被約環

1 ⇒ 2 は $n=2$ の場合である。
2 ⇒ 1。$x^n=0$（$n\ge1$）とし、$2^m\ge n$ となる $m\ge0$ をとる。$x^{2^m}=x^nx^{2^m-n}=0$ である。$m\ge1$ なら $(x^{2^{m-1}})^2=x^{2^m}=0$ なので、2 により $x^{2^{m-1}}=0$ である。これを繰り返して $x^{2^0}=x=0$ を得る。
1 ⇔ 3。冪零根基 の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」により、$\operatorname{nil}(A)$ はすべての素イデアルの共通部分に等しい（$A$ が零環のときは素イデアルがなく、空な共通部分は $A=\{0\}$ である）。したがって $\operatorname{nil}(A)=\{0\}$ と 3 は同じ条件である。
3 ⇒ 4。各素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$A/\mathfrak{p}$ は整域であり（素イデアル の記事の命題「剰余環が整域であることとの同値」）、その商体を $\kappa(\mathfrak{p})$ と書く（これは $\mathfrak{p}$ における剰余体と同型である）。合成 $A\to A/\mathfrak{p}\to\kappa(\mathfrak{p})$ は環準同型であり、整域から商体への写像は単射なので、その核は $\mathfrak{p}$ である。これらを並べた
$$ \iota\colon A\to\prod_{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A}\kappa(\mathfrak{p}),\qquad a\mapsto\bigl(a\bmod\mathfrak{p}\bigr)_{\mathfrak{p}} $$
は、成分ごとに環準同型なので環準同型であり、核はすべての素イデアルの共通部分である。3 によりこれは $\{0\}$ なので、$\iota$ は単射である。$A$ が零環のときは空な直積（零環）への写像になり、これも単射である。
4 ⇒ 5。体は整域であり、単射な環準同型 $\iota$ の像 $\iota(A)$ は直積環の部分環で、$A$ と同型である。
5 ⇒ 1。まず、整域 $D$ は被約である。実際 $x\neq0$ なら、整域では $0$ でない元の積は $0$ でないので、帰納法により $x^n\neq0$ がすべての $n\ge1$ で成り立つ。次に、直積環 $\prod_\lambda D_\lambda$ では冪は成分ごとにとられるので、$(x_\lambda)^n=0$ なら各 $\lambda$ で $x_\lambda^n=0$、したがって $x_\lambda=0$ である。よって整域の直積環は被約である。最後に、被約環 $B$ の部分環 $C$ の元 $x$ が $C$ で $x^n=0$ を満たせば、$B$ でも $x^n=0$ なので $x=0$ であり、$C$ も被約である。被約性は環の同型で保たれるので、$A$ は被約である。

1. $\varphi\colon A\to B$ を単射な環準同型とする。$x^n=0$ なら $\varphi(x)^n=\varphi(x^n)=0$ なので、$B$ が被約であることから $\varphi(x)=0$ であり、単射性により $x=0$ である。部分環の包含写像は単射な環準同型である。
2. すべての $A_\lambda$ が被約なら、冪は成分ごとにとられるので、$(x_\lambda)^n=0$ から各 $x_\lambda^n=0$、したがって各 $x_\lambda=0$ である。逆に直積環が被約とし、$x\in A_\mu$ が $x^n=0$ を満たすとする。第 $\mu$ 成分が $x$、他の成分が $0$ の元 $y$ は $y^n=0$ を満たすので $y=0$、すなわち $x=0$ である。
3. 冪零根基 の記事の命題「局所化と冪零根基」による。
4. $A$ は $A[x]$ の部分環なので、$A[x]$ が被約なら 1 により $A$ も被約である。逆は 冪零元 の記事の命題「多項式環の冪零元」による。
5. $A$ は $A[\![x]\!]$ の部分環なので、1 により $A[\![x]\!]$ が被約なら $A$ も被約である。逆に $A$ を被約とし、$f=\sum_{i\ge0}a_ix^i\in A[\![x]\!]$ を $0$ でない元とする。$a_k\neq0$ となる最小の $k$ をとると、$f=x^k(a_k+a_{k+1}x+\cdots)$ であり、$n\ge1$ について
   $$ f^n=x^{nk}\bigl(a_k^n+(\text{$x$ で割り切れる項})\bigr) $$
   となる。$f^n$ の $x^{nk}$ の係数は $a_k^n$ であり、$A$ が被約で $a_k\neq0$ なので $a_k^n\neq0$ である。よって $f^n\neq0$ であり、$A[\![x]\!]$ は被約である。
6. 冪零根基 の記事の命題「被約化の性質」の 1 による。

$f=0$ なら $k[x]/(0)\cong k[x]$ は整域なので被約である。以下 $f\neq0$ とし、$f=c\,p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ と分解する（既約多項式 の記事の注意「素元分解と体の構成」）。定数でない多項式 $g$ について $g^2\mid f$ なら、$g$ の既約因子 $p_i$ について $p_i^2\mid f$ となり $e_i\ge2$ である。逆に $e_i\ge2$ なら $g=p_i$ で $g^2\mid f$ である。よって 2 つの条件の言い換えは正しい。
ある $e_i\ge2$ とする。$g:=f/p_i$ は多項式であり、$\deg g<\deg f$ なので $f\nmid g$、すなわち $\bar g\neq0$ である。一方 $f/p_i^2$ も多項式で、$g^2=f\cdot(f/p_i^2)$ なので $\bar g^{\,2}=0$ である。よって $k[x]/(f)$ は被約でない。
すべての $e_i=1$ とする。$r=0$ なら $f=c$ は単元で、$k[x]/(f)$ は零環なので被約である。$r\ge1$ とする。既約多項式 の記事の命題「体上の多項式環における既約性の言い換え」により各 $(p_i)$ は極大イデアルで、$k[x]/(p_i)$ は体である。$i\neq j$ なら $(p_i)\neq(p_j)$ である（等しければ $p_i$ と $p_j$ は互いに割り切り合い、ともにモニックなので一致する）。相異なる極大イデアルの和は、どちらかを真に含むイデアルなので全体であり、$(p_i)+(p_j)=k[x]$、すなわち $(p_i)$ たちは対ごとに互いに素である。互いに素 の記事の定理「剰余環の直積への分解」の 3 により
$$ k[x]/(f)=k[x]/(p_1p_2\cdots p_r)\cong k[x]/(p_1)\times\cdots\times k[x]/(p_r) $$
であり（$c$ は単元なので $(f)=(p_1\cdots p_r)$）、右辺は体の直積なので被約である（prop-reduced-ring-constructions の 2）。

1. 局所化 の記事の定理「素イデアルの対応」（$S=A\setminus\mathfrak{p}$ の場合）により、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}$ に含まれる $A$ の素イデアルと一対一に対応する。$\mathfrak{p}$ は極小なので、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ ただ 1 つである。一方 $A_{\mathfrak{p}}$ は被約である（prop-reduced-ring-constructions の 3）。冪零根基 の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」を $A_{\mathfrak{p}}$ に適用すると $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\operatorname{nil}(A_{\mathfrak{p}})=\{0\}$ である。$A_{\mathfrak{p}}$ は極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ をもつ局所環であり（局所化 の記事の系「素イデアルにおける局所化の局所性」）、その極大イデアルが $\{0\}$ なので、$0$ でない元はすべて単元である。$A_{\mathfrak{p}}$ は零環でない（素イデアルをもつ）ので体である。
2. $\mathfrak{p}$ を極小素イデアル、$x\in\mathfrak{p}$ とする。1 の証明により $x/1\in\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\{0\}$ なので、局所化の定義により $tx=0$ となる $t\in A\setminus\mathfrak{p}$ がある。$0\in\mathfrak{p}$ なので $t\neq0$ であり、$x$ は零因子である。
   逆に $x\in Z(A)$ とし、$xy=0$、$y\neq0$ とする。$A$ は被約なので極小素イデアル全体の共通部分は $\{0\}$ であり（本節冒頭）、$y\notin\mathfrak{p}$ となる極小素イデアル $\mathfrak{p}$ がある。$xy=0\in\mathfrak{p}$ と $y\notin\mathfrak{p}$ から $x\in\mathfrak{p}$ である。
3. Noether環の極小素イデアルが有限個であることは Mat86 §6 による（極小素イデアルは $A$ の随伴素イデアルであり、Noether環の随伴素イデアルは有限個である）。写像の核は $\mathfrak{p}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{p}_r$ であり、本節冒頭によりこれは $\{0\}$ なので単射である。最後の等式は 2 である。