Weierstrass関数
概要
Weierstrass関数（Weierstrass function）とは、定数 $0< a< 1$、$b>1$ について $W(x)=\sum_{n\ge0}a^n\cos(b^n\pi x)$ で定まる関数で、すべての点で連続なのに、$ab$ が大きいとどの点でも微分係数をもたない古典的な例である。$ab< 1$ なら項別に微分できて $C^1$ 級だが、$b$ が奇数の整数で $ab>1+\frac32\pi$ なら、各点のすぐ左右に符号が反対で大きさが $(ab)^m$ 程度の平均変化率が現れ、有限・無限の微分係数をもたず、どの区間でも単調でない。$ab>1$ では指数 $\log(1/a)/\log b$ の Hölder 条件を満たし、Hardy は $ab\ge1$ だけでどの点でも有限の微分係数をもたないことを示した。
Weierstrass 関数（Weierstrass function）は、定数 $0< a<1$、$b>1$ について
$$
W(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)
$$
で定まる関数である。各項は滑らかな余弦関数で、番号 $n$ が進むと振幅 $a^n$ は小さくなり、振動数 $b^n$ は大きくなる。級数は一様収束するので $W$ はすべての点で連続だが、$ab$ が大きいとどの点でも微分係数をもたない。Weierstrass は、$b$ が奇数の整数で $ab>1+\frac32\pi$ のときにこれを示した（Har16 §1.1、p. 301）。連続関数は「ほとんどの点では微分できるだろう」という素朴な期待を打ち消した、最も古い例の一つである。
この記事では次を証明する。
- 連続性と関数方程式 $W(x)=\cos(\pi x)+a\,W(bx)$。
- $ab<1$ なら $W$ は $C^1$ 級であること。
- $b$ が奇数の整数で $ab>1+\frac32\pi$ なら、$W$ はどの点でも有限・無限の微分係数をもたず、どの区間でも単調でないこと（Weierstrass の定理）。
- $ab>1$ のとき、$\xi=\log(1/a)/\log b$ を指数とする Hölder 条件 $\lvert W(x+h)-W(x)\rvert\le C\lvert h\rvert^{\xi}$ が成り立つこと。Weierstrass の条件のもとでは、どの点でもこれより大きい指数の Hölder 条件は成り立たないこと。
条件を $ab\ge1$ だけに弱めても、どの点でも有限の微分係数をもたないことは Hardy が示した（thm-wf-hardy。この記事では証明しない）。三角の波を縮めて足す同じ種類の例は、微分できない連続関数 と 高木関数 で扱う。
定義と基本性質
$0< a<1$、$b>1$ を実数とする。$x\in\mathbb{R}$ について
$$
W(x)=W_{a,b}(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)
$$
と定め、パラメータ $a,b$ の Weierstrass 関数 という。最初の $N+1$ 項の和を $W_N(x):=\sum_{n=0}^{N}a^n\cos(b^n\pi x)$（$N\ge0$）と書く。
文献によっては、$\sum a^n\cos(b^nx)$ や正弦の級数 $\sum a^n\sin(b^n\pi x)$ も同じ名で呼ぶ。$\pi$ を付けておくと、$b$ が整数のとき $W$ は周期 $2$ の関数になる。
- 級数は $\mathbb{R}$ 上で一様収束し、$W$ は連続である。すべての $x$ で $\lvert W(x)-W_N(x)\rvert\le\frac{a^{N+1}}{1-a}$、$\lvert W(x)\rvert\le\frac1{1-a}$ である。
- $W(-x)=W(x)$ であり、関数方程式 $W(x)=\cos(\pi x)+a\,W(bx)$ が成り立つ。
- $b$ が整数なら $W(x+2)=W(x)$ である。$b$ が奇数の整数なら、さらに $W(1-x)=-W(x)$ が成り立ち、$W$ の最大値は $W(0)=\frac1{1-a}$、最小値は $W(1)=-\frac1{1-a}$ で、$W(\frac12)=0$ である。
要点：1 は優級数 $\sum a^n$ による。2 は項ごとの計算である。3 は、$b^n$ が奇数のとき $\cos(b^n\pi(1-x))=-\cos(b^n\pi x)$ となることによる。
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1. $\lvert a^n\cos(b^n\pi x)\rvert\le a^n$ で、$\sum_na^n=\frac1{1-a}$ は収束する。Weierstrassの優級数判定法 の定理「Weierstrassの優級数判定法」により級数は一様収束し、一様収束 の定理「連続関数の一様極限の連続性」により $W$ は連続である。差は $\lvert W(x)-W_N(x)\rvert\le\sum_{n>N}a^n=\frac{a^{N+1}}{1-a}$ と押さえられる。
2. 余弦は偶関数なので $W(-x)=W(x)$ である。$a\,W(bx)=\sum_{n\ge0}a^{n+1}\cos(b^{n+1}\pi x)=\sum_{n\ge1}a^n\cos(b^n\pi x)$ に $n=0$ の項 $\cos(\pi x)$ を足すと $W(x)$ になる。
3. $b$ が整数なら $b^n$ も整数で、$\cos(b^n\pi(x+2))=\cos(b^n\pi x+2b^n\pi)=\cos(b^n\pi x)$ である。$b$ が奇数なら $b^n$ も奇数で、$\cos(b^n\pi)=-1$、$\sin(b^n\pi)=0$ なので、加法定理から $\cos(b^n\pi-b^n\pi x)=-\cos(b^n\pi x)$ となり、$W(1-x)=-W(x)$ を得る。$x=\frac12$ とおくと $W(\frac12)=-W(\frac12)$ なので $W(\frac12)=0$ である。最後に、1 から $\lvert W(x)\rvert\le\frac1{1-a}$ で、$x=0$ ではすべての項が $a^n$ なので $W(0)=\frac1{1-a}$、$W(1)=-W(0)$ である。$\square$
$b$ が奇数の整数とする。$m\ge0$ と整数 $j$ について、$n\ge m$ では $b^n\pi\cdot\frac j{b^m}=b^{n-m}j\pi$ で、$b^{n-m}j$ の偶奇は $j$ と同じなので、$\cos(b^{n-m}j\pi)=(-1)^j$ である。よって
$$
W\Bigl(\frac j{b^m}\Bigr)=\sum_{n=0}^{m-1}a^n\cos\Bigl(\frac{j\pi}{b^{m-n}}\Bigr)+(-1)^j\frac{a^m}{1-a}
$$
である。たとえば $b=3$、$x=\frac13$（$m=1$、$j=1$）では $W(\frac13)=\cos\frac\pi3-\frac a{1-a}=\frac12-\frac a{1-a}$ で、$a=\frac12$ なら $W(\frac13)=-\frac12$ である。
a=1/2、b=3 の Weierstrass 関数 W のグラフ（青、-1 ≤ x ≤ 1）と部分和 W_0、W_1、W_2（灰色）。W は x=0 で最大値 2、x=±1 で最小値 -2 をとり、細かな山と谷が無限に重なっている
図 1 は $a=\frac12$、$b=3$（$ab=\frac32$）の $W$ である。関数方程式 $W(x)=\cos(\pi x)+a\,W(bx)$ は、$W$ のグラフが「大きな余弦の波」に「横に $\frac1b$、縦に $a$ 倍に縮めた $W$ 自身」を重ねたものであることを表す。どの部分を拡大しても、同じ種類のぎざぎざが現れる。
振幅と振動数のつり合い
第 $n$ 項 $a^n\cos(b^n\pi x)$ は、高さ $a^n$ の波で、傾きの大きさは最大で $\pi(ab)^n$ である。したがって
- $ab<1$ なら、項ごとの傾きの和 $\sum\pi(ab)^n$ が収束し、$W$ は微分できる（prop-wf-smooth）。
- $ab>1$ なら、傾きは等比数列的に急になる。幅 $b^{-m}$ の区間で第 $m$ 項は $a^m$ ほど変化し、それまでの項の変化の和はたかだか $\frac{\pi}{ab-1}a^m$ 程度である。$ab$ が十分大きければ第 $m$ 項が勝ち、平均変化率はおよそ $(ab)^m$ の大きさになる（thm-wf-main）。
また、幅 $b^{-m}$ の区間での変化 $a^m$ は、$a=b^{-\xi}$ とおくと $(b^{-m})^{\xi}$ と書ける。これが Hölder 条件の指数 $\xi=\frac{\log(1/a)}{\log b}$ の由来である（prop-wf-holder）。条件 結論 この記事での扱い $ab<1$ $C^1$ 級（項別に微分できる） prop-wf-smooth で証明 $ab=1$ どの点でも有限の微分係数をもたない。$0<\lvert h\rvert\le\frac12$ で $\lvert W(x+h)-W(x)\rvert\le C\lvert h\rvert\log(1/\lvert h\rvert)$ 前半は thm-wf-hardy で引用、後半は prop-wf-holder で証明 $ab>1$ どの点でも有限の微分係数をもたない。指数 $\xi$ の Hölder 条件 前半は thm-wf-hardy で引用、後半は prop-wf-holder で証明 $b$ は奇数、$ab>1+\frac32\pi$ 有限・無限の微分係数をどの点でももたず、どの区間でも単調でない。指数 $\xi$ は最良 thm-wf-main・cor-wf-monotone・cor-wf-optimal で証明
$ab<1$ のとき
$ab<1$ なら $W$ は $C^1$ 級で、
$$
W'(x)=-\pi\sum_{n=0}^{\infty}(ab)^n\sin(b^n\pi x)
$$
である。より一般に、整数 $k\ge1$ について $ab^k<1$ なら $W$ は $C^k$ 級で、$k$ 階までの導関数は項別に微分した級数で与えられる。
要点：項別に微分した級数が、収束する優級数 $\sum\pi^j(ab^j)^n$ をもつ。
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$u_n(x):=a^n\cos(b^n\pi x)$ の $j$ 階導関数は、$\pm a^n(b^n\pi)^j\cos(b^n\pi x)$ または $\pm a^n(b^n\pi)^j\sin(b^n\pi x)$ なので、絶対値は $\pi^j(ab^j)^n$ 以下である。$b>1$ なので $1\le j\le k$ では $ab^j\le ab^k< 1$ で、$\sum_n\pi^j(ab^j)^n$ は収束する。よって Weierstrassの優級数判定法 の定理「Weierstrassの優級数判定法」により、$\sum_nu_n^{(j)}$（$0\le j\le k$）はどれも一様収束する。
$j=1,\dots,k$ の順に、一様収束 の定理「一様収束と微分の交換」を使う。$\sum_nu_n^{(j-1)}$ は各点で収束し、項を微分した $\sum_nu_n^{(j)}$ は一様収束するので、$\sum_nu_n^{(j-1)}$ の和は微分でき、導関数は $\sum_nu_n^{(j)}$ である。これは連続関数の一様極限なので連続である。$j=1$ の場合が $W'$ の式である。$\square$
たとえば $a=\frac14$、$b=3$ では $ab=\frac34< 1$ なので $W$ は $C^1$ 級である（$ab^2=\frac94>1$ なので、この命題からは $C^2$ 級とは言えない）。$b=3$ のまま $a$ を大きくしていくと、$a=\frac13$ で $ab=1$ となり、そこを境にグラフは滑らかでなくなる（図 2）。
b=3 で a を変えた Weierstrass 関数（0 ≤ x ≤ 2）。左から a=1/4（ab=3/4、滑らか）、a=1/3（ab=1）、a=3/5（ab=9/5、ぎざぎざ）
Weierstrass の定理
以下この節では、$b$ は奇数の整数で、$ab>1+\frac32\pi$ とする。このとき
$$
c:=\frac23-\frac{\pi}{ab-1}
$$
は正である（$ab-1>\frac32\pi$ と同値）。たとえば $a=\frac12$、$b=13$（$ab=6.5$）や $a=\frac9{10}$、$b=7$（$ab=6.3$）がこの条件を満たす。
$0< a<1$、$b$ を奇数の整数とし、$ab>1+\frac32\pi$ とする。各 $x\in\mathbb{R}$ と $m\ge1$ に対し、次を満たす点 $x_m'< x< x_m''$ と整数 $\alpha_m$ がある。
- $x-x_m'$ と $x_m''-x$ はどちらも $\frac1{2b^m}$ 以上 $\frac3{2b^m}$ 以下である。
- 平均変化率 $Q_m':=\dfrac{W(x_m')-W(x)}{x_m'-x}$、$Q_m'':=\dfrac{W(x_m'')-W(x)}{x_m''-x}$ について
$$ (-1)^{\alpha_m}Q_m'\ge c\,(ab)^m,\qquad (-1)^{\alpha_m}Q_m''\le-c\,(ab)^m. $$
とくに $W$ はどの点でも微分できない。さらに、平均変化率が $+\infty$ や $-\infty$ に発散するという意味の微分係数ももたない。
要点：$x$ を $b^{-m}$ 刻みの格子の隣の点ではさむ。第 $m$ 項から先の項は、格子点で値が $\pm1$ にそろうので、平均変化率への寄与が同じ符号で足し合わさり、大きさ $\frac23(ab)^m$ 以上になる。第 $m$ 項より前の項の寄与は、平均値の定理により $\frac{\pi}{ab-1}(ab)^m$ 未満である。
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段 1（点の選び方）． $\alpha_m:=\lfloor b^mx+\frac12\rfloor$（$b^mx$ に最も近い整数の一つ）とし、$\theta_m:=b^mx-\alpha_m$ とおくと $-\frac12\le\theta_m< \frac12$ である。$x_m':=\frac{\alpha_m-1}{b^m}$、$x_m'':=\frac{\alpha_m+1}{b^m}$ とおくと、$x-x_m'=\frac{1+\theta_m}{b^m}$、$x_m''-x=\frac{1-\theta_m}{b^m}$ で、$\frac12\le1\pm\theta_m\le\frac32$ から 1 が従う。
段 2（前の項）． $n< m$ とする。平均値の定理 により $\lvert\cos u-\cos v\rvert\le\lvert u-v\rvert$ なので、$\lvert a^n(\cos(b^n\pi x_m')-\cos(b^n\pi x))\rvert\le\pi(ab)^n\lvert x_m'-x\rvert$ である。よって
$$\Bigl\lvert\frac{W_{m-1}(x_m')-W_{m-1}(x)}{x_m'-x}\Bigr\rvert\le\pi\sum_{n=0}^{m-1}(ab)^n=\pi\frac{(ab)^m-1}{ab-1}< \frac{\pi}{ab-1}(ab)^m.$$
段 3（後の項）． $n=m+k$（$k\ge0$）とする。$b^k$ は奇数なので、$b^n\pi x_m'=b^k(\alpha_m-1)\pi$ の余弦は $(-1)^{\alpha_m-1}=-(-1)^{\alpha_m}$ である。また $b^n\pi x=b^k\alpha_m\pi+b^k\theta_m\pi$ で、$\sin(b^k\alpha_m\pi)=0$、$\cos(b^k\alpha_m\pi)=(-1)^{\alpha_m}$ なので、加法定理から $\cos(b^n\pi x)=(-1)^{\alpha_m}\cos(b^k\pi\theta_m)$ である。$x_m'-x=-\frac{1+\theta_m}{b^m}$ で割ると
$$a^{m+k}\,\frac{\cos(b^n\pi x_m')-\cos(b^n\pi x)}{x_m'-x}=(-1)^{\alpha_m}(ab)^m\,a^k\,\frac{1+\cos(b^k\pi\theta_m)}{1+\theta_m}$$
となる。右辺の $a^k\frac{1+\cos(b^k\pi\theta_m)}{1+\theta_m}$ はどの $k$ でも $0$ 以上である。$k=0$ では、$\lvert\theta_m\rvert\le\frac12$ から $\cos(\pi\theta_m)\ge0$ で、$1+\theta_m\le\frac32$ なので、この値は $\frac23$ 以上である。したがって、$n\ge m$ の項の寄与の和を $(-1)^{\alpha_m}(ab)^mT_m'$ と書くと $T_m'\ge\frac23$ である（項ごとの和は、2 つの収束する級数の差として収束する）。
段 4（まとめ）． 段 2・段 3 から $(-1)^{\alpha_m}Q_m'\ge(ab)^m\bigl(\frac23-\frac{\pi}{ab-1}\bigr)=c\,(ab)^m$ である。
段 5（右の点）． $x_m''$ についても同様に、$b^n\pi x_m''=b^k(\alpha_m+1)\pi$ の余弦は $-(-1)^{\alpha_m}$ で、$x_m''-x=\frac{1-\theta_m}{b^m}$ で割ると、$n=m+k$ の項の寄与は $-(-1)^{\alpha_m}(ab)^m\,a^k\frac{1+\cos(b^k\pi\theta_m)}{1-\theta_m}$ となる。$k=0$ の値は $1-\theta_m\le\frac32$ から $\frac23$ 以上で、$(-1)^{\alpha_m}Q_m''\le-c\,(ab)^m$ を得る。
段 6（微分できないこと）． $m\to\infty$ で $x_m'$、$x_m''$ は $x$ と異なったまま $x$ に近づく。$x$ で有限の微分係数 $L$ があれば $Q_m'\to L$ となるが、$\lvert Q_m'\rvert\ge c\,(ab)^m\to\infty$ なので矛盾する。平均変化率が $+\infty$ に発散するなら、十分大きい $m$ で $Q_m'$ と $Q_m''$ はどちらも正になるが、2 の不等式から両者の符号は反対なので矛盾する。$-\infty$ も同じである。$\square$
a=1/2、b=13 の W のグラフ（0.2 ≤ x ≤ 0.42）と、x=0.3 から格子 j/13 の隣の 2 点 x_1'=3/13、x_1''=5/13 へ引いた弦。左の弦は右上がり、右の弦は右下がりで、どちらも傾きが大きい
図 3 は $m=1$ の場合である。$b\,x=3.9$ に最も近い整数は $\alpha_1=4$ で、$x_1'=\frac3{13}$、$x_1''=\frac5{13}$ への弦の傾きは、符号が反対でどちらも絶対値が $15$ を超える（数値計算による）。$m$ を大きくすると、弦は短くなるのに傾きは $(ab)^m$ の程度で急になる。
条件 $ab>1+\frac32\pi$ は、段 3 の下界 $\frac23$ が段 2 の上界 $\frac{\pi}{ab-1}$ を上回るための条件で、問題の本質から来るものではない。$b$ が奇数であることは段 3 で、格子点での値 $\cos(b^k(\alpha_m\pm1)\pi)$ の符号がすべての $k$ でそろうために使った。Weierstrass の条件は Bromwich・Dini・Lerch によって改良され（Har16 §1.2、pp. 302–303）、最終的に Hardy が $ab\ge1$ にまで弱めた（thm-wf-hardy）。
thm-wf-main の仮定のもとで、$W$ は空でないどの開区間の上でも単調でない。
$W$ がある開区間 $I$ で単調増加（広義）だったとする。$x\in I$ をとると、十分大きい $m$ で $x_m',x_m''\in I$ となる。単調増加なら、$I$ の 2 点を結ぶ弦の傾きはすべて $0$ 以上なので、$Q_m'\ge0$ かつ $Q_m''\ge0$ である。しかし thm-wf-main の 2 により、$Q_m'$ と $Q_m''$ の一方は $c\,(ab)^m>0$ 以上の大きさの負の数である。矛盾する。単調減少の場合も同じである。$\square$
単調関数 の定理「Lebesgue の単調関数の微分定理」によれば、単調関数はほとんどいたるところ微分できる。有界閉区間の上で有界変動な関数は、そこで 2 つの単調増加関数の差なので（同じ記事の定理「Jordan 分解」）、やはりその区間でほとんどいたるところ微分できる。どこでも微分できない $W$ は、したがってどの有界閉区間（長さが正のもの）の上でも有界変動でない（有界変動関数）。この結論は、Hardy の定理（thm-wf-hardy）を使えば $ab\ge1$ のすべての場合に成り立つ。
Hölder 条件
$0< a<1$、$b>1$ とする。
- $ab>1$ のとき、$\xi:=\dfrac{\log(1/a)}{\log b}$ は $0<\xi<1$ を満たし、すべての $x$ と $0<\lvert h\rvert\le1$ で
$$ \lvert W(x+h)-W(x)\rvert\le C\lvert h\rvert^{\xi},\qquad C:=\frac{\pi b}{ab-1}+\frac2{1-a} $$
が成り立つ。 - $ab=1$ のとき、すべての $x$ と $0<\lvert h\rvert\le1$ で
$$ \lvert W(x+h)-W(x)\rvert\le\Bigl(\pi\Bigl(1+\log_b\frac1{\lvert h\rvert}\Bigr)+\frac2{1-a}\Bigr)\lvert h\rvert $$
が成り立つ。
要点：$b^{-(N+1)}< \lvert h\rvert\le b^{-N}$ となる $N$ で級数を 2 つに分ける。前の項は平均値の定理で、後の項は振幅の和で押さえる。
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$0<\lvert h\rvert\le1$、$b>1$ なので、$b^{-(N+1)}< \lvert h\rvert\le b^{-N}$ を満たす整数 $N\ge0$ がある。$n\le N$ の項は $\lvert\cos u-\cos v\rvert\le\lvert u-v\rvert$ により $a^n\pi b^n\lvert h\rvert$ 以下、$n>N$ の項は $2a^n$ 以下なので
$$\lvert W(x+h)-W(x)\rvert\le\pi\lvert h\rvert\sum_{n=0}^{N}(ab)^n+\frac{2a^{N+1}}{1-a}.$$
1. $ab>1$ とする。$ab>1$ は $\log b>\log(1/a)>0$ と同値なので $0<\xi<1$ である。$\sum_{n=0}^N(ab)^n< \frac{(ab)^{N+1}}{ab-1}$ で、$\lvert h\rvert b^{N+1}\le b$ なので $\pi\lvert h\rvert(ab)^{N+1}\le\pi b\,a^{N+1}$ である。$a=b^{-\xi}$ だから $a^{N+1}=(b^{-(N+1)})^{\xi}< \lvert h\rvert^{\xi}$ となり、2 つの項を合わせて $C\lvert h\rvert^{\xi}$ 以下である。
2. $ab=1$ とする。$\sum_{n=0}^N(ab)^n=N+1$ で、$b^{-N}\ge\lvert h\rvert$ から $N\le\log_b\frac1{\lvert h\rvert}$ である。また $a^{N+1}=b^{-(N+1)}< \lvert h\rvert$ である。$\square$
$\xi<1$ なので、1 の評価から $W$ が微分できないとは言えない。逆向きの評価が要る。Weierstrass の条件のもとでは、thm-wf-main の点 $x_m'$ がそれを与える。
thm-wf-main の仮定のもとで、$\xi=\frac{\log(1/a)}{\log b}$ とおく。各 $x$ と $m\ge1$ について
$$
\lvert W(x_m')-W(x)\rvert\ge\frac c2\Bigl(\frac23\Bigr)^{\xi}\lvert x_m'-x\rvert^{\xi}
$$
である。とくに $\beta>\xi$ なら、どの点 $x$ でも、$0<\lvert h\rvert\le\delta$ で $\lvert W(x+h)-W(x)\rvert\le C'\lvert h\rvert^{\beta}$ となる定数 $C',\delta>0$ はない。
thm-wf-main の 1・2 から $\lvert W(x_m')-W(x)\rvert=\lvert Q_m'\rvert\lvert x_m'-x\rvert\ge c\,(ab)^m\cdot\frac1{2b^m}=\frac c2a^m$ である。$\lvert x_m'-x\rvert\le\frac3{2b^m}$ から $b^{-m}\ge\frac23\lvert x_m'-x\rvert$ で、$a^m=(b^{-m})^{\xi}\ge(\frac23)^{\xi}\lvert x_m'-x\rvert^{\xi}$ である。これで不等式が示せた。$\beta>\xi$ のとき $h_m:=x_m'-x\to0$ で、$\frac{\lvert W(x+h_m)-W(x)\rvert}{\lvert h_m\rvert^{\beta}}\ge\frac c2(\frac23)^{\xi}\lvert h_m\rvert^{\xi-\beta}\to\infty$ なので、そのような $C'$ はない。$\square$
Hardy は、$ab>1$ のすべての場合（$b$ は整数でなくてよい）に、$W$ と正弦の級数がどの点でも $W(x+h)-W(x)=O(\lvert h\rvert^{\xi})$ を満たし、どの点でも $o(\lvert h\rvert^{\xi})$ を満たさないことを示している（Har16 1.33、p. 303）。Hölder 条件の一般論は Hölder空間 にある。
Hardy の定理
$0< a<1$、$b>1$（整数でなくてよい）で $ab\ge1$ なら、$\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$ と $\sum_{n=0}^\infty a^n\sin(b^n\pi x)$ は、どちらもどの点でも有限の微分係数をもたない（Har16 Theorem 1.31、p. 303。この記事では証明しない）。
この定理の「有限の」は外せない。外した主張は成り立たない（Har16 Theorem 1.32、p. 303）。つまり $ab\ge1$ でも、平均変化率が $+\infty$ や $-\infty$ に発散する点をもつ場合がある。これは、Weierstrass の条件のもとで無限の微分係数も否定した thm-wf-main と矛盾しない。
Hardy の方法は、級数を単位円板上の調和関数の境界の値とみなし、境界での値の変化の大きさと、内部での微分の大きさを比べるものである（Har16 §2）。$ab=1$ は prop-wf-smooth の証明の優級数がちょうど収束しなくなる境目で、prop-wf-smooth と合わせると、$C^1$ 級になるかどうかは $ab< 1$ かどうかで決まる。
反例：条件を外すと崩れること
| 反例 | 満たす性質 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $a=1$ の $\sum\cos(b^n\pi x)$ | 各項は連続で有界 | 級数の収束（$0< a< 1$ を外す） |
| $a=\frac14$、$b=3$ の $W$ | 連続、$b$ は奇数 | どこでも微分できないこと（$ab\ge1$ を外す） |
| 部分和 $W_N$ | 連続、$ab$ は何でもよい | どこでも微分できないこと（無限に足すことを外す） |
| $a=\frac12$、$b=13$ の $W$ | すべての点で連続 | 「連続ならどこかの点で微分できる」 |
| $a=\frac12$、$b=13$ の $W$ | 指数 $\xi$ の Hölder 条件 | 「Hölder 連続なら、ほとんどいたるところ微分できる」 |
1 行目：$x=0$ では各項が $1$ で、部分和は $N+1$ となり、級数は収束しない。$0< a< 1$ は、優級数 $\sum a^n$ が収束して prop-wf-basic の 1 を支えている。
2 行目：$ab=\frac34< 1$ なので、prop-wf-smooth により $W$ は $C^1$ 級である。$b$ が奇数でも、$ab$ が小さいとどこでも微分できる。
3 行目：$W_N$ は三角関数の有限和なので、何回でも微分できる。どこでも微分できないことは、無限に足すことで初めて起こる。
4 行目：$ab=6.5>1+\frac32\pi$ なので、prop-wf-basic の 1 と thm-wf-main により、$W$ はすべての点で連続で、どの点でも微分できない。満たす性質は「すべての点で連続」、満たさない性質は「ある点で微分できる」である。
5 行目：$\xi=\frac{\log2}{\log13}\approx0.27$ で、prop-wf-holder の 1 により $W$ は指数 $\xi$ の Hölder 条件を満たす。それでも thm-wf-main によりどこでも微分できない。指数 $1$ の場合（Lipschitz連続）とは事情が違う。Lipschitz 連続な関数は有界な区間の上で有界変動なので、cor-wf-monotone の後に述べた Lebesgue の定理によりほとんどいたるところ微分できる。指数が $1$ より小さい Hölder 条件は、そこまでは導かない。
thm-wf-main の証明は、$b$ が偶数だと段 3 で崩れる。$b$ が偶数なら $k\ge1$ で $b^k(\alpha_m\pm1)$ は偶数になり、格子点での余弦の値が $1$ になって、$k=0$ の項と符号がそろわないからである。それでも $ab\ge1$ なら、Hardy の定理によりどこでも有限の微分係数はない。崩れるのは証明の議論で、結論ではない。
補足
- Riemann の関数：$\sum_{n\ge1}\frac{\sin(n^2\pi x)}{n^2}$ は、どの区間にも無限に現れるある点たちで微分できないと Riemann が主張したと伝えられる関数で（Har16 §4.3）、振動数 $n^2$ の増え方が等比数列よりずっと遅いため、扱いはずっと難しい。Hardy はこの関数が、すべての無理数 $x$ と、$\frac{2\lambda+1}{2\mu}$・$\frac{2\lambda}{4\mu+1}$（$\lambda,\mu$ は整数）の形の有理数 $x$ で微分できないことを示した（Har16 §4.3、pp. 322–323）。
- ほかの構成：三角の波 $\varphi$ を使った $\sum\left(\frac34\right)^n\varphi(4^nx)$ は 微分できない連続関数 で、$\sum2^{-n}\varphi(2^nx)$ は 高木関数 で扱う。どちらも平均変化率を格子点で計算するところは thm-wf-main と同じ考え方である。どの点でも片側の有限・無限の微分係数ももたない連続関数もある（GO03 第 3 章 Example 8 の後の注意、p. 39）。
- 典型的な連続関数：$[0,1]$ 上の連続関数全体に一様収束の距離を入れると、少なくとも 1 点で有限の片側微分係数をもつ関数の全体は第 1 類集合になり、どの点でも微分できない関数のほうが「典型的」である（Baireのカテゴリー定理 の節「帰結」）。確率論では、Brown運動 の道が確率 $1$ でどこでも微分できない。
関連項目
- 前提: 一様収束, 連続関数, 平均値の定理
- 比較: 微分できない連続関数, 高木関数
- 関連: Hölder空間, 単調関数, 有界変動関数, Lipschitz連続
- 発展: Fourier級数, Brown運動, Baireのカテゴリー定理
参考文献
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