$q_A(z)=q_A(z')$。$\blacksquare$

$x_1,x_2\in\ker c$ の持ち上げを $y_1,y_2$、対応する元を $z_1,z_2$ とする。$x_1+x_2$ の持ち上げには $y_1+y_2$ を取れ、$j(z_1+z_2)=b(y_1+y_2)$ だから、$\delta(x_1+x_2)=q_A(z_1+z_2)=\delta(x_1)+\delta(x_2)$。$r\in R$ に対しても、$rx_1$ の持ち上げを $ry_1$ と取れば、対応する元は $rz_1$ なので $\delta(rx_1)=r\delta(x_1)$。持ち上げによらないことは前の証明で確認済みである。

$x\in\ker c$ を取り、$p(y)=x$、$j(z)=b(y)$ として $\delta(x)=q_A(z)$ とする。可換性から $p_1(f_A(y))=f_{A''}(p(y))=f_{A''}(x)$ であり、$j_1(f_{B'}(z))=f_B(j(z))=f_B(b(y))=b_1(f_A(y))$ であるから、$f_A(y),f_{B'}(z)$ は $\delta_1(f_{A''}(x))$ の構成にそのまま使える持ち上げであり、$\delta_1(f_{A''}(x))=q_{A_1}(f_{B'}(z))=f_{B'}(q_A(z))=f_{B'}(\delta(x))$。$\blacksquare$

まず加群について元を使って証明する。ここではモノ射は単射、エピ射は全射である。一般のアーベル圏での読み替えは証明の後に説明する。
$\ker a$ における完全性（$\bar i$ がモノ射）：$\bar i$ は $i$ の制限であり、$i$ 自身がモノ射であるから $\bar i$ もモノ射である。
$\ker b$ における完全性（$\operatorname{im}\bar i=\ker\bar p$）：$x\in\ker a$ に対し $\bar p(\bar i(x))=p(i(x))=0$（上段の完全性 $p\circ i=0$）であるから $\operatorname{im}\bar i\subseteq\ker\bar p$。逆に $y\in\ker b$ が $p(y)=0$ を満たすとすると、上段の完全性より $y=i(x)$ を満たす $x\in A'$ が存在する。$j(a(x))=b(i(x))=b(y)=0$ であり $j$ がモノ射だから $a(x)=0$、すなわち $x\in\ker a$。ゆえに $y=\bar i(x)\in\operatorname{im}\bar i$。
$\ker c$ における完全性（$\operatorname{im}\bar p=\ker\delta$）：$y\in\ker b$ に対し、$\delta(p(y))$ を構成する際に $y$ 自身を(1)の持ち上げに使えば、$b(y)=0$ より対応する $z$ は $j(z)=0$ を満たし、$j$ モノ射より $z=0$。ゆえに $\delta(\bar p(y))=q_A(0)=0$ であり $\operatorname{im}\bar p\subseteq\ker\delta$。逆に $x\in\ker c$ が $\delta(x)=0$ を満たすとする。構成における $y,z$（$p(y)=x$、$j(z)=b(y)$）について $q_A(z)=0$ であるから $z=a(w)$ を満たす $w\in A'$ が存在する。$j(a(w))=b(i(w))$ であるから $b(y)=j(z)=j(a(w))=b(i(w))$、すなわち $b(y-i(w))=0$、つまり $y-i(w)\in\ker b$。$y':=y-i(w)$ とおくと $p(y')=p(y)-p(i(w))=x-0=x$（上段の完全性 $p\circ i=0$）。ゆえに $x=\bar p(y')\in\operatorname{im}\bar p$。
$\operatorname{coker}a$ における完全性（$\operatorname{im}\delta=\ker\bar j$）：$x\in\ker c$ に対応する $z\in B'$（$j(z)=b(y)$）について、$\bar j(\delta(x))=\bar j(q_A(z))=q_B(j(z))=q_B(b(y))=0$（$b(y)\in\operatorname{im}b=\ker q_B$）であるから $\operatorname{im}\delta\subseteq\ker\bar j$。逆に $q_A(z)\in\ker\bar j$（$z\in B'$）とすると $q_B(j(z))=0$ より $j(z)=b(y)$ を満たす $y\in A$ が存在する。$q(b(y))=q(j(z))=0$（下段の完全性 $q\circ j=0$）であり、可換性から $c(p(y))=q(b(y))=0$、すなわち $x:=p(y)\in\ker c$。この $x$ に対する $\delta$ の構成にちょうどこの $y$ を用いれば、対応する元は $z$ そのものであり（$j(z)=b(y)$ かつ $j$ モノ射より一意）、$\delta(x)=q_A(z)$。ゆえに $q_A(z)=\delta(x)\in\operatorname{im}\delta$。
$\operatorname{coker}b$ における完全性（$\operatorname{im}\bar j=\ker\bar q$）：$q_A(z)\in\operatorname{coker}a$（$z\in B'$）に対し $\bar q(\bar j(q_A(z)))=q_C(q(j(z)))=q_C(0)=0$（下段の完全性 $q\circ j=0$）であるから $\operatorname{im}\bar j\subseteq\ker\bar q$。逆に $q_B(y)\in\ker\bar q$（$y\in B$）とすると $q_C(q(y))=0$ より $q(y)=c(x)$ を満たす $x\in A''$ が存在する。$p$ はエピ射だから $x=p(y_0)$ を満たす $y_0\in A$ が存在し、$q(y)=c(p(y_0))=q(b(y_0))$（可換性）より $y-b(y_0)\in\ker q=\operatorname{im}j$（下段の完全性）、すなわち $y-b(y_0)=j(z)$ を満たす $z\in B'$ が存在する。ゆえに $q_B(y)=q_B(b(y_0))+q_B(j(z))=0+\bar j(q_A(z))$（$b(y_0)\in\operatorname{im}b=\ker q_B$、および $\bar j$ の定義）。ゆえに $q_B(y)\in\operatorname{im}\bar j$。
$\operatorname{coker}c$ における完全性（$\bar q$ がエピ射）：$q$ がエピ射であることから、任意の $q_C(w)\in\operatorname{coker}c$（$w\in B''$）に対し $w=q(y)$ を満たす $y\in B$ が存在し、$q_C(w)=q_C(q(y))=\bar q(q_B(y))$。ゆえに $\bar q$ はエピ射である。
以上6箇所すべてで完全性が確認されたので、6項の列は完全列である。$\blacksquare$

完全なら $t$ は $\ker\beta=\operatorname{im}\alpha$ を経由する。エピ射 $U\to\operatorname{im}\alpha$ をこの射に沿って引き戻せば、求める $e,s$ が得られる。
逆に、この条件を核射 $t\colon\ker\beta\to V$ に使う。$e$ がエピ射なので $\operatorname{im}(te)=\operatorname{im}t$ であり、$te=\alpha s$ から $\ker\beta\subset\operatorname{im}\alpha$ となる。逆の包含は $\beta\alpha=0$ から従う。