鎖状環

同義語：鎖状性カテナリー環catenary ring

概要

前提知識: Noether環, 素イデアル, 局所化, Krull次元, イデアル

鎖状環（catenary ring）とは、素イデアルの二つの端点を固定すると、その間を隙間なく結ぶ素イデアルの鎖の長さが一定になる環である。全ての極大イデアルの高さが同じ、という条件とは異なる。鎖状性は一つの区間の中での比較であり、別の既約成分や別の極大イデアルへ終わる鎖の長さを直接そろえるものではない。
本記事では環は単位元をもつ可換環とし、鎖状性を論じる環にはNoether条件を課す。全環の次元が有限であることは仮定しない。素イデアル $\mathfrak q$ までの区間の長さは、局所環 $A_{\mathfrak q}$ の次元で上から押さえられ、その次元は有限である。この局所的有限性を以下で証明し、飽和鎖の存在と長さの加法を正当化する。
普遍鎖状環（universally catenary ring）は、全ての有限型代数にも鎖状性を要求する。元の環が鎖状であることと、この全有限型の条件を区別する。以下では定義、素区間の長さ加法、商と任意の局所化への保存、有限型代数への普遍条件の保存を証明する。高度な完備化による判定や一般の非鎖状環の構成は、この基本的な区間の理論と別の主題である。

素区間と飽和鎖

飽和鎖と鎖状環

素イデアル $\mathfrak p\subset\mathfrak q$ に対し、
$$\mathfrak p=\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_l=\mathfrak q$$
の隣り合う二素イデアルの間に別の素イデアルがないとき、この鎖を飽和鎖と呼ぶ。長さは包含の段数 $l$ とする。Noether環 $A$ が鎖状であるとは、任意の端点 $\mathfrak p\subset\mathfrak q$ について、この区間の全ての飽和鎖が同じ長さをもつことである。端点が等しい区間には長さ零の鎖を取る。

飽和とは中間に素イデアルを挿入できないという意味である。「その環全体の中で最長の鎖」という意味ではない。例えば $k[X,Y]$ の $(X)\subset(X,Y)$ はこの区間で飽和であるが、環全体では下に $(0)$ を追加できる。区間の端点を固定しているので、その追加はこの区間の飽和性を変更しない。

普遍鎖状環

Noether環 $A$ が普遍鎖状であるとは、任意の有限型 $A$ 代数 $B$ が鎖状であることである。有限型とは、有限個の元を代数生成元にできるという意味であり、有限生成 $A$ 加群であることを要求しない。

$A$ 自身は生成元を追加しない有限型代数なので、普遍鎖状なら鎖状である。逆向きは定義からは従わない。多項式環は有限型代数だが、通常は有限加群でなく、普遍条件ではこれも検査する。商だけの保存を証明して全有限型代数の条件を完了したと考えてはならない。

素対応を区間ごとに確認する

商と局所化の区間対応

$\mathfrak p\subset\mathfrak q$ を $A$ の素イデアルとする。$I\subset\mathfrak p$ なら商 $A/I$ の $\mathfrak p/I$ から $\mathfrak q/I$ までの素区間は元環の区間と包含を保って一対一に対応する。また積閉集合 $S$ が $\mathfrak q$ と交わらないなら、$S^{-1}A$ の $S^{-1}\mathfrak p$ から $S^{-1}\mathfrak q$ までの区間も元環の同じ区間と対応する。これらの対応は飽和性と長さを保つ。

商では素イデアルの逆像と像が逆操作である。商の素性は、元の環で $ab$ が逆像に入るとき像の積が素イデアルに入ることから、$a$ または $b$ が逆像に入ることと同じである。$I$ を含む素の像が素であることも同じ計算である。二つの包含が等号になるかどうかも逆像で検出できる。
局所化では、$S$ を避ける素 $P$ の延長は素である。商 $S^{-1}(A/P)$ が整域なのでその核が素だからである。延長を縮約すると $P$ に戻る。$sa\in P$、$s\in S$ なら $s\notin P$ なので $a\in P$ となるためである。局所化側の素の縮約は $S$ を避け、その延長は元の素に戻る。局所化の元 $a/s$ の所属は分子 $a/1$ の所属と同じである。
今 $\mathfrak p\subset P\subset\mathfrak q$ なら $P$ は $\mathfrak q$ に含まれるので $S$ を避ける。従ってこの区間内の素は一つも局所化で失われない。対応は全区間の順序同型となり、中間の素があるかどうかも保存する。よって飽和性と長さが保たれる。$\square$

特に $\mathfrak p$ から $\mathfrak q$ までの区間は $(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q/\mathfrak p}$ の全スペクトルと対応する。この局所環は整域で、区間の下端は零素、上端は極大イデアルとなる。この表示によって、非整域 $A$ の区間にも整域の記号を使えるが、元の環自身を整域と仮定しているわけではない。

区間を有限にする局所次元の上界

Noether環上の局所化はNoetherである。局所化側のイデアルを縮約し、その有限個の生成元を延長すれば元のイデアルに戻るためである。商も同様にNoetherである。従って区間に対応する局所環の極大イデアルは有限個の元で生成される。次の長さ比較は、その生成元数が局所次元の上界になることを証明する。ここでは鎖状性をまだ仮定しない。

次元下界の準備：有限性と長さ

まず証明で使う有限性を準備する。Noether環上の有限生成加群の部分加群は有限生成である。この事実は有限自由加群の階数に関する帰納法で示せる。階数一では部分加群はイデアルだからNoether条件そのものである。階数 $s$ では第一座標への像が有限生成イデアルとなり、核は階数 $s-1$ の自由加群の部分加群となる。像の生成元の持上げと核の生成元を合わせればよい。一般の有限生成加群については有限自由加群からの全射の逆像に適用する。

多項式環の有限性

Noether環 $R$ に対して、有限変数多項式環 $R[T_1,\ldots,T_s]$ はNoether環である。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ なら有限生成性は自明なので、以下 $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

Artin–Reesの必要な形

$R$ をNoether環、$M$ を有限生成 $R$ 加群、$N\subset M$ を部分加群、$\mathfrak a$ をイデアルとする。ある整数 $c\ge0$ が存在し、すべての $n\ge c$ について
$$N\cap\mathfrak a^nM=\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$$
が成り立つ。特に左辺は $\mathfrak a^{n-c}N$ に含まれる。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。ここで $N=0$ なら $c=0$ とすれば結論は直ちに成立する。以下 $N\ne0$ とし、これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

素鎖から得られる長さの下界

非零Noether局所環 $(R,\mathfrak m)$ に対して
$$\chi_R(n)=\operatorname{length}_R(R/\mathfrak m^n)\qquad(n\ge1)$$
と置く。極大イデアルは有限生成であり、各 $\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$ は剰余体上有限次元なので、この長さは有限である。局所環の有限長加群の単純因子はすべて剰余体である。従って剰余環を加群の作用環として使っても、同じ単純因子を数える長さは変わらない。

厳密素鎖の成長下界

$(R,\mathfrak m)$ に長さ $d$ の素イデアルの厳密な鎖があるなら、正実数 $C$ と整数 $n_0$ が存在して
$$\chi_R(n)\ge Cn^d\qquad(n\ge n_0)$$
となる。鎖の末尾が極大イデアルであることは必要ない。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

生成元の個数から得られる上界

極大根基をもつ有限生成イデアルの長さ上界

$(R,\mathfrak m)$ を非零Noether局所環とする。$I=(u_1,\ldots,u_r)\subset\mathfrak m$、$\sqrt I=\mathfrak m$ とする。$r\ge1$ なら $L=\operatorname{length}(R/I)$ は有限で、
$$\chi_R(n)\le L\binom{n+r-1}{r}$$
がすべての $n\ge1$ で成り立つ。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

極大根基の生成元数による次元上界

Noether局所環 $(A,\mathfrak m)$ で $\sqrt I=\mathfrak m$、$I$ が $r$ 元生成なら $\dim A\le r$。

長さ $l$ の任意の厳密素鎖に対して、前の成長下界は $\ell(A/\mathfrak m^n)\ge Cn^l$ を十分大きい $n$ で与える。一方 $I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $A/I^n\twoheadrightarrow A/\mathfrak m^n$。長さ上界は $r\ge1$ の場合 $\ell(A/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}=O(n^r)$ を与える。従って $l>r$ なら矛盾する。全鎖の長さは $r$ 以下である。$r=0$ では $I=0$ かつ $\sqrt0=\mathfrak m$ なので唯一の素は $\mathfrak m$、次元は零である。$\square$

飽和鎖の存在と共通長

Noether環の各素区間には有限長の飽和鎖がある。鎖状環ではその共通長を $h(\mathfrak p,\mathfrak q)$ と書くと、
$$h(\mathfrak p,\mathfrak q)=\dim(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q/\mathfrak p}$$
であり、$\mathfrak p\subset\mathfrak q\subset\mathfrak r$ に対し
$$h(\mathfrak p,\mathfrak r)=h(\mathfrak p,\mathfrak q)+h(\mathfrak q,\mathfrak r)$$
が成り立つ。

区間に対応するNoether局所環の極大イデアルを $s$ 元で生成する。lem-cat-local-bound の局所次元上界より、その次元は $s$ 以下である。従って区間内の鎖の長さには有限の上界がある。端点だけの鎖から始め、中間素を挿入できる間は挿入する。長さが一つずつ増えるので有限回で止まり、飽和鎖を得る。任意の既存の鎖にも同じ操作を行える。
鎖状なら、任意の鎖を延長して得られる飽和鎖は全て同じ長さであるため、その共通長は全鎖長の最大値となる。これは区間局所環の次元そのものである。$\mathfrak p$ から $\mathfrak q$ までと、$\mathfrak q$ から $\mathfrak r$ までの飽和鎖を連結する。連結後の各隣接対にも中間素がないので、全体が $\mathfrak p$ から $\mathfrak r$ までの飽和鎖である。長さを数えれば加法式を得る。等しい端点があれば、その部分の長さは零で同じ式が成立する。$\square$

鎖状局所整域の高さの式

鎖状Noether局所整域 $(A,\mathfrak m)$ に対し、任意の素イデアル $\mathfrak p$ について
$$\operatorname{ht}_A\mathfrak p+\dim A/\mathfrak p=\dim A$$
が成り立つ。

整域なので零素が全ての素の下にある。従って高さは $h(0,\mathfrak p)$、局所環の商の次元は $h(\mathfrak p,\mathfrak m)$、全次元は $h(0,\mathfrak m)$。区間の加法により等式を得る。体の場合は全て零となる。$\square$

この系では局所性と整域性を明示している。非局所環では素イデアルの上に複数の極大イデアルがあり、商の全次元はそれらの枝の最大値となる。非整域環では始点となる極小素が複数あり、全次元の異なる成分があることもある。区間の加法だけを使うなら、これらの環でも正しいが、無条件に上の式へ書き換えることはできない。

鎖状性の保存

商と任意の局所化への保存

Noether鎖状環 $A$ の任意の商 $A/I$ と任意の局所化 $S^{-1}A$ は鎖状である。零環になった場合の条件は、素イデアルがないので空の量化として成立する。

商の二つの素を取ると、その逆像は $I$ を含む素の区間をなす。前の対応により飽和鎖は全て元環の同じ区間の飽和鎖であり、その長さは一致する。局所化の二素の縮約は $S$ を避ける素 $\mathfrak p\subset\mathfrak q$ である。この区間全体は $S$ を避けるので、同じく飽和鎖の集合そのものが対応する。Noether性は商・局所化で保たれるから定義の全条件を満たす。$I=A$ または $0\in S$ なら零環となり、素区間はない。$\square$

普遍鎖状性の検査と有限型保存

Noether環 $A$ が普遍鎖状であることと、全ての有限変数多項式環 $A[T_1,\ldots,T_n]$、$n\ge0$、が鎖状であることは同値である。普遍鎖状環の有限型代数と商環も普遍鎖状である。

普遍鎖状なら多項式環は有限型なので条件を満たす。逆に任意の有限型 $A$ 代数 $B$ は有限変数多項式環の商であり、商の鎖状性保存から $B$ は鎖状となる。Hilbert基底定理（lem-cat-growth-hilbert-basis）により、これらは全てNoether環である。
$C$ が有限型 $A$ 代数、$D$ が有限型 $C$ 代数なら、両方の有限個の代数生成元を合わせて $D$ を有限型 $A$ 代数と書ける。従って普遍鎖状な $A$ の条件を $D$ へ適用でき、全てのそのような $D$ は鎖状。これで $C$ は普遍鎖状となる。商は有限型代数の特殊例である。$n=0$ を含めることで元の環自身の鎖状性も検査している。$\square$

有限表示の局所化前への降下

$A$ をNoether環、$S$ を積閉集合とする。任意の有限型 $S^{-1}A$ 代数 $B$ は、ある有限型 $A$ 代数 $C$ によって $B\cong S^{-1}C$ と書ける。

有限個の代数生成元を選ぶと $(S^{-1}A)[T_1,\ldots,T_n]\twoheadrightarrow B$ がある。多項式環はNoetherなので核は有限個の多項式 $F_1,\ldots,F_l$ で生成される。各多項式の有限個の係数の分母を払い、$G_i\in A[T_1,\ldots,T_n]$ と $s_i\in S$ を取り $F_i=G_i/s_i$ と書く。$s_i$ は局所化で単元なので、$(F_i)$ と $(G_i)$ はそこで同じイデアルを生成する。$C=A[T_1,\ldots,T_n]/(G_1,\ldots,G_l)$ とすれば、商と局所化の分数計算から $S^{-1}C\cong B$。これが求める降下である。
核を有限個の関係にできたのはNoether性による。代数生成元が有限個あるということだけから、非Noether環上で全関係が有限とは言っていない。$S^{-1}A=0$ ならその単位的代数も零で、$C=0$ を取ればよい。$\square$

普遍鎖状性は任意の局所化で保たれる

普遍鎖状Noether環 $A$ の任意の局所化 $S^{-1}A$ は普遍鎖状である。

有限型 $S^{-1}A$ 代数 $B$ を取る。前の補題で $B=S^{-1}C$、$C$ は有限型 $A$ 代数と書ける。$A$ の普遍条件から $C$ は鎖状であり、鎖状性の局所化保存から $B$ は鎖状。任意の $B$ に成立するので結論を得る。$\square$

鎖状でも成分の次元はそろわない

有限直積と鎖状性

Noether環の有限直積 $A=\prod_{i=1}^s A_i$ は、各 $A_i$ が鎖状であることと同値に鎖状である。

二因子で証明し帰納する。$A_1\times A_2$ の冪等元 $e_1=(1,0)$、$e_2=(0,1)$ は積が零で和が一である。素イデアルは一方を含み、両方は含まない。$e_2$ を含む素は $P_1\times A_2$、$e_1$ を含む素は $A_1\times P_2$ と一意に書け、$P_i$ は対応する因子の素である。別々の因子の素は互いに包含しない。従ってどの素区間も一つの因子内の同じ区間と対応する。飽和鎖と長さを比較すれば同値を得る。有限直積がNoetherなのは、各イデアルが因子イデアルの直積に分解し、有限生成元を因子ごとに合わせられるためである。$\square$

鎖状でも等次元でない環

体 $k$ に対し $A=k\times k[t]$ とする。体のスペクトルは一点であり、$k[t]$ は単項イデアル整域なので非零素は極大である。従ってその素区間は等しい端点か、零から極大への長さ一の区間だけで、両因子は鎖状。有限直積の命題により $A$ も鎖状である。
しかし極小素 $0\times k[t]$ による商は $k$ で次元零、極小素 $k\times0$ による商は $k[t]$ で次元一である。既約成分の次元はそろわず、この環は等次元でない。全環の次元は一であるが、極大素 $0\times k[t]$ の高さは零、商の次元も零なので、無限定の式 $\operatorname{ht}P+\dim A/P=\dim A$ はここで失敗する。局所整域という仮定を保つ必要があることが、直接計算で確認できる。

この反例は鎖状性と等次元性の違いを示すものであり、鎖状だが普遍鎖状でない例を与えるものではない。普遍条件は全有限型代数について検査するので、この二因子の区間計算だけでその条件まで判定したことにはならない。

使うときの区別

Noether環でも全体の次元が無限になることはあるが、本記事で使う各素区間は有限高さの局所環へ移る。鎖状性を「全環の全ての鎖が同じ有限長さ」と定義してはならない。終点が変わると長さも変わり得る。また零環はNoetherで素がないので、鎖状性も普遍鎖状性も空の量化として成立する。零環の単位的有限型代数は零環だけである。
優秀環はG条件、J-2条件、普遍鎖状性を同時に課す。鎖状性単独から形式ファイバーの幾何的正則性を引き出すことはできない。完備Noether局所環の普遍鎖状性や、一般の普遍鎖状性の完備化による判定には別の次元理論が必要となる。本記事で証明した保存則と、そうした存在・判定定理を区別して使う。
定義の位置づけは MatCRT §31 による。有限高さと保存則の証明は、本記事の長さ比較と素対応による。