蛇の補題
概要
蛇の補題（snake lemma）とは、二つの短完全列を縦射でつなぐ可換図式から、核どうし・余核どうしを結ぶ6項の完全列を——両者の間を「接続準同型」で橋渡しして——自動的に作り出せることを述べる補題である。この接続準同型の作り方（下段へ降りて折り返し上段の余核へ戻る、蛇のような経路をたどることに由来する名称）と完全性の証明は、ホモロジー代数における図式追跡の集大成であり、長完全列の構成原理そのものを与える。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ において、次の可換図式
$$
\begin{array}{ccccccccc}
0&\to&A'&\xrightarrow{i}&A&\xrightarrow{p}&A''&\to&0\\
&&{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&\\
0&\to&B'&\xrightarrow{j}&B&\xrightarrow{q}&B''&\to&0
\end{array}
$$
を考え、上下二つの横列がいずれも短完全列であるとする（すなわち $i,j$ はモノ射、$p,q$ はエピ射、各行は完全）。
def-snake-lemma-setupの設定のもとで、次の写像を考える：
- $\bar i\colon\ker a\to\ker b$：$i$ の $\ker a$ への制限（$x\in\ker a$ に対し $b(i(x))=j(a(x))=j(0)=0$ より $i(x)\in\ker b$）。
- $\bar p\colon\ker b\to\ker c$：$p$ の $\ker b$ への制限（$y\in\ker b$ に対し $c(p(y))=q(b(y))=q(0)=0$ より $p(y)\in\ker c$）。
- $\bar j\colon\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b$：$q_A\colon A'\to\operatorname{coker}a$、$q_B\colon B\to\operatorname{coker}b$ を余核への商射とするとき、$q_B\circ j\colon B'\to\operatorname{coker}b$ が $\operatorname{im}a$ を消す（$x\in A'$ に対し $q_B(j(a(x)))=q_B(b(i(x)))=0$）ことから誘導される写像。
- $\bar q\colon\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c$：同様に $q\colon B\to B''$ から誘導される写像。
さらに、$x\in\ker c\subseteq A''$ に対し、次の手順で元 $\delta(x)\in\operatorname{coker}a$ を定める：
- $p$ はエピ射であるから、$p(y)=x$ を満たす $y\in A$ が存在する。
- $q(b(y))=c(p(y))=c(x)=0$ であるから、$b(y)\in\ker q=\operatorname{im}j$（下段の完全性）。ゆえに $j(z)=b(y)$ を満たす $z\in B'$ が存在し、$j$ はモノ射だからそのような $z$ は一意である。
- $\delta(x):=q_A(z)\in\operatorname{coker}a$ と定める。
この対応 $\delta\colon\ker c\to\operatorname{coker}a$ を接続準同型（connecting homomorphism）と呼ぶ。
直感
$\delta$ の構成は、$\ker c$ の元 $x$ を出発点に、上段を右から左へ「$p$ を持ち上げて $y$ を得る」→下段へ降りて「$b(y)$ を $j$ で引き戻し $z$ を得る」という経路をたどり、最後に $z$ を $\operatorname{coker}a$ へ落とす、という一筆書きの手続きである。図式の上を右上から左下へジグザグに這うこの経路の形が「蛇」の名の由来である。この一見場当たり的な構成が矛盾なく（選んだ $y$ によらずに）意味を持つことがprop-snake-lemma-well-definedの内容であり、蛇の補題の技術的な核心はここにある（標準的な教科書としてWei94参照）。
性質
def-snake-lemma-connecting-mapの $\delta(x)$ は、(1)で選ぶ $y$ の取り方によらずに定まる。
$y,y'\in A$ がともに $p(y)=p(y')=x$ を満たすとする。$p(y-y')=0$ であるから、上段の完全性（$\ker p=\operatorname{im}i$）より $y-y'=i(w)$ を満たす $w\in A'$ が存在する。対応する $z,z'\in B'$（$j(z)=b(y)$、$j(z')=b(y')$）について、
$$
j(z-z')=b(y)-b(y')=b(i(w))=j(a(w))
$$
であり、$j$ がモノ射であることから $z-z'=a(w)$。ゆえに $q_A(z)-q_A(z')=q_A(a(w))=0$（$a(w)\in\operatorname{im}a=\ker q_A$）となり、$q_A(z)=q_A(z')$。$\blacksquare$
def-snake-lemma-setupの設定のもとで、次の6項の列
$$
0\to\ker a\xrightarrow{\bar i}\ker b\xrightarrow{\bar p}\ker c\xrightarrow{\delta}\operatorname{coker}a\xrightarrow{\bar j}\operatorname{coker}b\xrightarrow{\bar q}\operatorname{coker}c\to0
$$
は完全列である。
（要素を用いた議論の正当性はアーベル圏で述べたFreyd–Mitchellの埋め込み定理による。）
$\ker a$ における完全性（$\bar i$ がモノ射）：$\bar i$ は $i$ の制限であり、$i$ 自身がモノ射であるから $\bar i$ もモノ射である。
$\ker b$ における完全性（$\operatorname{im}\bar i=\ker\bar p$）：$x\in\ker a$ に対し $\bar p(\bar i(x))=p(i(x))=0$（上段の完全性 $p\circ i=0$）であるから $\operatorname{im}\bar i\subseteq\ker\bar p$。逆に $y\in\ker b$ が $p(y)=0$ を満たすとすると、上段の完全性より $y=i(x)$ を満たす $x\in A'$ が存在する。$j(a(x))=b(i(x))=b(y)=0$ であり $j$ がモノ射だから $a(x)=0$、すなわち $x\in\ker a$。ゆえに $y=\bar i(x)\in\operatorname{im}\bar i$。
$\ker c$ における完全性（$\operatorname{im}\bar p=\ker\delta$）：$y\in\ker b$ に対し、$\delta(p(y))$ を構成する際に $y$ 自身を(1)の持ち上げに使えば、$b(y)=0$ より対応する $z$ は $j(z)=0$ を満たし、$j$ モノ射より $z=0$。ゆえに $\delta(\bar p(y))=q_A(0)=0$ であり $\operatorname{im}\bar p\subseteq\ker\delta$。逆に $x\in\ker c$ が $\delta(x)=0$ を満たすとする。構成における $y,z$（$p(y)=x$、$j(z)=b(y)$）について $q_A(z)=0$ であるから $z=a(w)$ を満たす $w\in A'$ が存在する。$j(a(w))=b(i(w))$ であるから $b(y)=j(z)=j(a(w))=b(i(w))$、すなわち $b(y-i(w))=0$、つまり $y-i(w)\in\ker b$。$y':=y-i(w)$ とおくと $p(y')=p(y)-p(i(w))=x-0=x$（上段の完全性 $p\circ i=0$）。ゆえに $x=\bar p(y')\in\operatorname{im}\bar p$。
$\operatorname{coker}a$ における完全性（$\operatorname{im}\delta=\ker\bar j$）：$x\in\ker c$ に対応する $z\in B'$（$j(z)=b(y)$）について、$\bar j(\delta(x))=\bar j(q_A(z))=q_B(j(z))=q_B(b(y))=0$（$b(y)\in\operatorname{im}b=\ker q_B$）であるから $\operatorname{im}\delta\subseteq\ker\bar j$。逆に $q_A(z)\in\ker\bar j$（$z\in B'$）とすると $q_B(j(z))=0$ より $j(z)=b(y)$ を満たす $y\in A$ が存在する。$q(b(y))=q(j(z))=0$（下段の完全性 $q\circ j=0$）であり、可換性から $c(p(y))=q(b(y))=0$、すなわち $x:=p(y)\in\ker c$。この $x$ に対する $\delta$ の構成にちょうどこの $y$ を用いれば、対応する元は $z$ そのものであり（$j(z)=b(y)$ かつ $j$ モノ射より一意）、$\delta(x)=q_A(z)$。ゆえに $q_A(z)=\delta(x)\in\operatorname{im}\delta$。
$\operatorname{coker}b$ における完全性（$\operatorname{im}\bar j=\ker\bar q$）：$q_A(z)\in\operatorname{coker}a$（$z\in B'$）に対し $\bar q(\bar j(q_A(z)))=q_C(q(j(z)))=q_C(0)=0$（下段の完全性 $q\circ j=0$）であるから $\operatorname{im}\bar j\subseteq\ker\bar q$。逆に $q_B(y)\in\ker\bar q$（$y\in B$）とすると $q_C(q(y))=0$ より $q(y)=c(x)$ を満たす $x\in A''$ が存在する。$p$ はエピ射だから $x=p(y_0)$ を満たす $y_0\in A$ が存在し、$q(y)=c(p(y_0))=q(b(y_0))$（可換性）より $y-b(y_0)\in\ker q=\operatorname{im}j$（下段の完全性）、すなわち $y-b(y_0)=j(z)$ を満たす $z\in B'$ が存在する。ゆえに $q_B(y)=q_B(b(y_0))+q_B(j(z))=0+\bar j(q_A(z))$（$b(y_0)\in\operatorname{im}b=\ker q_B$、および $\bar j$ の定義）。ゆえに $q_B(y)\in\operatorname{im}\bar j$。
$\operatorname{coker}c$ における完全性（$\bar q$ がエピ射）：$q$ がエピ射であることから、任意の $q_C(w)\in\operatorname{coker}c$（$w\in B''$）に対し $w=q(y)$ を満たす $y\in B$ が存在し、$q_C(w)=q_C(q(y))=\bar q(q_B(y))$。ゆえに $\bar q$ はエピ射である。
以上6箇所すべてで完全性が確認されたので、6項の列は完全列である。$\blacksquare$
