Jones多項式

交差 $c$ の小さな円板 $U$ の境界の上の $4$ つの端点を反時計回りに $e_1,e_2,e_3,e_4$ とし、$S$ では $U$ の中で弧 $\alpha$ が $e_1,e_2$ を、弧 $\beta$ が $e_3,e_4$ を結び、$S'$ では $e_2,e_3$ と $e_4,e_1$ を結ぶとする。$\alpha,\beta$ が $S$ の別の円 $C_1,C_2$ にあれば、$S'$ では $C_1$ と $C_2$ がつながって $1$ つの円になり、$\lvert S'\rvert=\lvert S\rvert-1$ である。

$\alpha,\beta$ が同じ円 $C$ にあるとき、$C$ から $\alpha,\beta$ を除いた $2$ 本の弧 $\gamma_1,\gamma_2$ の結び方は、(i) $\gamma_1$ が $e_2$ と $e_3$、$\gamma_2$ が $e_4$ と $e_1$ を結ぶか、(ii) $\gamma_1$ が $e_2$ と $e_4$、$\gamma_2$ が $e_3$ と $e_1$ を結ぶかである。(i) なら $S'$ では $\gamma_1$ と $\gamma_2$ がそれぞれ閉じて $\lvert S'\rvert=\lvert S\rvert+1$ である。(ii) が起こらないことを示す。(ii) では $C$ を $e_1\to e_2\to e_4\to e_3\to e_1$ の順に回り、$\alpha$ は $e_1$ から $e_2$ へ、$\beta$ は $e_4$ から $e_3$ へ進む。$U$ の中の $\alpha$ と $\beta$ に挟まれた部分 $U_0$ は連結で $C$ と交わらず、進む向きの左に $U_0$ があるのは $\alpha$ の側だけで、$\beta$ では $U_0$ は右にある。$U_0$ は $\mathbb{R}^2\setminus C$ の $1$ つの成分（内部か外部）に含まれるので、その成分は $\alpha$ では左に、$\beta$ では右にあり、内部も $\alpha$ と $\beta$ で $C$ の反対の側にあることになるが、これは 多角形のJordan曲線定理 の系「辺の両側と内部の向き」の 2 に反する。$\square$

平面イソトピー。 向きを保つ同相写像は交差の上の線の回る向きを保つので A・B の角を保ち、状態の円の個数も保つ。

I 型。 新しい交差 $c$ の $2$ つの平滑化の一方では輪が閉じて小さな円になり、他方では輪がほどけて $D$ に戻る。どちらかの向きを与えると、$c$ では $1$ 本の線がいったん $c$ を通り、輪を回ってもう一度 $c$ を通る。向きに沿った平滑化は、輪から $c$ に戻ってくる端を輪へ出ていく端につなぐので、輪が円になる。正の交差では A の平滑化、負の交差では B の平滑化が向きに沿った平滑化なので $\varepsilon=1$ なら $\langle D'\rangle=A\delta\langle D\rangle+A^{-1}\langle D\rangle=-A^3\langle D\rangle$、$\varepsilon=-1$ なら $\langle D'\rangle=A\langle D\rangle+A^{-1}\delta\langle D\rangle=-A^{-3}\langle D\rangle$ である。

II 型。 $2$ つの交差 $c_1,c_2$ の間の小さな $2$ 角形 $P$ は、上の線の同じ側にある。上の線を $c_1$ から $c_2$ へ進むとき $P$ が左にあるとすると、$c_1$ では $P$ は上の線の $c_2$ へ向かう半分の反時計回りの隣なので A の角であり、$c_2$ では $c_1$ へ向かう半分の時計回りの隣なので B の角である。$4$ 通りの平滑化のうち、$c_1$ で A・$c_2$ で B（係数 $A\cdot A^{-1}$）は $P$ を両端で開いて移動前の $2$ 本の線に戻る。$c_1$ で B・$c_2$ で A（係数 $A^{-1}\cdot A$）は $P$ を閉じて小さな円を作り、残りは $2$ 本の線を両端で折り返した形 $D_\cup$ になる。$c_1,c_2$ とも A（係数 $A^2$）と、とも B（係数 $A^{-2}$）は、どちらも $D_\cup$ になる。よって $\langle D'\rangle=\langle D\rangle+(A^2+A^{-2}+\delta)\langle D_\cup\rangle=\langle D\rangle$ である。

III 型。 上の $2$ 本 $T,M$ の交差を prop-jp-rules の 3 で平滑化する。移動の前後とも、平滑化した $2$ 本の弧の下を $B$ が通る。$T\cap M$ の $4$ つの角のうち、$B$ が移動の前に通る角と後に通る角は向かい合っている。この $2$ つの角をつなぐ平滑化では、$B$ は前後とも $2$ 本の弧と $1$ 回ずつ交わり、つながった角を通って $B$ を滑らせると前後は平面イソトピーで写り合う。もう一方の平滑化では、$B$ は前後とも一方の弧の下を $2$ 回くぐり、II 型の移動で外すとどちらも同じ図式になる。交差 $T\cap M$ は移動で変わらないので、前後で A・B の角と係数は同じで、II 型での不変性から $\langle D'\rangle=\langle D\rangle$ である。$\square$

$n=n(D)$ の帰納法による。$n=0$ なら $D$ は $1$ つの円で、$s_A=s_B=1$ である。$n\ge1$ とし、交差 $c$ をとる。$\pi(L)$ から $c$ の小さな近傍を除いたものを $G$ とすると、$G$ の各連結成分は、交差の近くで $4$ 本の線が出会う点（次数 $4$）と、$c$ の近くの $4$ つの端点（次数 $1$）からなるグラフとみなせ、次数の和が偶数なので端点を偶数個含む。$D$ は連結なので、$G$ の各成分は端点を少なくとも $1$ つ含む。端点を反時計回りに $1,2,3,4$ とし、A の平滑化が $\{1,2\}$ と $\{3,4\}$ を、B の平滑化が $\{2,3\}$ と $\{4,1\}$ を結ぶとする。$D_A^c$ と $D_B^c$ がどちらも連結でないなら、$G$ の成分による端点の分け方は $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$ の細分で、$\{\{2,3\},\{4,1\}\}$ の細分でもあるので、各成分は端点を $1$ つずつしか含まず、偶数個であることに反する。そこで $D_A^c$ が連結としてよい（B なら A と B を入れ替える）。

$D_A^c$ の交差は $n-1$ 個で、$S_A(D_A^c)$ は $S_A(D)$ と同じ円を与えるので $s_A(D)=s_A(D_A^c)$ である。$c$ では A、ほかの交差では B の平滑化をとる $D$ の状態を $S'$ とすると、$S'$ の円は $S_B(D_A^c)$ の円と同じで、$S_B(D)$ は $S'$ と $c$ での平滑化だけが異なるので、lem-jp-switch により $s_B(D)\le s_B(D_A^c)+1$ である。帰納法の仮定から $s_A(D)+s_B(D)\le(n-1)+2+1=n+2$ である。$\square$

塗り分け。 $\mathbb{R}^2\setminus\pi(L)$ の各領域の点 $x$ から一般の方向に出る半直線が $\pi(L)$ と交わる回数の偶奇で、領域を黒と白に塗る。偶奇は半直線によらず（多角形のJordan曲線定理 の補題「交わりの数の偶奇は向きによらない」と同じ議論を各成分の閉じた折れ線に当てる）、辺をはさんで隣り合う領域の色は異なる。各交差の $4$ つの角は色が交互に並び、向かい合う A の $2$ つの角は同じ色である。

A の角の色。 交差 $c$ の上の線の半分 $h$ について、$h$ の反時計回りの隣の角は A の角である。$c$ から隣の交差 $c'$ へ進む図式の辺 $e$ が $c$ で上を通るとすると、交代図式なので $c'$ では下を通る。$e$ を $c$ から $c'$ へ進むときの左の領域は、$c$ では $h=e$ の反時計回りの隣なので A の角で、$c'$ では下の線の半分 $e$ の時計回りの隣、すなわち上の線の半分の反時計回りの隣なので、やはり A の角である。よって $c$ と $c'$ の A の角は同じ色で、$D$ が連結なのですべての交差の A の角は同じ色（黒とする）である。

1。 白い領域を $W$ とすると、すべて A の平滑化では白い角はどこでもつながらないので、$W$ に交差の近くの白い角の部分を加えたものは $\mathbb{R}^2\setminus S_A$ の $1$ つの成分である。黒い領域を含む成分はほかにあるので、$\mathbb{R}^2\setminus S_A$ の成分は (白い領域の個数) $+1$ 個以上ある。互いに交わらない $s$ 個の単純閉折れ線の補集合の成分はちょうど $s+1$ 個（平面グラフ の命題「連結成分の個数を入れたEulerの公式」を、閉折れ線を頂点と辺のグラフとみて当てる）なので、$s_A\ge$ (白い領域の個数) である。同様に $s_B\ge$ (黒い領域の個数) である。$\pi(L)$ を、交差と曲がり角を頂点とし、辺を $3$ 等分して単純グラフにした平面グラフとみると、頂点と辺の個数の差は $n-2n=-n$ で、平面グラフ の定理「Eulerの公式」から領域は $n+2$ 個ある。よって $s_A+s_B\ge n+2$ で、lem-jp-dual と合わせて等号が成り立つ。

2。 A 適切でないとすると、ある交差 $c$ の A の平滑化の $2$ 本の弧が $S_A$ の同じ円 $C$ にある。$S_A$ の各弧の片側は白い領域、反対側は黒い領域を含む成分に接し、$C$ の片側の細い帯は連結なので、$C$ が接する白い領域は $1$ つ $W$ である。$c$ の $2$ つの白い角はどちらも $C$ の弧に接するので $W$ に属する。$c$ から一方の白い角に入り、$W$ の中を通ってもう一方の白い角から $c$ に戻る単純閉折れ線 $\gamma$ をとると、$\gamma$ は $\pi(L)$ と $c$ でだけ交わり、$c$ に出入りする $4$ 本の線を $2$ 本ずつ $\gamma$ の内側と外側に分ける。多角形のJordan曲線定理 により、$\pi(L)\setminus\{c\}$ は内側と外側の両方に点をもつので連結でなく、$c$ は無駄な交差である。B についても同様である。$\square$