導手イデアル

同義語：環拡大の導手conductor ideal

概要

前提知識: イデアル, 加群, 剰余環, 局所化, 整拡大, 分数イデアル

導手イデアル（conductor ideal）とは、環の包含 $A\subset B$ に対し、$B$ のすべての元を掛けても $A$ の中に留まる $A$ の元全体である。これは $A$ のイデアルであると同時に $B$ のイデアルでもあり、加群 $B/A$ を零にする係数の集合と一致する。小さい環と大きい環が共通して持つ最大のイデアルと見ることができる。
曲線の特異点で小さい座標環を正規化の環に含めると、導手は両方で共通して使える関数を集める。たとえば尖点の環 $k[t^2,t^3]$ は $k[t]$ に含まれ、その導手は $t^2k[t]$ となる。$t$ は小さい環にないが、次数二以上の項はすべて小さい環にあり、それらに任意の多項式を掛けても小さい環に留まるからである。
本記事は一般の環包含から定義を始める。正規化が有限であるという仮定は、非零性の十分条件を述べる段で明示する。導手が非零であることから正規化の有限性を無条件に推論することはできない。また類体論や Galois 表現における導手とは、関連する名称を共有していても定義される対象が違う。

定義と二つの環のイデアル

以下、$A\subset B$ は単位元を共有する可換環の包含とする。環準同型の核をすでに割った単射を扱っており、任意の非単射の準同型に同じ記法をそのまま用いるものではない。ここでは Noether 性、整域性、整性、加群有限性をまだ仮定しない。

導手イデアル

環包含 $A\subset B$ の導手を
$$ \mathfrak c_{B/A}=(A:_A B)=\{a\in A\mid aB\subset A\} $$
と定める。包含が明らかなときは $\mathfrak c$ と書く。右辺は $A$ の中で取った colon である。

最大の共通イデアル

導手は $A$ と $B$ の双方のイデアルであり、$B$ のイデアルのうち $A$ に含まれる最大のものである。また
$$ \mathfrak c_{B/A}=\operatorname{Ann}_A(B/A) $$
である。さらに $\mathfrak c=A$ であることと $A=B$ であることは同値である。

$a,a'\in\mathfrak c$ なら $(a+a')B\subset A$、$r\in A$ なら $(ra)B\subset A$ であり、$\mathfrak c$ は $A$ のイデアルである。$b\in B$ と $a\in\mathfrak c$ に対して、まず $ba\in A$ である。また任意の $b'\in B$ に対して $(ba)b'=a(bb')\in A$ となるので、$ba\in\mathfrak c$ である。よって $B$ のイデアルにもなっている。
$J$ が $B$ のイデアルで $J\subset A$ なら、$a\in J$ に対して $aB\subset J\subset A$ となるので $J\subset\mathfrak c$ である。これが最大性である。加群 $B/A$ の元 $b+A$ に $a\in A$ を掛けたものが零となることは、$ab\in A$ と同値である。すべての $b$ に対するこの条件が定義そのものなので、零化イデアルの等式も得られる。
$\mathfrak c=A$ なら $1\in\mathfrak c$ であり、$B=1B\subset A$ となるから $A=B$ である。逆に $A=B$ ならすべての $a\in A$ が条件を満たす。$\square$

同じ集合を $B$ 内の colon として書くこともできる。実際、$b\in B$ が $bB\subset A$ を満たせば $1\in B$ により $b\in A$ なので、$(A:_B B)=\mathfrak c$ である。ただし一般の二つの加群の colon について、環内・拡大環内・商体内のどれで取るかは区別が必要である。
導手が零であることは「どの非零の $A$ の元も、$B$ の全体を $A$ に押し込めない」という意味である。$A\ne B$ だからといって導手が零になるわけではない。尖点の例では真の包含でも大きな非零の導手がある。逆に有限拡大であっても、同じ商体に入っていなければ導手が零になることがある。

局所化と有限生成性

乗法的集合 $S\subset A$ による局所化を考える。$A\subset B$ を局所化しても $S^{-1}A\to S^{-1}B$ は単射である。$a/s$ の像が零なら、ある $t\in S$ に対して $ta=0$ が $B$ 内で成り立ち、元の単射から $A$ 内でも成り立つためである。したがって局所化後の環包含にも導手を定義できる。

導手の局所化

一般に
$$ S^{-1}\mathfrak c_{B/A}\subset \mathfrak c_{S^{-1}B/S^{-1}A} $$
が成り立つ。$B/A$ が有限生成 $A$ 加群なら等号が成り立つ。この条件は $B$ が有限生成 $A$ 加群であることと同値である。有限表示や $A$ の Noether 性は、この等号の証明には不要である。

$aB\subset A$ なら、局所化後にも $(a/s)S^{-1}B\subset S^{-1}A$ なので、最初の包含は成り立つ。等号の逆包含には加群 $M=B/A$ を使う。局所化は剰余と交換するので、$S^{-1}M=S^{-1}B/S^{-1}A$ である。この事実は、剰余類 $b+A$ の分数を $b/s+S^{-1}A$ に送る写像で確認できる。核の元は分母を一つ掛けると $A$ に入るから元の局所化でも零になる。
$M$ の有限生成元を $m_1,\ldots,m_n$ とする。$a/s\in\operatorname{Ann}_{S^{-1}A}(S^{-1}M)$ なら、各 $i$ に対して $am_i/1=0$ であり、ある $t_i\in S$ に対して $t_i am_i=0$ が成り立つ。$t=\prod_i t_i$ とすれば、$ta$ はすべての生成元を零にする。よって $ta\in\operatorname{Ann}_A M=\mathfrak c$ であり、$a/s=ta/(ts)\in S^{-1}\mathfrak c$ となる。$M=0$ の場合は空の生成族と $t=1$ で同じ結論を得る。
$B$ が有限生成ならその商 $B/A$ も有限生成である。逆に $B/A$ の有限生成元を $b_1+A,\ldots,b_n+A$ と持ち上げれば、任意の $b\in B$ は $b=a+\sum a_i b_i$ と書けるので、$1,b_1,\ldots,b_n$ が $B$ を生成する。この同値にも有限表示は必要ない。$\square$

ここで「有限拡大」とは加群として有限生成であることを意味する。$B$ が有限型 $A$ 代数であるだけでは足りない。局所化の証明は加群の有限生成元のそれぞれに必要な分母を掛け合わせており、代数の有限個の生成元の全冪を同じ分母で処理できるとは言っていない。
また有限生成性は十分条件であって、局所化との交換の必要条件と主張したわけではない。たとえば体 $k$ に対し $A=k[t]$、$B=A[y]$、$S=\{1,t,t^2,\ldots\}$ とする。非零 $a\in A$ に対して $ay\notin A$ なので元の導手は零であり、局所化後も非零 $a\in k[t,t^{-1}]$ に対して $ay\notin k[t,t^{-1}]$ なので導手は零である。したがってこの例では等号が成り立つ。一方、有限個の多項式の $y$ 次数には上限があるため、それらの $A$ 線形結合で次数の高い $y$ の冪を生成できず、$B$ は有限生成 $A$ 加群ではない。一般の非有限拡大について交換を断定できないことは、後の商体の例が示す。
有限拡大では局所的に二つの環が一致する点も導手から読める。素イデアル $\mathfrak p\subset A$ に対して
$$ B_{\mathfrak p}=A_{\mathfrak p} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathfrak c\not\subset\mathfrak p $$
である。左辺からは $(B/A)_{\mathfrak p}=0$ となり、有限生成元の分母をまとめれば $s\notin\mathfrak p$ が $B/A$ を零にする。右辺からは $s\in\mathfrak c\setminus\mathfrak p$ を局所化で単元にし、$sB\subset A$ の両辺を $s$ で割れば等号を得る。したがって二つの環が一致しない素点の集合は $V(\mathfrak c)$ となる。この解釈にも有限生成性を使った方向がある。

双有理拡大と共通分母

ここからは $A$ を整域、$K=\operatorname{Frac}(A)$ とし、$A\subset B\subset K$ を仮定する。これを本記事では同じ商体内の拡大、または双有理拡大と呼ぶ。この仮定によって、有限個の $B$ の元の分母を $A$ の非零元で払えるようになる。

非零導手と分数イデアル

$A\subset B\subset K$ について、次は同値である。

$\mathfrak c_{B/A}\ne0$。
ある $0\ne d\in A$ で $dB\subset A$ となる。
$B$ は $A$ 加群として分数イデアルである。
$B$ が有限生成 $A$ 加群ならこれらの条件は成り立つ。逆に $A$ が Noether 整域であれば、これらの条件から $B$ の加群有限性が従う。

条件 1 と 2 は導手の定義から同値であり、条件 2 と 3 は分数イデアルの定義から同値である。$B$ は $1$ を含むので非零であり、$A$ 部分加群でもあることに注意する。
$B$ が有限生成なら $B=Ab_1+\cdots+Ab_n$ と書き、$b_i=u_i/v_i$、$u_i,v_i\in A$、$v_i\ne0$ とする。$d=\prod_i v_i\ne0$ に対してすべての $db_i$ が $A$ に入り、$dB\subset A$ となる。したがって $d\in\mathfrak c$ である。
逆に $A$ が Noether で $dB\subset A$ なら、$dB$ は $A$ のイデアルなので有限生成である。整域内の非零元 $d$ による乗法 $B\to dB$ は加群同型だから、$B$ も有限生成である。Noether 性はこの最後の段で用いた。$\square$

したがって、整域 $A$ の整閉包 $\overline A\subset K$ が加群として有限であれば、その導手は非零である。この結論は有限性を仮定したもので、すべての整域について整閉包が有限になるという定理ではない。整閉包とは $K$ の中で $A$ 上整な元全体であり、商体を別の拡大体に変えて取った整閉包には、非零導手の同じ結論を使えない。
この段の導手は商体内の colon $(A:B)$ とも一致する。$x\in K$ が $xB\subset A$ を満たせば $1\in B$ により $x\in A$ だからである。分数イデアルの記事では $B^{-1}=(A:B)$ と呼ばれる集合となるが、$B$ が環を含むという特別な場合には、それが両方の環のイデアルになる。
導手は可逆性を測るものではない。たとえば尖点の導手は二生成の通常のイデアルであり、その逆イデアルとの積が環全体になるとは限らない。導手の中心条件は $B$ の作用への安定性であり、可逆イデアルの中心条件は積の逆元があることである。この違いが、分数イデアル・可逆イデアルと導手の役割の違いである。

尖点の全計算

$k[t^2,t^3]\subset k[t]$

$k$ を任意の体とし、$A=k[t^2,t^3]$、$B=k[t]$ とする。$A$ の元は、$t$ の一次係数が零の多項式全体である。実際、二以上の整数は偶数なら $2a$、奇数なら $3+2a$ と書けるので、次数二以上のすべての単項式が $A$ に入る。逆に $t^2,t^3$ の積から一次の項は作れない。
この包含の導手は
$$ \mathfrak c=t^2k[t]=(t^2,t^3)A $$
である。$a\in A$ を $a=c+t^2h(t)$ と書くと、$at=ct+t^3h(t)$ である。導手に入るなら $at\in A$ なので一次係数 $c$ が零となる。よって $a\in t^2k[t]$ である。逆に $a\in t^2k[t]$ なら任意の $b\in B$ との積の次数は二以上で、$ab\in A$ となる。最後の $A$ イデアル表示は、偶数次数を $t^2$ の倍、奇数次数を $t^3$ の倍に分ければ得られる。
$B=A+At$ なのでこの拡大は加群有限である。また $t$ は $Z^2-t^2=0$ という $A$ 係数のモニック方程式を満たす。商体は $t=t^3/t^2$ により同じであり、$k[t]$ は整閉なので $B$ は $A$ の正規化である。最後の整閉性は次の短い計算でも確認できる。既約な分母をもつ有理関数 $f/g$ が $k[t]$ 上整なら、モニック関係に $g^n$ を掛けると $g\mid f^n$ となる。$k[t]$ の互いに素な分子・分母についての Bézout 等式から、$g$ は単元でなければならない。
剰余も記述できる。$B/A$ は $t+A$ を基底とする一次元 $k$ ベクトル空間であり、$A$ の元 $c+t^2h$ はこれに定数 $c$ として作用する。よってその零化イデアルは $(t^2,t^3)$ で、導手の別の計算と一致する。$A/\mathfrak c\cong k$、$B/\mathfrak c\cong k[t]/(t^2)$ となり、導手を割っても二つの環が等しくなるわけではない。

この例では $t^2$ が一つの共通分母として働き、$t^2B\subset A$ を与える。一方 $A$ の極大イデアル $(t^2,t^3)$ は $B$ では単項 $t^2B$ となる。同じ集合が異なる環の作用の下で違う生成元の数をもつという点も、導手が双方のイデアルであることを読む際に役立つ。

二つの枝をもつ節点型の環

$k[u,v]/(uv)$ の導手

$k$ を任意の体とし、$A=k[u,v]/(uv)$、$B=k[u]\times k[v]$ とする。写像は $u\mapsto(u,0)$、$v\mapsto(0,v)$、定数 $c\mapsto(c,c)$ で定める。
$uv=0$ を用いると $A$ の任意の元は $c+u f(u)+v g(v)$ と一意に書ける。その像は $(c+u f(u),c+v g(v))$ であり、像が零なら両方の多項式の各係数が零になる。よって単射で、その像は定数項の等しい組 $(f(u),g(v))$ の全体である。
導手は
$$ \mathfrak c=u k[u]\times v k[v]=(u,v)A $$
となる。実際、導手に入る組 $(f,g)$ に $B$ の元 $(1,0)$ を掛けると $(f,0)$ が $A$ に入るので $f(0)=0$、$(0,1)$ を掛ければ $g(0)=0$ である。逆に両定数項が零なら任意の組を掛けた後も両定数項が零なので、積は $A$ に入る。
$B$ は $1=(1,1)$ と $e=(1,0)$ により $A$ 加群として生成される。任意の $(f,g)$ から定数項の差を $e$ の倍として引けば、定数項の等しい組になるからである。$e^2=e$ なので $e$ は整でもある。$B/A\cong k$ は $(f,g)\mapsto f(0)-g(0)$ で得られ、$A$ は共通の定数項でこの剰余に作用する。その零化イデアルも $(u,v)$ となる。
ここでは $A$ が整域でない。したがって前節の商体内の分数イデアルという定式化はそのまま使わない。導手・双方のイデアル・零化イデアル・有限性による局所化は、最初から一般の環包含として証明したため、この例にも適用できる。$A/\mathfrak c=k$、$B/\mathfrak c=k\times k$ であり、二つの枝の原点を小さい環で一つに合わせた構造が剰余にも残る。

この節点型の例は、導手の計算を一つの商体に限定する必要がないことを示す。幾何学的に二つの成分がある場合にも、両方の環で共通に使えるイデアルとしての定義は有効である。ただし一般の被約環の全商環や正規化の一般定理は、この具体表示の計算とは別の主題である。

有限性・双有理性を外す反例

有限でも双有理でないと導手は零になる

$k$ を体とし、$A=k[t^2]$、$B=k[t]$ とする。$B=A+At$ なので有限拡大であり、$t$ は整である。しかし $A$ の元は偶数次数の項だけをもつので、非零 $a\in A$ に $t$ を掛けると奇数次数の非零多項式となり、$A$ に入らない。よって導手は零である。これは任意の標数で成立する。
商体はそれぞれ $k(t^2)$ と $k(t)$ で同じではない。$t$ が $k(t^2)$ に入らないことも、仮に $t=f(t^2)/g(t^2)$ と書くと、偶数次数の $f(t^2)$ と奇数次数の $tg(t^2)$ が等しくなるという矛盾から分かる。有限整拡大だから導手が非零という主張には、同じ商体内にあるという条件が欠けている。

非有限拡大では局所化で導手が増える

$k$ を体とし、$A=k[t]$、$B=k(t)$、$S=A\setminus\{0\}$ とする。$0\ne a\in A$ に対して $aB=B$ なので $aB\subset A$ は成り立たない。したがって $\mathfrak c_{B/A}=0$ である。ところが局所化後は $S^{-1}A=S^{-1}B=k(t)$ となり、その導手は $k(t)$ 全体である。よって導手の局所化の包含は厳密になる。
この $B$ は $A$ 加群として有限生成ではない。有限個の有理関数が生成すると、その分母の積 $d$ で $dB\subset A$ となるが、すでにどの非零 $d$ でも $dB=B\not\subset A$ と分かったからである。ここでは局所化そのものが加群としては非有限な拡大を作っている。

有限型代数であるだけでも局所化交換は失敗しうる。体 $k$ に対し、$A=k[t]$、$B=k[t,t^{-1}]$、$S=\{1,t,t^2,\ldots\}$ とする。$B$ は一つの逆元 $t^{-1}$ で生成される有限型代数であり、双有理である。しかし $a\ne0$ に含まれる $t$ の冪の指数を $r$ とすると、$at^{-(r+1)}$ は負の次数をもち $A$ に入らない。よって導手は零である。局所化後の二つの環はともに $B$ で、導手は環全体になる。代数としての有限生成と加群としての有限生成の違いが、実際の結論の違いになる。

非有限でも導手が非零の例

非Noether環の非有限正規化と非零導手

$k\subset F$ を無限次数の代数的体拡大とする。たとえば $k=\mathbb Q$ とその代数閉包 $F=\overline{\mathbb Q}$ を使える。$F$ が無限次数であることは、任意の正整数 $n$ に対して $X^n-2$ の Eisenstein 既約性により次数 $n$ の部分拡大があることから分かる。ここではそのような拡大を一つ固定する。
$B=F[\![t]\!]$、$A=k+tF[\![t]\!]$ と置く。$A$ は定数項が $k$ に入る級数の環であり、加法と乗法により閉じ、$B$ の部分整域である。導手は
$$ \mathfrak c=tB $$
である。$a=c+th\in A$ に対し $c\ne0$ なら、$f\in F\setminus k$ を掛けた級数の定数項は $cf\notin k$ となるので、$a$ は導手に入らない。$c=0$ なら $aB\subset tB\subset A$ である。したがって導手は非零で、一つの元 $t$ により $tB\subset A$ という共通分母も得られる。
一方 $B$ は $A$ 加群として有限生成でない。もし有限生成なら、商 $B/tB=F$ も有限生成の $A$ 加群となる。この商への $A$ の作用は定数項の写像 $A\to k$ を経由するので、有限生成であることは $F$ が有限次元 $k$ ベクトル空間であることを意味し、選んだ拡大に矛盾する。
この例では $B$ は実際に $A$ の整閉包でもある。まず任意の $b=f+th\in B$ について、定数項 $f\in F$ は $k$ 上代数的である。$f$ を根とするモニック多項式 $P(Z)\in k[Z]$ に対して $P(b-th)=0$ となり、$th\in A$ なので $b$ は $A$ 上整である。また $t\in A$、$tb\in A$ より $b=(tb)/t\in\operatorname{Frac}(A)$ となり、両環は同じ商体をもつ。
$B$ の整閉性は級数の次数で確認できる。$B$ の商体は $F((t))$ であり、非零元の最低次数を $v$ とする。$x$ が $B$ 上整で $v(x)<0$ なら、モニック関係 $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$ において最初の項の次数 $nv(x)$ が他の全項より厳密に小さく、打ち消せない。矛盾により $v(x)\ge0$、すなわち $x\in B$ である。$A$ 上整な商体の元は $B$ 上も同じ関係で整なので $B$ に入り、逆包含の整性はすでに示した。よって $B$ が整閉包である。
さらに $A$ が非 Noether であることも直接確認できる。イデアル $tB$ の商 $tB/t^2B\cong F$ は $A$ の定数項 $k$ だけで作用される。有限生成なら $F/k$ が有限次元となって矛盾する。したがって $tB$ は有限生成でなく、$A$ は Noether 環ではない。非零導手から有限性を得る定理の Noether 条件を、この例で外すことはできない。

この例は「非有限な双有理拡大は必ず導手が零」という推論の反例でもある。共通分母があることと有限個の加群生成元があることは、非 Noether 整域では違う条件である。整閉包であることを付け加えても、この違いは消えない。ここでは特定の環の正規化を直接計算したのであり、一般の正規化有限性を使っていない。

中間環と商による見方

$A\subset B\subset C$ が単位元を共有する環包含なら、$\mathfrak c_{C/A}\subset\mathfrak c_{B/A}$ である。大きい環全体に対して積が $A$ に入れば、その部分環に対しても入るからである。また $\mathfrak c_{C/A}$ は $C$ のイデアルなので $B$ のイデアルでもあり、$B$ に含まれる $C$ イデアルの最大性から $\mathfrak c_{C/A}\subset\mathfrak c_{C/B}$ でもある。ただし、この二つの導手の積が常に等号で元の導手を与えるとは主張しない。
導手 $\mathfrak c$ を共通に割ると $A/\mathfrak c\subset B/\mathfrak c$ という包含が得られる。その導手は零である。実際、$a+\mathfrak c$ が導手に入るなら、任意の $b\in B$ に対して $ab+\mathfrak c$ が $A/\mathfrak c$ に入る。これは $ab\in A+\mathfrak c=A$ と同値なので、$a\in\mathfrak c$ となる。導手をすべて取り除いた剰余では、さらに共通に使える非零イデアルは残らない。
これは二つの商環が等しくなることを意味しない。尖点では $k\subset k[t]/(t^2)$、節点型では対角包含 $k\subset k\times k$ が残った。逆に $A/\mathfrak c=B/\mathfrak c$ なら、$\mathfrak c\subset A$ により $B=A+\mathfrak c=A$ となり、元の包含自体が等号である。商を取った後の導手が零という事実と、商環が等しいという事実を区別する必要がある。

計算と仮定の整理

一般の環包含では、まず $B/A$ の $A$ 加群構造を記述し、その零化イデアルを求めると導手を計算できる。有限個の剰余生成元がある場合には、それらを零にする条件だけで足りる。尖点と節点型では剰余が一次元であり、定数項だけが作用することから導手を読み取れた。
同じ商体内の拡大では、次に共通分母を調べる。有限個の加群生成元があればその分母の積が導手の非零元を与える。非零導手から有限性へ戻すには、$dB$ という通常のイデアルの有限生成性を保証する条件が必要であり、Noether 性はその十分条件である。整性はこの分母の計算自体には使わない。
正規化を考えるときは、商体内で取った整閉包か、別の体の中の整閉包かも確認する。$k[t^2]\subset k[t]$ の例は加群有限かつ整でも商体が変わるため導手が零になった。非有限正規化の例では商体が同じで共通分母があったため導手は非零だった。有限・整・双有理という三つの条件は、それぞれ別に働いている。
整拡大・整閉包・分数イデアルの背景は MatCRT §§9–11 に対応する。本記事では、導手の双方イデアル性、零化イデアル表示、局所化の等式、共通分母との同値、三つの具体環の計算を証明した。正規化が一般に有限になるための判定は扱わず、有限性を仮定したときの帰結と、直接計算できる反例を述べた。