巡回群の指標と直交関係

$n=4$、$\zeta=i$、$t=1$ とし、$k$ に $i^k$ を対応させる。

1. $2+3=5$ に対して $i^2\cdot i^3=(-1)\cdot(-i)=i=i^5$。
2. $1+3=4$ に対して $i^1\cdot i^3=i\cdot(-i)=1=i^4=i^0$。
   また $i^k$ は $k$ を 4 で割った余りだけで決まる（$i^5=i^1$、$i^4=i^0$）。つまり $i^k$ は「4 で割った余り」の足し算を、複素数の掛け算に写している。

1. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{\overline0,\overline1,\overline2,\overline3\}$：$\overline3+\overline2=\overline5=\overline1$、$-\overline1=\overline3$。
2. $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$：$0,1$ の組 $(a,b)$ の 4 個に、成分ごとに 2 で割った余りで足す演算を入れたもの。$(1,0)+(1,1)=(0,1)$ で、どの元も 2 回足すと $(0,0)$ に戻る。$\overline1$ に当たる「足し続けると全部が現れる元」はないので、巡回群ではない。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ とする。

1. $\chi(\overline k):=i^k$ は指標である。$i^4=1$ なので $i^k$ は $\overline k$ だけで決まり、$\chi(\overline k+\overline l)=i^{k+l}=i^ki^l=\chi(\overline k)\chi(\overline l)$ である（ex-chc-add-to-mul）。
2. $\chi(\overline k):=(-1)^k$ も指標である（$(-1)^4=1$ なので $\overline k$ だけで決まる）。
3. すべての $\overline k$ に $2$ を対応させる写像 $f$ は指標でない。$f(\overline0+\overline0)=f(\overline0)=2$ だが、$f(\overline0)f(\overline0)=4$ である。
4. $\chi(\overline k):=\zeta_3^k$（$\zeta_3=\omega$）は $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の上で定まらない。$\overline0=\overline4$ なのに $\omega^0=1$、$\omega^4=\omega$ と値が違うからである。

$\zeta_4=i$ なので、$\chi_t(\overline k)=i^{tk}$ の表は次のとおりである。

表は行と列を入れ替えても同じ（$\chi_t(\overline k)=i^{tk}$ は $t$ と $k$ について対称）である。ex-chc-character-check の 1 は $\chi_1$、2 は $\chi_2$ である。

ex-chc-table-four の表を使う。

1. 1. で $\chi=\chi_1$、$\psi=\chi_3$：$\chi_1(\overline k)\overline{\chi_3(\overline k)}=i^k\cdot\overline{(-i)^k}=i^k\cdot i^k=(-1)^k$ で、平均は $\frac14(1-1+1-1)=0$。
2. 1. で $\chi=\psi=\chi_1$：$|i^k|^2=1$ で、平均は $1$。
3. 2. で $g=\overline1$、$h=\overline3$：列 $\overline1$ の値 $1,i,-1,-i$ と、列 $\overline3$ の値の共役 $1,i,-1,-i$ を掛けると $1,-1,1,-1$ で、平均は $0$。

$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（ex-chc-groups の 2）の指標を求める。どの元 $g$ も $2\cdot g=0$ なので、prop-chc-basic の証明と同じく $\chi(g)^2=1$、すなわち $\chi(g)=\pm1$ である。$(a,b)=a\cdot(1,0)+b\cdot(0,1)$ なので、$\chi$ は $\chi(1,0)=\pm1$ と $\chi(0,1)=\pm1$ で決まり、高々 4 個である。実際 $\chi_{s,t}(a,b):=(-1)^{sa+tb}$（$s,t\in\{0,1\}$）の 4 個が指標で、表は次のとおりである。

どの 2 行も、成分ごとに掛けて足すと $0$ になり（(1) の確認）、どの 2 列も同じく $0$ になる。巡回群でなくても、指標は $|G|=4$ 個あり、(2) の形の関係も成り立っている。

$3$ 文字 $\{1,2,3\}$ の並べ替え（置換）全体 $S_3$ は、写像の合成について 6 個の元からなる群をなし、可換でない（可換でない群のもう 1 つの例は、平面の回転と鏡映の群である。回転・鏡映と行列の群 で扱う）。$G=S_3$ についても「$\chi(gh)=\chi(g)\chi(h)$ を満たす $\chi\colon G\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$」を考える。
段 1：2 文字だけを入れ替える互換 $\tau$ は $\tau^2=e$（恒等置換）なので $\chi(\tau)^2=1$、$\chi(\tau)=\pm1$ である。
段 2：互換 $\tau,\sigma$ について $\chi(\sigma\tau\sigma^{-1})=\chi(\sigma)\chi(\tau)\chi(\sigma)^{-1}=\chi(\tau)$ である。3 つの互換は互いにこの形で移り合う。たとえば $\sigma=(1\,2)$、$\tau=(2\,3)$ とすると、$\sigma^{-1}=\sigma$ で、$\sigma\tau\sigma^{-1}$ は $1\mapsto2\mapsto3\mapsto3$、$3\mapsto3\mapsto2\mapsto1$、$2\mapsto1\mapsto1\mapsto2$ と動かす（右の置換から順に施す）ので、$(1\,2)(2\,3)(1\,2)=(1\,3)$ である。同じように $(1\,3)(2\,3)(1\,3)=(1\,2)$ である。よって 3 つの互換での値はすべて等しい。
段 3：3 文字を巡回させる置換 $c$ は 2 つの互換の積なので $\chi(c)=(\pm1)^2=1$ である。すべての元は互換の積なので、$\chi$ は互換での値 $\pm1$ で決まり、高々 2 個しかない（実際には、自明な指標と、互換で $-1$ をとる「符号」の 2 個がある。符号が指標であることはここでは証明しない。以下の論証に使うのは「高々 2 個」だけである）。
すると $c\ne e$ なのに $\sum_\chi\chi(c)\overline{\chi(e)}=\sum_\chi1\ne0$ であり、thm-chc-orthogonality の (2) の形の関係が破れる。可換性の仮定を外すと、「指標で元を区別できる」ことが崩れる。非可換群では、$1$ 次元の指標の代わりに、行列に値をとる表現とその跡を使う必要がある。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ で、$\psi(\overline0)=\psi(\overline1)=1$、$\psi(\overline2)=\psi(\overline3)=-1$ と定める。$\psi(\overline1+\overline1)=\psi(\overline2)=-1$ だが $\psi(\overline1)\psi(\overline1)=1$ なので、$\psi$ は指標でない。$\psi$ と自明な指標 $\chi_0$ の平均は $\frac14(1+1-1-1)=0$ で直交するが、$\psi$ と $\chi_1$ では、$\overline{\chi_1(\overline k)}=1,-i,-1,i$ を使って $\frac14\bigl(1\cdot1+1\cdot(-i)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot i\bigr)=\frac14(2-2i)\ne0$ である。一方 $\psi\ne\chi_1$ である。「異なる 2 つは平均 $0$」という (1) の結論は、指標どうしでなければ成り立たない。