単体的空間の幾何学的実現

条件があれば $(x,t)=(x,\lvert\mu\rvert s)\sim(\mu^*x,s)=(\mu'^*x',s)\sim(x',\lvert\mu'\rvert s)$ である。逆に同値とし、共通の標準の代表を $(y,u)$（$y\in X_n$ は非退化、$u$ は内部の点）とする。幾何学的実現 の命題「実現の点の標準の代表」の手順により、$t$ の台による分解 $t=\lvert\delta\rvert s_1$（$\delta\colon[a]\to[m]$ は単射、$s_1$ は内部の点）と全射 $\beta\colon[a]\to[n]$ で $\delta^*x=\beta^*y$、$\lvert\beta\rvert s_1=u$ となるものがある。$(x',t')$ についても同様に $\delta',s_2,\beta'$ をとる。

幾何学的実現と積(Milnorの定理) の節「単体の積」のとおり、点 $s\in\lvert\Delta^p\rvert$ に階段関数 $a_s\colon[0,1)\to[p]$ を対応させると、$a_{\lvert\alpha\rvert\lambda}=\alpha\circ a_\lambda$（同節の等式 (1)）が成り立つ。よって $\beta\circ a_{s_1}=a_u=\beta'\circ a_{s_2}$ である。$\varphi:=(a_{s_1},a_{s_2})\colon[0,1)\to[a]\times[a']$ は積順序について広義単調増加なので、値の集合は狭義増加列 $v_0< \cdots< v_k$ をなし、各ファイバーは空でない区間である。その長さを並べた内部の点を $s$、$v_i$ の成分を $\gamma(i)$、$\gamma'(i)$ とすると、$a_{s_1}=\gamma\circ a_s$、$a_{s_2}=\gamma'\circ a_s$ なので $\lvert\gamma\rvert s=s_1$、$\lvert\gamma'\rvert s=s_2$ であり、$a_s$ は全射なので $\beta\gamma=\beta'\gamma'$ である。$\mu:=\delta\gamma$、$\mu':=\delta'\gamma'$ とおくと $\mu^*x=\gamma^*\beta^*y=(\beta\gamma)^*y=(\beta'\gamma')^*y=\mu'^*x'$、$\lvert\mu\rvert s=\lvert\delta\rvert s_1=t$、$\lvert\mu'\rvert s=t'$ である。$(\gamma,\gamma')$ は単射で $\delta,\delta'$ も単射なので $(\mu,\mu')$ は単射であり、$[m]\times[m']$ の狭義増加列の長さから $k\le m+m'$ である。$\square$

1：$kA\times C$ は $k$-空間であり（コンパクト生成空間 の定理「局所コンパクト空間との直積」）、位相は $A\times C$ より細かい。$A\times C$ への試験写像 $(u_1,u_2)$ は、$u_1$ が $kA$ への試験写像でもあるので（同記事の命題「$k$ 化」の 1）、$kA\times C$ への試験写像と一致する。よって $k$-閉集合は両者で同じであり、$kA\times C$ の $k$-閉集合は閉集合なので、$k(A\times C)=kA\times C$ である。

2：$C_i$ の非交和への試験写像 $u\colon K\to\coprod C_i$ について、$u^{-1}(C_i)$ は $K$ の開かつ閉な被覆で、コンパクト性から空でないものは有限個である。よって $S$ が $k$-閉集合であることと、すべての $S\cap C_i$ が $C_i$ で $k$-閉集合であることは同値で、$k(\coprod C_i)=\coprod kC_i$ である。弱 Hausdorff 性も、$u(K)$ が有限個の $C_i$ の中の閉集合 $u(u^{-1}(C_i))$ の和になることから従う。$(\coprod A_i)\times(\coprod B_j)=\coprod A_i\times B_j$ なので、$k$ 化した積は非交和に分配する。

3：$\mathcal C$ を $Z\times C$ の閉集合、$(z,l)\notin(\mathrm{id}\times p)(\mathcal C)$ とする。$p^{-1}(l)$ の各点 $\kappa$ に、$(z,\kappa)$ の開近傍 $U_\kappa\times V_\kappa$ で $\mathcal C$ と交わらないものをとり、コンパクトな $p^{-1}(l)$ を覆う有限個を選んで $U:=\bigcap U_\kappa$、$V:=\bigcup V_\kappa$ とおくと $(U\times V)\cap\mathcal C=\emptyset$ である。$p$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像なので閉写像であり、$O:=C'\setminus p(C\setminus V)$ は $l$ の開近傍で $p^{-1}(O)\subseteq V$ を満たす。よって $U\times O$ は $(\mathrm{id}\times p)(\mathcal C)$ と交わらない。$\square$

$\Phi_n^{-1}(C)$ が閉である $C$ について、$q_X^{-1}(C)\cap(X_m\times\lvert\Delta^m\rvert)$ が閉であることを $m$ について確かめる。$m\le n-1$ では $q_X$ の制限は $F_{n-1}\lvert X\rvert$ への連続写像で、$C\cap F_{n-1}\lvert X\rvert=\Phi_n^{-1}(C)\cap F_{n-1}\lvert X\rvert$ は閉なので、逆像は閉である。$m=n$ では $\Phi_n^{-1}(C)\cap(X_n\times\lvert\Delta^n\rvert)$ そのものである。$m>n$ では、この集合は段 4 の $E_{\delta,\beta}$ の和に含まれる。$\gamma$ を $\beta$ の切断とすると $E_{\delta,\beta}$ の上で $q_X(y,\lvert\delta\rvert r)=q_X(\gamma^*\delta^*y,\lvert\beta\rvert r)$ であり、$\psi(y,\lvert\delta\rvert r):=(\gamma^*\delta^*y,\lvert\beta\rvert r)$ は $E_{\delta,\beta}$ から $X_k\times\lvert\Delta^k\rvert$（$k\le n$）への連続写像なので、$q_X^{-1}(C)\cap E_{\delta,\beta}=\psi^{-1}(q_X^{-1}(C))$ は閉である。よって $C$ は閉であり、$\Phi_n$ は商写像である。点の同一視については、標準の代表の一意性により、次数がちょうど $n$ の点は $(X_n\setminus D_nX)\times\operatorname{Int}\lvert\Delta^n\rvert$ の点とただ 1 通りに対応し、$L_nX$ の点は $q_X$ で次数 $n-1$ 以下の点に写る。したがって $\Phi_n$ が同一視するのはちょうど $L_nX$ の点とその像であり、$F_n\lvert X\rvert$ は押し出しである。$n=0$ では $L_0X=\emptyset$、$F_{-1}\lvert X\rvert=\emptyset$ なので $F_0\lvert X\rvert\cong X_0$ である。$\blacksquare$

$W_{cZ\times K}=Z\times W_K$ であり、同値関係は $W_K$ の同値関係に $\mathrm{id}_Z$ を並べたものである。$W_K$ と $\lvert K\rvert$ は局所コンパクトなので、$\mathrm{id}_Z\times q_K$ は $k$ 化した積と同じ直積位相の間の商写像であり（写像空間の指数法則(位相空間) の系「$k$ 化した積と商写像」）、両辺は同じ商空間である。

1：$W_{E}\times_kG$ は lem-ssr-topology の 2 により $(E_nG\times\lvert\Delta^n\rvert)\times_kG$ の非交和で、各成分の上で $((h,t),a)\mapsto[ha,t]$ は連続である。作用は $\alpha^*$ と可換なので生成関係を保ち、$q_E\times_k\mathrm{id}_G$ は商写像なので（写像空間の指数法則(位相空間) の系「$k$ 化した積と商写像」）連続な作用が得られる。$z=[h,t]$ を標準の代表とすると、$ha$ も隣り合う成分が等しくないので非退化であり、$za=z$ なら一意性から $ha=h$、とくに $h_0a=h_0$ で $a=e$ である。

2：$H([h,t],u):=[(e,h_0,\dots,h_n),(u,(1-u)t)]$ とおく。$d_ih$ に $e$ を付け加えたものは $(e,h)$ の $d_{i+1}$、$s_ih$ に付け加えたものは $s_{i+1}$ の像であり、座標の側でも $\lvert\delta^{i+1}\rvert,\lvert\sigma^{i+1}\rvert$ は先頭の $u$ を動かさないので、$H$ は生成関係を保つ。$[0,1]$ は局所コンパクトなので $H$ は連続である。$u=0$ では先頭の座標が $0$ なので $d_0$ により $H(z,0)=z$、$u=1$ では $H(z,1)=[(e),1]$ である。

3：$r\colon W_E\to W_B$ を各次数の軌道への写像と $\lvert\Delta^n\rvert$ の恒等写像の積とする。$r$ は連続な切断（各次数で上の切断）をもつ連続な全射なので商写像であり、$q_B\circ r=p\circ q_E$ も商写像なので、$p$ は商写像である。$h$ が非退化であることと $g_i\ne e$（すべての $i$）は同値で、$B_\bullet G$ の非退化性も同じ条件なので、$p$ は標準の代表 $[h,t]$ を標準の代表 $[g(h),t]$ に写す。よって $p(z)=p(z')$ なら標準の代表の次数と内部の点が等しく、$g(h)=g(h')$ から $h'=ha$ となる $a$ がある。逆に $p$ は作用で不変である。商写像 $p$ のファイバーが軌道なので、$EG/G\to BG$ は同相写像である。

4：$p$ は次数を保つので $p^{-1}(b_0)$ は次数 $0$ の点の全体 $F_0EG$ であり、thm-ssr-main の 2・4 により閉集合で、$E_0G=G$ と同相である。$\square$