Freudenthalの懸垂定理

1：区間 $I$ に $0$ 胞体 $0,\tfrac12,1$ と $1$ 胞体 $(0,\tfrac12)$、$(\tfrac12,1)$ の胞体構造を入れる。$I$ は有限複体なので、$X\times I$ は積の胞体構造で積位相の CW 複体であり（Hat02 Theorem A.6、p. 524）、$X\times\{0,1\}\cup\{x_0\}\times I$ はその部分複体である。CW 複体を部分複体で割った商は CW 複体なので（Hat02 Chapter 0、pp. 8–9）、$\Sigma X$ は CW 複体である。その胞体は基点と、$X$ の基点以外の胞体 $e$ に対する $e\times\{\tfrac12\}$、$e\times(0,\tfrac12)$、$e\times(\tfrac12,1)$ の像である。$C_\pm$ と赤道は閉胞体の和なので部分複体である。$x\mapsto[x,\tfrac12]$ は $X$ の胞体 $e$ を赤道の胞体 $e\times\{\tfrac12\}$ の像に特性写像ごと移すので、$X$ から赤道への同相である。
2：$H([x,t],\tau):=[x,\,t+\tau(1-t)]$（$t\ge\tfrac12$）とおく。$t=1$ や $x=x_0$ の点は基点に写るので、$H$ は潰す同一視と両立する。$C_+$ は $X\times[\tfrac12,1]$ の商であり、$I$ は局所コンパクト Hausdorff なので商写像と $\mathrm{id}_I$ の積は商写像である。よって $H$ は連続で、$\mathrm{id}_{C_+}$ から基点への定値写像へのホモトピーである。$C_-$ も同様である。
3：$y\in X$ を基点とする対の長完全列（相対ホモトピー群 の定理「対の長完全列」）
$$ \pi_{n+1}(C_+,y)\to\pi_{n+1}(C_+,X,y)\xrightarrow{\partial}\pi_n(X,y)\to\pi_n(C_+,y) $$
で両端は 2 により $0$ なので、$n\ge1$ で $\partial$ は同型である。$n=0$ の端では $\pi_1(C_+,y)=0$ と $\pi_0(X,y)$ が 1 点であることから $\pi_1(C_+,X,y)$ は 1 点である。$X$ は $k$-連結なので $2\le i\le k+1$ で $\pi_i(C_+,X,y)\cong\pi_{i-1}(X,y)=0$ であり、$C_+$ は弧状連結で $X$ と交わる。よって $(C_+,X)$ は $(k+1)$-連結である。$C_-$ も同様である。
4：対 $(\Sigma X,C_-)$ の長完全列 $\pi_{n+1}(C_-)\to\pi_{n+1}(\Sigma X)\xrightarrow{j}\pi_{n+1}(\Sigma X,C_-)\xrightarrow{\partial}\pi_n(C_-)$ の両端は 2 により $0$ である。$\square$

$a\colon(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$ をとり、$(s,u)\in I^n\times I$ に対して
$$ A(s,u):=\bigl[a(s),\,\tfrac12+\tfrac12u\bigr]\in C_+ $$
とおく。底面 $u=0$ は赤道の $a(s)$ に、$u=1$ と $s\in\partial I^n$ の面は基点に写るので、$A$ は $\pi_{n+1}(C_+,X,*)$ の元を代表し（相対ホモトピー群 の定義「相対ホモトピー群」の底面は最後の座標が $0$ の面）、$\partial[A]=[a]$ である。
次に、$\lambda\in I$ について $\varphi_\lambda(u):=(1-\lambda)u+\lambda(\tfrac12+\tfrac12u)$ とおき、
$$ H_\lambda(s,u):=\bigl[a(s),\,\varphi_\lambda(u)\bigr] $$
を考える。$\varphi_\lambda(0)=\tfrac\lambda2\le\tfrac12$ なので底面は $C_-$ に入り、$\varphi_\lambda(1)=1$ なので $u=1$ の面は基点に、$s\in\partial I^n$ の面も基点に写る。よって $(H_\lambda)_\lambda$ は $\pi_{n+1}(\Sigma X,C_-,*)$ の元を代表する写像のホモトピーである。$H_0=Ea$、$H_1=A$（を $\Sigma X$ への写像と見たもの）なので、包含 $\iota\colon(C_+,X)\to(\Sigma X,C_-)$ について
$$ j(E[a])=\iota_*[A]=\iota_*\partial^{-1}[a] $$
である。lem-fst-cones の 3・4 により $\partial$ と $j$ は同型なので、
$$ E=j^{-1}\circ\iota_*\circ\partial^{-1} $$
となる。
最後に $\iota_*$ を調べる。lem-fst-cones により $\Sigma X=C_+\cup C_-$ は部分複体の和で、$C_+\cap C_-=X$ は空でなく弧状連結であり、$(C_+,X)$ と $(C_-,X)$ はともに $(k+1)$-連結である。thm-fst-excision を $r=s=k+1$、$i=n+1$ で当てると、$\iota_*\colon\pi_{n+1}(C_+,X)\to\pi_{n+1}(\Sigma X,C_-)$ は $n+1< 2k+2$、すなわち $n\le2k$ で同型であり、$n+1=2k+2$、すなわち $n=2k+1$ で全射である。$E$ は $\iota_*$ に同型を合成したものなので、同じ結論が $E$ について成り立つ。$\square$

thm-fst-main を $X=S^m$、$k=m-1$、$n=m+i$ に当てる。$n\le2k$ は $i\le m-2$ と、$n=2k+1$ は $i=m-1$ と同値である。後半は、$m\ge i+2$ ならつねに $i\le m-2$ であることによる。$\square$

cor-fst-spheres の $i=0$ の場合により、$E\colon\pi_1(S^1)\to\pi_2(S^2)$ は全射で、$m\ge2$ の $E\colon\pi_m(S^m)\to\pi_{m+1}(S^{m+1})$ は同型である。$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ は $\iota_1$ で生成されるので（基本群 の定理「円周の基本群」）、$E\iota_m=\iota_{m+1}$ から、$\pi_n(S^n)$ は $\iota_n$ で生成される巡回群である。
一方、Hurewicz 準同型 $h\colon\pi_n(S^n)\to H_n(S^n;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$、$h[a]=a_*[S^n]=(\deg a)[S^n]$ は準同型であり（Hurewiczの定理 の命題「準同型性と自然性」）、$h(\iota_n)=[S^n]$ は生成元である。巡回群から $\mathbb Z$ への全射準同型は同型なので、$h$ すなわち写像度は同型である。$\square$