不動点性

同義語：不動点性質fixed point propertyfixed-point property

概要

前提知識: 不動点, レトラクト, Brouwerの不動点定理, Lefschetz不動点公式

位相空間 $X$ が不動点性（fixed point property）をもつとは、$X$ から自分自身へのどの連続写像も不動点をもつことをいう。Brouwerの不動点定理は閉円板 $D^n$ が不動点性をもつという主張であり、閉区間や有限次元の空でないコンパクト凸集合も不動点性をもつ。一方、円周や球面は回転や対蹠写像があるので、正の次元の Euclid 空間は平行移動があるので、不動点性をもたない。不動点性は同相写像とレトラクトへ受け継がれるが、ホモトピー同値では受け継がれない。$\mathbb{R}^n$ は 1 点とホモトピー同値だが、不動点性をもたないからである。代数的位相幾何学の道具を使うと、偶数次元の実射影空間 $\mathbb{RP}^{2n}$ や複素射影空間 $\mathbb{CP}^{2n}$ が不動点性をもち、$\mathbb{RP}^{2n-1}$ や $\mathbb{CP}^{2n+1}$ はもたないことがわかる。この記事では不動点性の基本性質を示し、Lefschetz の不動点定理から、有限単体複体のレトラクトで有理係数のコホモロジーが 1 点と同じ空間と $\mathbb{CP}^{2n}$ の不動点性を導き、$\mathbb{CP}^{2n+1}$ の不動点をもたない写像を構成する。

定義と基本性質

不動点性

位相空間 $X$ が不動点性をもつとは、任意の連続写像 $f\colon X\to X$ について、$f(x)=x$ となる点 $x\in X$ が存在することをいう。

空集合は、恒等写像が不動点をもたないので、不動点性をもたない。レトラクトの記事は同じ性質を「不動点性質」と呼んでいる。

不動点性の基本性質

$X$ が不動点性をもち、$Y$ が $X$ と同相なら、$Y$ も不動点性をもつ。
$X$ が不動点性をもつなら、$X$ の任意のレトラクトも不動点性をもつ。
$X$ が不動点性をもつなら、$X$ は空でない連結空間である。
$X$、$Y$ を空でない空間とする。$X\times Y$ が不動点性をもつなら、$X$ と $Y$ はどちらも不動点性をもつ。$Y$ が不動点性をもたないなら、$X\times Y$ も不動点性をもたない。

1．$h\colon X\to Y$ を同相写像、$g\colon Y\to Y$ を連続写像とする。$h^{-1}\circ g\circ h$ は $X$ の連続写像なので不動点 $x$ をもち、$g(h(x))=h(x)$ である。
2．レトラクトの記事の命題（不動点性質の遺伝）である。
3．空でないことは上で見た。$X$ が交わらない空でない開集合 $A$、$B$ の和なら、$a\in A$、$b\in B$ をとり、$A$ の上で $b$、$B$ の上で $a$ をとる写像 $f$ を考える。$f$ は各開集合の上で定数なので連続で、$f(A)\subset B$、$f(B)\subset A$ なので不動点をもたない。
4．$y_0\in Y$ をとると、$(x,y)\mapsto(x,y_0)$ は $X\times Y$ から部分空間 $X\times\{y_0\}$ へのレトラクションであり、$X\times\{y_0\}$ は $X$ と同相である。2 と 1 により $X$ は不動点性をもち、$Y$ も同様である。$g\colon Y\to Y$ が不動点をもたなければ、$(x,y)\mapsto(x,g(y))$ は $X\times Y$ の連続写像で、不動点をもたない。

4 から、円周 $S^1$ を因子にもつ空間、たとえばトーラス $S^1\times S^1$ や中身の詰まったトーラス $S^1\times D^2$ は、円周の回転によって不動点性を失う。

不動点性をもつ空間

次の空間は不動点性をもつ。どれも別の記事で証明されている。

閉区間 $[0,1]$（不動点の記事の定理（閉区間の不動点））。
閉円板 $D^n$（Brouwerの不動点定理）と、有限次元の実ノルム空間の空でないコンパクト凸集合（Schauderの不動点定理の記事の命題（コンパクト凸集合での Brouwer の定理））。
偶数次元の実射影空間 $\mathbb{RP}^{2n}$（毛玉の定理の記事の命題（偶数次元の実射影空間の自己写像））。そこでは自己写像を $S^{2n}$ の写像へ持ち上げ、偶数次元の球面の写像が不動点か「$f(x)=-x$ となる点」をもつこと（写像度の記事の定理（不動点と対蹠点））を使う。
さらに prop-fpp-basic の 2 により、これらのレトラクトも不動点性をもつ。代数的位相幾何学の道具としては、次の Lefschetz の不動点定理がもっとも強力である。

Lefschetz の不動点定理

$X$ を有限単体複体のレトラクト（たとえばコンパクト多様体や有限 CW複体）とし、$f\colon X\to X$ を連続写像とする。有理係数の Lefschetz 数
$$ L(f)=\sum_{i\ge0}(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(f^*\mid H^i(X;\mathbb{Q})\bigr) $$
が $0$ でなければ、$f$ は不動点をもつ。

証明の所在

これは Lefschetz不動点公式の記事の定理（Lefschetz の不動点定理）の 1 である。この記事では証明しない（Hat02 Theorem 2C.3、p. 179）。$L(f)$ の値は $f$ のホモトピー類だけで決まる（同記事の系（Lefschetz 数の整数性とホモトピー不変性））。

有理係数で 1 点と同じコホモロジーをもつ空間

$X$ を空でない弧状連結な空間で、有限単体複体のレトラクトであり、$i\ge1$ について $H^i(X;\mathbb{Q})=0$ であるものとする。このとき $X$ は不動点性をもつ。

$X$ は弧状連結なので $H^0(X;\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}$ であり、すべての特異 $0$ 単体に $1$ を対応させる余輪体 $\mathbf{1}$ の類がその生成元である。連続写像 $f\colon X\to X$ について $(f^*\mathbf{1})(\sigma)=\mathbf{1}(f\circ\sigma)=1$ なので $f^*\mathbf{1}=\mathbf{1}$ であり、$H^0$ の上の $f^*$ のトレースは $1$ である。$i\ge1$ の項は $0$ なので $L(f)=1\ne0$ となり、thm-fpp-lefschetz により $f$ は不動点をもつ。

有理係数で 1 点と同じ空間

可縮な有限単体複体（たとえば $D^n$、有限な木、錐）は thm-fpp-acyclic の仮定を満たし、不動点性をもつ。
$\mathbb{RP}^{2n}$ の整数係数ホモロジーは、$0$ 次の $\mathbb{Z}$ と、$0< k< 2n$ の奇数次の $\mathbb{Z}/2$ だけからなる（実射影空間の記事の定理（実射影空間のホモロジー））。有限群の項は有理係数では消えるので（普遍係数定理）、$i\ge1$ で $H^i(\mathbb{RP}^{2n};\mathbb{Q})=0$ である。$\mathbb{RP}^{2n}$ は有限 CW 複体なので、thm-fpp-acyclic からも不動点性をもつ。
$\mathbb{RP}^{2n-1}$（$n\ge1$）では $H_{2n-1}\cong\mathbb{Z}$ なので仮定が満たされず、実際、不動点性をもたない（ex-fpp-without）。

複素射影空間

$\mathbb{CP}^m$ を $\mathbb{C}^{m+1}\setminus\{0\}$ を $0$ でない複素数倍で割った商空間とし（射影空間の記事の定義（実射影空間と複素射影空間））、$z$ の類を $[z]=[z_0:\dots:z_m]$ と書く。整数係数のコホモロジー環は、$2$ 次の生成元 $a$ によって
$$ H^*(\mathbb{CP}^m;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[a]/(a^{m+1}) $$
である（Hat02 Theorem 3.19、p. 220。この記事では証明しない）。とくに $H^{2i}(\mathbb{CP}^m;\mathbb{Z})$（$0\le i\le m$）は $a^i$ で生成される無限巡回群で、それ以外の次数は $0$ である。

複素射影空間の不動点性

$m\ge0$ とする。

$m$ が偶数なら、$\mathbb{CP}^m$ は不動点性をもつ。
$m$ が奇数なら、
$$ g([z_0:z_1:\dots:z_{m-1}:z_m]):=[-\bar z_1:\bar z_0:\dots:-\bar z_m:\bar z_{m-1}] $$
は不動点をもたない連続写像 $g\colon\mathbb{CP}^m\to\mathbb{CP}^m$ である。とくに $\mathbb{CP}^m$ は不動点性をもたない。

1．$f\colon\mathbb{CP}^m\to\mathbb{CP}^m$ を連続写像とする。$f^*(a)\in H^2(\mathbb{CP}^m;\mathbb{Z})$ なので、ある整数 $k$ によって $f^*(a)=ka$ と書ける。$f^*$ はカップ積を保つので（カップ積）、$f^*(a^i)=k^ia^i$ である。$\mathbb{CP}^m$ は次元 $0,2,\dots,2m$ に胞体を 1 つずつもつ CW 複体なので（Hat02 p. 140）、整数係数のホモロジーは各次数で自由であり、普遍係数定理により有理係数の $H^{2i}(\mathbb{CP}^m;\mathbb{Q})$ は $a^i$ の像で生成される $1$ 次元の空間で、$f^*$ はそこで $k^i$ 倍として働く。奇数次は $0$ なので
$$ L(f)=\sum_{i=0}^mk^i $$
である。$k=1$ なら $L(f)=m+1\ne0$ である。$k\ne1$ なら $L(f)=(k^{m+1}-1)/(k-1)$ であり、$L(f)=0$ は $k^{m+1}=1$ を意味する。$m+1$ は奇数なので整数 $k$ でこれを満たすのは $k=1$ だけであり、矛盾する。よって $L(f)\ne0$ である。$\mathbb{CP}^m$ は有限 CW 複体なので、thm-fpp-lefschetz により $f$ は不動点をもつ。
2．$m+1$ は偶数なので、$J$ を $2\times2$ 行列 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ を対角に $(m+1)/2$ 個並べた実行列とすると、$g([z])=[J\bar z]$ である。$\lambda\ne0$ について $J\overline{\lambda z}=\bar\lambda J\bar z$ なので $g$ は代表元によらず、$\mathbb{C}^{m+1}\setminus\{0\}$ の連続写像 $z\mapsto J\bar z$ から誘導されるので連続である。$g([z])=[z]$ とすると、ある $\lambda\ne0$ で $J\bar z=\lambda z$ となる。この式の複素共役は $J z=\bar\lambda\bar z$（$J$ は実行列）であり、もとの式に $J$ を掛けると $J^2=-I$ から $-\bar z=\lambda Jz=\lambda\bar\lambda\bar z$ を得る。よって $(1+\lvert\lambda\rvert^2)\bar z=0$、すなわち $z=0$ となり、$z\ne0$ に反する。

$m$ が奇数のとき、2 の写像 $g$ は不動点をもたないので thm-fpp-lefschetz により $L(g)=0$ であり、1 の計算から $g^*(a)=ka$ の $k$ は $k^{m+1}=1$、$k\ne1$ を満たす。$m+1$ は偶数なので $k=-1$、すなわち $g^*(a)=-a$ である。thm-fpp-cp の 1 は Hat02 §3.2 の演習 4（p. 229）の主張にあたる。$m=1$ のとき、$[z_0:z_1]\mapsto z_0/z_1$ と立体射影で $\mathbb{CP}^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ を $S^2$ と同一視すると、$g$ は $w\mapsto-1/\bar w$ となり、$S^2$ の対蹠写像にあたる。

不動点性をもたない空間

球面 $S^n$（$n\ge0$）：対蹠写像 $x\mapsto-x$ は不動点をもたない。
$\mathbb{RP}^{2n-1}$（$n\ge1$）：上の $J$ と同じ形の $2n$ 次の実行列 $J$ は $J^2=-I$ を満たすので実固有ベクトルをもたず、$[x]\mapsto[Jx]$ は不動点をもたない（毛玉の定理の記事の命題（偶数次元の実射影空間の自己写像））。
$\mathbb{CP}^{2n+1}$（$n\ge0$）：thm-fpp-cp の 2。
$\mathbb{R}^n$（$n\ge1$）と開円板：$\mathbb{R}^n$ では平行移動が不動点をもたず、開円板は $\mathbb{R}^n$ と同相なので prop-fpp-basic の 1 により不動点性をもたない（Brouwerの不動点定理の記事の例（反例：開円板）も参照）。半開区間 $[0,1)$ では $x\mapsto(1+x)/2$ が不動点をもたない（$(1+x)/2=x$ なら $x=1$）。
Hilbert 空間 $\ell^2$ の閉単位球（Schauderの不動点定理の記事の例（Hilbert 空間の閉単位球の上の不動点のない写像））。有界閉凸集合だが、コンパクトでない。

4 と 5 は、Brouwerの不動点定理や有限次元のコンパクト凸集合の場合から、コンパクト性の仮定を外せないことを示している。5 の Hilbert 空間の閉単位球に対しては、像がコンパクトな集合に収まるという条件を写像の側に課した Schauderの不動点定理が成り立つ。

ホモトピー不変でないこと

ホモトピー同値な空間は同じホモロジーをもち、Lefschetz 数もホモトピーで変わらない。しかし不動点性そのものはホモトピー型で決まらない。

不動点性はホモトピー同値でも連続像でも保たれない

$n\ge1$ とする。1 点からなる空間は不動点性をもち、$\mathbb{R}^n$ は 1 点とホモトピー同値だが不動点性をもたない。
$[0,1]$ は不動点性をもつが、その連続な全射の像 $S^1$（$t\mapsto e^{2\pi it}$ による）は不動点性をもたない。

1．1 点の空間の自己写像は恒等写像だけで、その点が不動点である。$\mathbb{R}^n$ は凸なので直線ホモトピー $(z,t)\mapsto(1-t)z$ で 1 点に縮み、1 点とホモトピー同値である。一方、平行移動 $z\mapsto z+e_1$ は不動点をもたない。
2．$[0,1]$ の不動点性は不動点の記事の定理（閉区間の不動点）による。$S^1$ は ex-fpp-without の 1 により不動点性をもたない。

1 では、thm-fpp-lefschetz の仮定のうち「有限単体複体のレトラクト」だけが破れている。$\mathbb{R}^n$ の平行移動は恒等写像とホモトピックなので $L=1$ だが、不動点をもたない。

反例

prop-fpp-basic と thm-fpp-acyclic、thm-fpp-cp の仮定を 1 つずつ外すと、次のように結論が成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
同相（prop-fpp-basic の 1）	1 点と、それにホモトピー同値な $\mathbb{R}^n$	不動点性が移る
レトラクト（prop-fpp-basic の 2）	$[0,1]$ と、その連続像 $S^1$	不動点性が移る
有限単体複体のレトラクト（thm-fpp-acyclic）	$\mathbb{R}^n$ と平行移動	自己写像が不動点をもつ
$m$ が偶数（thm-fpp-cp の 1）	$\mathbb{CP}^1$ と $[z_0:z_1]\mapsto[-\bar z_1:\bar z_0]$	自己写像が不動点をもつ

1・2 行目の確かめは prop-fpp-not-homotopy、3 行目は $\mathbb{R}^n$ が空でなく弧状連結で、$i\ge1$ で $H^i(\mathbb{R}^n;\mathbb{Q})=0$ を満たし（可縮なので）、コンパクトでないため有限単体複体のレトラクトにならない（有限単体複体はコンパクトで、レトラクトはレトラクションによる連続像なのでコンパクト）ことによる。4 行目は thm-fpp-cp の 2 の $m=1$ の場合である。