Milnor完全列

$P'$ を、$P'^q:=P^{q-1}$、微分 $-d$ の複体とする。$H^q(P')=H^{q-1}(P)$ である。$b\mapsto(0,b)$ と $(a,b)\mapsto a$ は複体の射で、複体の短完全列
$$ 0\longrightarrow P'\longrightarrow\operatorname{holim}_nC_n\longrightarrow P\longrightarrow0 $$
を与える（$d_M(0,b)=(0,-db)$、$d_M(a,b)$ の第 1 成分は $da$）。そのコホモロジーの長完全列の連結準同型 $H^q(P)\to H^{q+1}(P')=H^q(P)$ は、コサイクル $a$ を $(a,0)$ に持ち上げて $d_M(a,0)=(0,\Delta a)$ をとるものなので、$\Delta$ が誘導する写像 $\Delta_*$ である。よって
$$ H^{q-1}(P)\xrightarrow{\ \Delta_*\ }H^{q-1}(P)\longrightarrow H^q\bigl(\operatorname{holim}_nC_n\bigr)\longrightarrow H^q(P)\xrightarrow{\ \Delta_*\ }H^q(P) $$
は完全で、$0\to\operatorname{coker}(\Delta_*)\to H^q(\operatorname{holim}_nC_n)\to\ker(\Delta_*)\to0$ が完全である。
直積の複体では核と像が成分ごとに計算されるので $H^q(P)=\prod_nH^q(C_n)$ であり、この同一視で $\Delta_*$ は $([c_n])_n\mapsto([c_n]-\rho_n[c_{n+1}])_n$、すなわち塔 $(H^q(C_n))_n$ の $\Delta$ である。したがって $H^{q-1}(P)$ 上の $\Delta_*$ の余核は $\varprojlim^1_nH^{q-1}(C_n)$、$H^q(P)$ 上の $\Delta_*$ の核は $\varprojlim_nH^q(C_n)$ である。写像の形は構成から読み取れ、構成はどれも塔の射と可換なので列は自然である。$\square$

仮定は、各次数で $\Delta\colon P^q\to P^q$ が全射ということである。
$H^q(j)$ は全射である。$(a,b)\in M^q$ がコサイクル、すなわち $da=0$、$\Delta a=db$ とする。$b\in P^{q-1}$ を $b=\Delta b'$（$b'\in P^{q-1}$）と書くと、
$$ (a,b)-d_M(b',0)=(a-db',\ b-\Delta b')=(a-db',\ 0) $$
であり、$\Delta(a-db')=\Delta a-d\Delta b'=db-db=0$ なので $a-db'\in C^q$ はコサイクルで、$[(a,b)]=j[a-db']$ である。
$H^q(j)$ は単射である。$c\in C^q$ がコサイクルで、$(c,0)=d_M(a,b)$（$a\in P^{q-1}$、$b\in P^{q-2}$）とする。$c=da$、$\Delta a=db$ である。$b=\Delta b'$（$b'\in P^{q-2}$）と書き $a':=a-db'$ とおくと、$\Delta a'=db-db=0$ より $a'\in C^{q-1}$ であり、$da'=da=c$ である。よって $[c]=0$ である。
$j$ が擬同型なので、thm-milnor-holim の列を $H^q(C)$ に移せばよい。$\lambda\circ H^q(j)$ は $[c]\mapsto([c_n])_n$ である。最後に、Mittag-Leffler 条件から $\varprojlim^1=0$ が従うことは Mittag-Leffler条件 の定理「Mittag-Leffler条件のもとでの消滅」の 2 による。$\square$

$\mathcal F$ の入射分解 $\mathcal F\to\mathcal I^\bullet$ をとる。入射的な層は脆弱層で、脆弱層は非輪状である（層コホモロジー の定理「脆弱層の非輪状性」）。脆弱層の開集合への制限は脆弱層なので（flasque層 の命題「制限・順像・直積と flasque 性」）、$\mathcal I^\bullet|_{X_n}$ は $\mathcal F|_{X_n}$ の脆弱分解であり、$H^q(X_n,\mathcal F)=H^q(\Gamma(X_n,\mathcal I^\bullet))$ である（層コホモロジー の命題「非輪状分解による計算」）。$X$ についても同様である。
塔 $C_n:=\Gamma(X_n,\mathcal I^\bullet)$ の推移写像は制限で、脆弱層の制限写像は全射なので、次数ごとに全射である。$X_n$ は $X$ の開被覆をなし、増大列なので、両立する切断の族 $(s_n)$（$s_{n+1}|_{X_n}=s_n$）は層の条件によりただ 1 つの大域切断に貼り合わさる。すなわち $\Gamma(X,\mathcal I^q)=\varprojlim_n\Gamma(X_n,\mathcal I^q)$ である。thm-milnor-algebraic を当てればよい。$\square$

望遠鏡． $[0,\infty)$ を整数点を $0$ 胞体とする CW 複体とし、$X\times[0,\infty)$ に積の CW 構造を入れる（$[0,\infty)$ は局所コンパクト。Hat02 Theorem A.6、p. 524）。その部分複体
$$ T:=\bigcup_{i\ge0}X_i\times[i,i+1] $$
を 写像望遠鏡 という。$T$ は $X\times[0,\infty)$ の変位レトラクトであり（Hat02 §3.F、p. 314。Lemma 2.34 の証明（p. 138）の議論が任意の部分複体の増大列で通る）、射影 $X\times[0,\infty)\to X$ はホモトピー同値なので、$\mathrm{pr}\colon T\to X$、$(x,t)\mapsto x$ はホモトピー同値で、$\mathrm{pr}^*\colon h^q(X)\to h^q(T)$ は同型である。この 2 つの事実はこの記事では証明しない。
2 つに分ける． $P_i:=X_i\times[i,i+1]$ とおく。$\lvert i-j\rvert\ge2$ なら $P_i\cap P_j=\emptyset$、$P_i\cap P_{i+1}=X_i\times\{i+1\}$ である。$T_1:=\bigcup_{i\text{ 奇数}}P_i$、$T_2:=\bigcup_{i\text{ 偶数}}P_i$ とおくと、$T=T_1\cup T_2$、$T_1\cap T_2=\bigsqcup_{i\ge0}X_i\times\{i+1\}$ である。$T_1$、$T_2$、$T_1\cap T_2$ は、互いに交わらない部分複体の和なので、それらの位相的な非交和である。包含 $X_i\cong X_i\times\{i+1\}\subset P_i$ はホモトピー同値なので、加法性公理とホモトピー公理により
$$ h^q(T_1)\oplus h^q(T_2)\cong\prod_{i\ge0}h^q(X_i),\qquad h^q(T_1\cap T_2)\cong\prod_{i\ge0}h^q(X_i) $$
と同一視できる（各 $P_i$ の元を $X_i\times\{i+1\}$ への制限で表す）。
Mayer–Vietoris 写像の計算． 一般コホモロジー理論 の定理「一般コホモロジー理論の Mayer–Vietoris 完全列」を $A=T_1$、$B=T_2$ に当てる。その写像 $\psi(\alpha,\beta)=\alpha|_{T_1\cap T_2}-\beta|_{T_1\cap T_2}$ を上の同一視で書く。$X_i\times\{i+1\}$ は $P_i$ と $P_{i+1}$ の両方に含まれ、$P_i$ からの制限は $a_i$、$P_{i+1}$ からの制限は推移写像による $\rho_i(a_{i+1})$ である（$X_i\times\{i+1\}\subset X_{i+1}\times\{i+1\}$ と、$P_{i+1}$ の中での $X_{i+1}\times\{i+1\}$ と $X_{i+1}\times\{i+2\}$ のホモトピー）。$i$ が奇数なら $P_i\subset T_1$、偶数なら $P_i\subset T_2$ なので、
$$ \psi\bigl((a_i)_i\bigr)=\bigl(\varepsilon_i\,(a_i-\rho_i(a_{i+1}))\bigr)_i,\qquad\varepsilon_i=\begin{cases}1&(i\text{ 奇数})\\-1&(i\text{ 偶数})\end{cases} $$
である。成分ごとに $\varepsilon_i$ を掛ける写像は自己同型なので、$\ker\psi=\varprojlim_ih^q(X_i)$、$\operatorname{coker}\psi\cong\varprojlim^1_ih^q(X_i)$ である。
結論． Mayer–Vietoris 完全列
$$ h^{q-1}(T_1)\oplus h^{q-1}(T_2)\xrightarrow{\ \psi\ }h^{q-1}(T_1\cap T_2)\longrightarrow h^q(T)\xrightarrow{\ \varphi\ }h^q(T_1)\oplus h^q(T_2)\xrightarrow{\ \psi\ }h^q(T_1\cap T_2) $$
から、$0\to\operatorname{coker}\psi^{q-1}\to h^q(T)\xrightarrow{\varphi}\ker\psi^q\to0$ は完全である。$\mathrm{pr}(x,i+1)=x$ なので、$\varphi\circ\mathrm{pr}^*$ は上の同一視で $x\mapsto(x|_{X_i})_i=\lambda(x)$ である。$\mathrm{pr}^*$ で $h^q(T)$ を $h^q(X)$ に置き換えれば主張の列を得る。写像 $g\colon X\to Y$ で $g(X_i)\subset Y_i$ となるものは $g\times\mathrm{id}$ で望遠鏡と $T_1,T_2$ を保ち、上の写像はすべて制限と Mayer–Vietoris 完全列の写像からなるので、列は自然である。$\square$

要点：直和では $\Delta$ にあたる写像が単射で、$\varprojlim^1$ にあたる項が出ない。

要点：制限が全射なので $\varprojlim^1$ が消える。

$H^k(X_i;G)$ は胞体コチェイン複体 $H^k(X_i^k,X_i^{k-1};G)$ のコホモロジーと同型であり（Hat02 Theorem 3.5、p. 203）、$X_i$ は有限個の胞体しかもたないので胞体コチェイン群は有限群である。よってその部分商 $H^{q-1}(X_i;G)$ は有限群である。有限群の塔は Mittag-Leffler 条件を満たし（Mittag-Leffler条件 の命題「Mittag-Leffler条件の十分条件」の 3）、$\varprojlim^1=0$ である。$\square$

要点：帰納極限の双対では $\varprojlim^1$ が消える。