伊藤の公式

$0\le s_1<\dots< s_k\le t$ について、$(B_{s_1},\dots,B_{s_k})$ は増分 $B_{s_1}-B_0,B_{s_2}-B_{s_1},\dots,B_{s_k}-B_{s_{k-1}}$ の 1 次式であり、これらと $B_u-B_t$ は重ならない区間の増分なので独立である（定義の 2。$s_k=t$ でなければ $B_t-B_{s_k}$ を加えて考える）。よって $\{(B_{s_1},\dots,B_{s_k})\in A\}$（$A$ は Borel 集合）の形の事象の全体 $\mathcal P$ は $B_u-B_t$ と独立である。$\mathcal P$ は共通部分で閉じ（時刻の集合を合わせればよい）、$\mathcal F_t$ を生成するので、Dynkinのπ-λ定理 の命題「π系の独立性はσ-代数に広がる」により $\mathcal F_t$ と $B_u-B_t$ は独立である。$\square$

lem-ito-future により $\Delta_i$ は $\mathcal F_{t_{i-1}}$ と独立なので、$\xi_i$ と独立である。独立な可積分変数の積は可積分で、期待値は積になるので、$E[\xi_i\Delta_i]=E[\xi_i]E[\Delta_i]=0$、$E[\xi_i^2\Delta_i^2]=E[\xi_i^2]\delta_i$ である。$i< j$ のとき、$\xi_i\Delta_i$ は $\mathcal F_{t_i}\subset\mathcal F_{t_{j-1}}$-可測で $L^2$ に属し（上の計算）、$\xi_j\in L^2$ なので Cauchy–Schwarz の不等式から $\xi_i\Delta_i\xi_j$ は可積分で $\mathcal F_{t_{j-1}}$-可測である。$\Delta_j$ はこれと独立なので $E[\xi_i\Delta_i\xi_j\Delta_j]=E[\xi_i\Delta_i\xi_j]E[\Delta_j]=0$ である。$S^2$ を展開して期待値をとればよい。$\square$

$\omega_H(\eta):=\sup\{\|H_s-H_r\|_{L^2}:\lvert s-r\rvert\le\eta\}$ とおく。3 の連続性はコンパクトな $[0,T]$ の上で一様なので、$\eta\to0$ で $\omega_H(\eta)\to0$ である。
2 つの分割 $\Pi,\Pi'$ をとり、両方の分点を合わせた分割を $\Pi''$：$0=s_0<\cdots< s_m=T$ とする。$\Pi''$ の各小区間 $(s_{j-1},s_j]$ は $\Pi$ のある小区間に含まれ、その左端を $a_j$ とすると $S_\Pi(H)=\sum_jH_{a_j}(B_{s_j}-B_{s_{j-1}})$ と書き直せる。$\Pi'$ についても同様に $a_j'$ をとると、$a_j,a_j'\le s_{j-1}$、$\lvert a_j-a_j'\rvert\le\max(\lvert\Pi\rvert,\lvert\Pi'\rvert)=:\eta$ である。$\xi_j:=H_{a_j}-H_{a_j'}$ は $\mathcal F_{s_{j-1}}$-可測なので、lem-ito-sum-isometry から
$$ E\bigl[(S_\Pi(H)-S_{\Pi'}(H))^2\bigr]=\sum_jE[\xi_j^2]\,(s_j-s_{j-1})\le T\,\omega_H(\eta)^2 $$
である。よって $\lvert\Pi_n\rvert\to0$ となる分割の列について $S_{\Pi_n}(H)$ は $L^2(\Omega)$ の Cauchy 列であり、$L^2(\Omega)$ は完備なので極限 $I$ をもつ。別の列の極限も、2 つの列を交互に並べた列を考えると同じになるので、$I$ は列によらない。
lem-ito-sum-isometry から $E[S_\Pi(H)]=0$、$E[S_\Pi(H)^2]=\sum_iE[H_{t_{i-1}}^2]\delta_i$ である。後者は連続関数 $t\mapsto E[H_t^2]$ の Riemann 和なので $\int_0^TE[H_t^2]dt$ に近づく。$L^2$ での収束では期待値と 2 乗の期待値が極限に移るので、2 つの等式を得る。$\square$

$K:=\sup|f''|$ とする。
被積分過程。 $f'(B_s)$ は $B_s$ の連続関数なので $\mathcal F_s$-可測で、道は連続である。平均値の定理から $|f'(x)-f'(y)|\le K|x-y|$ なので、$\|f'(B_s)-f'(B_r)\|_{L^2}\le K\|B_s-B_r\|_{L^2}=K|s-r|^{1/2}$ であり、$|f'(x)|\le|f'(0)|+K|x|$ から $E[f'(B_s)^2]< \infty$ である。よって $f'(B)\in\mathcal L_t$ である。
分解。 $[0,t]$ の分割 $\Pi$ をとる。Taylorの定理 の定理「積分形の剰余項」から、実数 $a,b$ について
$$ f(b)-f(a)=f'(a)(b-a)+\frac12\rho(a,b)(b-a)^2,\qquad\rho(a,b):=2\int_0^1(1-\theta)f''\bigl(a+\theta(b-a)\bigr)\,d\theta $$
であり、$\rho$ は連続で、$|\rho(a,b)-f''(a)|\le\sup_{0\le\theta\le1}|f''(a+\theta(b-a))-f''(a)|$ である。$a=B_{t_{i-1}}$、$b=B_{t_i}$ として $i$ について足すと
$$ f(B_t)-f(B_0)=S_\Pi\bigl(f'(B)\bigr)+\frac12\bigl(R_1+R_2+R_3\bigr) $$
となる。ここで $\rho_i:=\rho(B_{t_{i-1}},B_{t_i})$ として
$$ R_1:=\sum_if''(B_{t_{i-1}})\,\delta_i,\quad R_2:=\sum_if''(B_{t_{i-1}})(\Delta_i^2-\delta_i),\quad R_3:=\sum_i\bigl(\rho_i-f''(B_{t_{i-1}})\bigr)\Delta_i^2 $$
である。$\lvert\Pi\rvert\to0$ となる分割の列について、各項の確率収束を示す。
$R_1$。 各 $\omega$ で連続関数 $s\mapsto f''(B_s)$ の Riemann 和なので、$\int_0^tf''(B_s)\,ds$ に収束する。
$R_2$。 $a_i:=f''(B_{t_{i-1}})$ は $|a_i|\le K$ で $\mathcal F_{t_{i-1}}$-可測、$Y_i:=\Delta_i^2-\delta_i$ は $\mathcal F_{t_{i-1}}$ と独立で $E[Y_i]=0$、$E[Y_i^2]=2\delta_i^2$ である（Brown運動 の定理「2 次変分」の証明の計算）。$i< j$ なら $a_iY_ia_j$ は $\mathcal F_{t_{j-1}}$-可測で有界な変数と $Y_i$ の積なので可積分で、$Y_j$ と独立だから $E[a_iY_ia_jY_j]=0$ である。よって
$$ E[R_2^2]=\sum_iE[a_i^2]E[Y_i^2]\le2K^2\sum_i\delta_i^2\le2K^2t\,\lvert\Pi\rvert\to0 $$
である。
$R_3$。 $|R_3|\le\varepsilon_\Pi\,Q_\Pi$、ただし $\varepsilon_\Pi:=\max_i\sup_{0\le\theta\le1}|f''(B_{t_{i-1}}+\theta\Delta_i)-f''(B_{t_{i-1}})|$、$Q_\Pi:=\sum_i\Delta_i^2$ である。$\omega$ を固定すると、道は $[0,t]$ で連続なので値はある区間 $[-M,M]$ に入り、$f''$ はそこで一様連続で、道の一様連続性から $\max_i|\Delta_i|\to0$ なので、$\varepsilon_\Pi\to0$ である。一方 $Q_\Pi\to t$（2 乗平均。Brown運動 の定理「2 次変分」）なので、任意の $\eta>0$ について $P(|R_3|>\eta)\le P(\varepsilon_\Pi>\eta/(t+1))+P(Q_\Pi>t+1)\to0$ である。
結論。 thm-ito-integral により $S_\Pi(f'(B))\to\int_0^tf'(B_s)\,dB_s$（2 乗平均、したがって確率収束）である。左辺 $f(B_t)-f(B_0)$ は $\Pi$ によらないので、確率収束の極限が確率 $1$ で一意であることから、確率 $1$ で等式が成り立つ。$\square$

$x$ を固定し、$f_x(y):=f(x+y)$ に thm-ito-main を当てると、$f_x(B_t)-f(x)=\int_0^tf'(x+B_s)\,dB_s+\frac12\int_0^tf''(x+B_s)\,ds$ である。期待値をとると、thm-ito-integral により第 1 項の期待値は $0$ で、第 2 項は $|f''|\le K$ なので Fubini の定理で期待値と積分を入れ替えられる。これが 1 つ目の式である。$s\mapsto E[f''(x+B_s)]$ は、道の連続性と有界収束定理（優収束定理 の系「有界収束定理」）により連続なので、微分積分学の基本定理から $v_t(x,t)=\frac12E[f''(x+B_t)]$ である。
一方、$|f'(x+y)|\le|f'(0)|+K(|x|+|y|)$、$|f''|\le K$ で、$E|B_t|< \infty$ なので、優収束定理 の定理「積分記号の下での微分」を 2 回当てて $v_{xx}(x,t)=E[f''(x+B_t)]$ である。よって $v_t=\frac12v_{xx}$ で、$w_t(x,t)=2v_t(x,2t)=v_{xx}(x,2t)=w_{xx}(x,t)$ である。$\square$