無限積

def-ip-convergence の $N_0$ をとり、$Q_N:=\prod_{n=N_0+1}^Nu_n$ とおく。$Q_N\to Q\ne0$ なので、$N>N_0+1$ に対し $u_N=Q_N/Q_{N-1}\to Q/Q=1$ である。$\square$

積を展開すると $\prod_{n=1}^N(1+a_n)-1=\sum_{S}\prod_{n\in S}a_n$ である。ここで $S$ は $\{1,\ldots,N\}$ の空でない部分集合全体を動く。三角不等式により左辺は $\sum_S\prod_{n\in S}|a_n|=\prod_{n=1}^N(1+|a_n|)-1$ 以下である。実数 $x\ge0$ に対し $1+x\le e^x$ なので、2 つ目の不等式も従う。$\square$

$A:=\sum_n|a_n|$, $T_N:=\sum_{n>N}|a_n|$ とおく。$T_N\to0$ である。
有限積の収束：lem-ip-basic-inequality により $|P_N|\le\prod_{n\le N}(1+|a_n|)\le e^{A}$ である。$M>N$ なら $P_M-P_N=P_N\bigl(\prod_{N< n\le M}(1+a_n)-1\bigr)$ なので、再び lem-ip-basic-inequality により
$$ |P_M-P_N|\le e^{A}\bigl(e^{T_N}-1\bigr) $$
である。右辺は $N\to\infty$ で $0$ に近づくので $(P_N)$ は Cauchy 列であり、極限 $P$ をもつ。
1 と 2：$T_{N_0}\le\frac12$ となる $N_0$ をとる。$n>N_0$ なら $|a_n|\le\frac12$ なので $1+a_n\ne0$ であり、$1+a_n=0$ となる $n$ は $N_0$ 以下に限られ、有限個である。$Q_N:=\prod_{n=N_0+1}^N(1+a_n)$ に lem-ip-basic-inequality を使うと $|Q_N-1|\le e^{1/2}-1<0.65$ なので $|Q_N|>0.35$ である。上と同じ議論で $Q_N$ は収束し、極限 $Q$ は $|Q|\ge0.35>0$ を満たす。よって無限積は収束し、値は $P=\bigl(\prod_{n\le N_0}(1+a_n)\bigr)Q$ である。$Q\ne0$ なので、$P=0$ となるのは $n\le N_0$ の因子のどれかが $0$ のときに限る。
3：$\sum_n|a_{\sigma(n)}|=A$ なので、1 により並べ替えた積も収束する。その有限積を $P'_M$ とおく。$N$ を固定し、$\sigma(\{1,\ldots,M\})\supset\{1,\ldots,N\}$ となるほど $M$ を大きくとると、$S:=\sigma(\{1,\ldots,M\})\setminus\{1,\ldots,N\}$ は $N$ より大きい番号の有限集合で、$P'_M=P_N\prod_{n\in S}(1+a_n)$ である。lem-ip-basic-inequality により $|P'_M-P_N|\le e^{A}(e^{T_N}-1)$ である。$M\to\infty$ とすると $|\lim_MP'_M-P_N|\le e^{A}(e^{T_N}-1)$ であり、$N\to\infty$ とすれば $\lim_MP'_M=P$ を得る。$\square$

どちらも $\sum_na_n<\infty$ なら thm-ip-absolute により収束する。逆を示す。
1：展開すると $\prod_{n\le N}(1+a_n)\ge1+\sum_{n\le N}a_n$ である。$\sum_na_n=\infty$ なら有限積は $+\infty$ に発散し、収束しない。
2：$1-x\le e^{-x}$（$x\ge0$）により $0<\prod_{n\le N}(1-a_n)\le\exp\bigl(-\sum_{n\le N}a_n\bigr)$ である。$\sum_na_n=\infty$ なら右辺は $0$ に近づくので、因子がすべて $0$ でないまま有限積が $0$ に近づき、積は $0$ に発散する。$\square$

1：コンパクト集合 $K$ 上で $A_K:=\sum_n\sup_K|f_n|$, $T_{K,N}:=\sum_{n>N}\sup_K|f_n|$ とおく。prf-ip-absolute の評価を各点で使うと $\sup_K|F_M-F_N|\le e^{A_K}(e^{T_{K,N}}-1)$（$M>N$）であり、右辺は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。よって $F_N$ は $K$ 上一様収束し、Weierstrass の定理により極限 $F$ は $U$ 上正則である。
2：$z_0\in U$ を含む閉円板 $D\subset U$ をとり、$\sum_{n>N_0}\sup_D|f_n|\le\frac12$ となる $N_0$ をとる。$G_M:=\prod_{n=N_0+1}^{M}(1+f_n)$ とおくと、lem-ip-basic-inequality により $D$ 上で $|G_M-1|\le e^{1/2}-1<0.65$ であり、1 と同じく $G_M$ は $D$ 上一様収束して、極限 $G$ は $D$ 上で $|G|\ge0.35$ を満たす。$F=F_{N_0}G$ なので、$D$ における $F$ の零点は、位数も含めて有限積 $F_{N_0}=\prod_{n\le N_0}(1+f_n)$ の零点と一致する。$n>N_0$ の因子は $D$ 上で $0$ にならない。
3：2 の記号で、$D$ の内部の点 $z$ で $F(z)\ne0$ なら $F'/F=F_{N_0}'/F_{N_0}+G'/G$ である。Weierstrass の定理により $G_M'\to G'$ は $D$ の内部の各コンパクト集合上で一様収束し、$|G_M|\ge0.35$ なので $G_M'/G_M\to G'/G$ も同じ集合上で一様収束する。有限積の対数微分は $G_M'/G_M=\sum_{n=N_0+1}^M f_n'/(1+f_n)$ と和になるので、主張の級数の一様収束が $z_0$ の近くで従う。$U'$ のコンパクト集合はこのような円板の内部の有限個で覆えるので、主張を得る。$\square$

$f_n(z)=c_nz$ は $|z|\le R$ で $|f_n|\le R|c_n|$ を満たすので、thm-ip-holomorphic により $F$ は整関数で、有限積 $F_N(z)=\prod_{n\le N}(1+c_nz)$ は $|z|\le1$ 上で $F$ に一様収束する。$F_N$ は多項式で、$z^r$ の係数は $e_r^{(N)}:=\sum_{n_1<\cdots< n_r\le N}c_{n_1}\cdots c_{n_r}$ である。
$\sum_{n_1<\cdots< n_r}|c_{n_1}\cdots c_{n_r}|\le\bigl(\sum_n|c_n|\bigr)^r<\infty$ なので $e_r$ の級数は絶対収束し、$e_r^{(N)}\to e_r$ である。一方、Cauchyの積分公式による係数の表示から
$$ \Bigl|\frac{F^{(r)}(0)}{r!}-e_r^{(N)}\Bigr|=\Bigl|\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{F(z)-F_N(z)}{z^{r+1}}\,dz\Bigr|\le\sup_{|z|=1}|F-F_N|\longrightarrow0 $$
である。よって $F^{(r)}(0)/r!=e_r$ である。$\square$

右辺を $g(z)$ とおく。$|z|\le R$ かつ $n\ge2R$ なら $|z^2-n^2|\ge n^2-R^2\ge\frac34n^2$ なので $\bigl|\frac{2z}{z^2-n^2}\bigr|\le\frac{8R}{3n^2}$ であり、有限個の項を除けば 一様収束の Weierstrass の優級数判定法が使える。よって $g$ は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ 上正則である。$\frac1{z-n}+\frac1{z+n}=\frac{2z}{z^2-n^2}$ なので、$g_N(z):=\sum_{n=-N}^N\frac1{z-n}$ とおくと $g(z)=\lim_{N\to\infty}g_N(z)$ である。$f(z):=\pi\cot\pi z$ とおき、$f$ と $g$ が同じ 2 つの性質をもつことを確かめる。
周期性：$g_N(z+1)-g_N(z)=\sum_{m=-N-1}^{N-1}\frac1{z-m}-\sum_{n=-N}^{N}\frac1{z-n}=\frac1{z+N+1}-\frac1{z-N}\to0$ なので $g(z+1)=g(z)$ である。$f(z+1)=f(z)$ は明らかである。
倍角の関係式：$\frac1{z/2-n}=\frac2{z-2n}$, $\frac1{(z+1)/2-n}=\frac2{z-(2n-1)}$ なので、$n$ が $-N$ から $N$ を動くとき
$$ g_N\Bigl(\frac z2\Bigr)+g_N\Bigl(\frac{z+1}2\Bigr)=2\sum_{m=-2N-1}^{2N}\frac1{z-m}=2g_{2N}(z)+\frac2{z+2N+1} $$
であり、$N\to\infty$ として $g(\frac z2)+g(\frac{z+1}2)=2g(z)$ を得る。$f$ については、$\cot\frac x2+\cot\frac{x+\pi}2=\cot\frac x2-\tan\frac x2=\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}{\sin(x/2)\cos(x/2)}=2\cot x$ を $x=\pi z$ に使えば同じ式を得る。
差 $h:=f-g$ を考える。整数 $m$ の近くで $\sin\pi z=(-1)^m\pi(z-m)+O((z-m)^3)$, $\cos\pi z=(-1)^m+O((z-m)^2)$ なので $f(z)-\frac1{z-m}$ は $m$ の近くで正則に延び、$g(z)-\frac1{z-m}$ も $n=\pm m$ 以外の項が $m$ の近くで一様収束するので正則に延びる。よって $h$ は $\mathbb{C}$ 上の整関数に延びる。$f$ と $g$ はともに奇関数なので $h$ も奇関数で、$h(0)=0$ である。$h$ は周期 $1$ をもち、$\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で倍角の関係式 $h(\frac z2)+h(\frac{z+1}2)=2h(z)$ を満たすので、連続性によりすべての $z$ で満たす。また $f,g$ は実軸上で実数値なので $h$ も実軸上で実数値である。
$h$ を実軸に制限すると、周期 $1$ の連続関数なので最大値 $M$ をある $x_0\in[0,1]$ でとる。$2M=h(\frac{x_0}2)+h(\frac{x_0+1}2)$ で右辺の 2 項はどちらも $M$ 以下なので、$h(\frac{x_0}2)=M$ である。これを繰り返すと $h(x_0/2^k)=M$ がすべての $k$ で成り立ち、$k\to\infty$ として $h(0)=M$、すなわち $M=0$ を得る。$-h$ に同じ議論を使うと最小値も $0$ である。よって $h$ は実軸上で恒等的に $0$ であり、一致の定理により $\mathbb{C}$ 上で $h\equiv0$ である。$\square$

$f_n(z):=-z^2/n^2$ は $|z|\le R$ で $|f_n|\le R^2/n^2$ を満たし、$\sum_nR^2/n^2<\infty$ である。thm-ip-holomorphic により $S(z):=\pi z\prod_{n\ge1}(1-z^2/n^2)$ は整関数で、零点は整数全体、すべて 1 位である。$S$ の零点の外、すなわち $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で、thm-ip-holomorphic の 3 と lem-ip-cotangent により
$$ \frac{S'(z)}{S(z)}=\frac1z+\sum_{n=1}^\infty\frac{-2z/n^2}{1-z^2/n^2}=\frac1z+\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-n^2}=\pi\cot\pi z=\frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} $$
である。よって $q(z):=S(z)/\sin\pi z$ は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で $q'=q\bigl(S'/S-\pi\cot\pi z\bigr)=0$ を満たし、$\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ は連結なので $q$ は定数 $c$ である。$z\to0$ のとき $S(z)/(\pi z)\to1$（無限積は連続で、$z=0$ での値は $1$）、$\sin\pi z/(\pi z)\to1$ なので $c=1$ である。$S=\sin\pi z$ は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で成り立ち、整数点では両辺とも $0$ である。$\square$

$c_n:=-1/n^2$ に prop-ip-coefficients を使うと、$G(w):=\prod_{n\ge1}(1-w/n^2)$ は整関数で、$w^r$ の係数は $(-1)^re_r$（$e_r$ は主張の左辺）である。一方 $\sin\pi z/(\pi z)=\sum_{r\ge0}(-1)^r\pi^{2r}z^{2r}/(2r+1)!$ であり、thm-ip-sine により $G(z^2)=\sin\pi z/(\pi z)$ である。整関数 $\Phi(w):=\sum_r(-1)^r\pi^{2r}w^r/(2r+1)!$ は $\Phi(z^2)=G(z^2)$ を満たし、すべての複素数 $w$ は平方 $z^2$ と書けるので $\Phi=G$ である。係数を比べて主張を得る。最後の式は $\sum_n\frac1{n^4}=\bigl(\sum_n\frac1{n^2}\bigr)^2-2e_2=\frac{\pi^4}{36}-\frac{2\pi^4}{120}=\frac{\pi^4}{90}$ による。$\square$

thm-ip-sine で $z=\frac12$ とおくと $1=\frac\pi2\prod_{n\ge1}\bigl(1-\frac1{4n^2}\bigr)=\frac\pi2\prod_{n\ge1}\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}$ である。有限積は $0$ でない極限 $2/\pi$ に収束するので、逆数の有限積は $\pi/2$ に収束する。$\square$

Γ関数の定理「Weierstrass の乗積表示」と注意「乗積表示による解析接続」により、すべての $z\in\mathbb{C}$ で
$$ \frac1{\Gamma(z)}=z\,e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\Bigl(1+\frac zn\Bigr)e^{-z/n} $$
であり（左辺は $z\in\{0,-1,-2,\ldots\}$ で $0$ と読む）、無限積は収束する。$z$ と $-z$ の式を掛けると、収束する無限積どうしの積は因子ごとの積の無限積になるので
$$ \frac1{\Gamma(z)\Gamma(-z)}=-z^2\prod_{n=1}^\infty\Bigl(1+\frac zn\Bigr)\Bigl(1-\frac zn\Bigr)=-z^2\prod_{n=1}^\infty\Bigl(1-\frac{z^2}{n^2}\Bigr)=-\frac{z\sin\pi z}{\pi} $$
である（最後は thm-ip-sine）。$z$ が整数でなければ、関数等式により $\Gamma(1-z)=-z\Gamma(-z)$ なので、$\frac1{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}=\frac{\sin\pi z}{\pi}$ を得る。$z=\frac12$ とおくと $\Gamma(\frac12)^2=\pi$ であり、$\Gamma(\frac12)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt>0$ なので $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ である。$\square$