Rouchéの定理

$K$ の外の点。 $a\notin K$ なら、$\gamma^*$ は $a$ を含まない凸集合 $K$ に含まれるので、回転数 の記事の系「ホモトピー不変性の帰結」の 2 により $n(\gamma,a)=0$ である。
$K$ の凸な近傍。 $W=\mathbb{C}$ なら $\delta:=1$、そうでなければ $\delta$ を、コンパクト集合 $K$ と閉集合 $\mathbb{C}\setminus W$ の距離（正である）とし、
$$ U:=\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{dist}(z,K)< \delta/2\} $$
とおく。$U$ は開集合で、凸である。実際、$z_1,z_2\in U$ について $k_j\in K$ を $|z_j-k_j|< \delta/2$ となるようにとると、$0\le s\le1$ について $(1-s)k_1+sk_2\in K$ であり、
$$ |((1-s)z_1+sz_2)-((1-s)k_1+sk_2)|\le(1-s)|z_1-k_1|+s|z_2-k_2|< \delta/2 $$
となる。よって $U$ は単連結な領域である。$U$ の閉包は有界閉集合 $\{\operatorname{dist}(z,K)\le\delta/2\}$ に含まれ、これはコンパクトで $W$ に含まれる。
零点と極の有限性。 $W$ は連結で $f$ は恒等的に $0$ でないので、$f$ の零点の集合は $W$ の中に集積点をもたず（有理型関数 の記事の命題「有理型関数のなす体」の 2）、極の集合も有理型関数の定義により $W$ の中に集積点をもたない。したがって、それがコンパクト集合 $\{\operatorname{dist}(z,K)\le\delta/2\}$ と交わる部分は有限集合であり、とくに $U$ の中の零点と極は有限個である。
偏角の原理の適用。 $f|_U$ と $U$ 内の閉曲線 $\gamma$ に 偏角の原理 の記事の定理「偏角の原理」を使うと、$U$ の中の零点・極 $a$ についての和 $\sum_an(\gamma,a)\operatorname{ord}_af$ が $n(f\circ\gamma,0)$ に等しい。$U$ の外の零点・極は $K$ の外にあるので回転数が $0$ であり、和に寄与しない。よってこの和は $N_\gamma(f)-P_\gamma(f)$ に等しい。

$z\in\gamma^*$ で $f(z)=0$ なら、仮定は $|g(z)|<|g(z)|$ となって成り立たない。よって $f$ は $\gamma^*$ の上で $0$ にならず、$g$ も同様である。
$\gamma\colon[\alpha,\beta]\to W$ とし、$\varphi(t):=g(\gamma(t))/f(\gamma(t))$ とおく。$\varphi$ は $0$ を通らない閉曲線である。仮定を $|f(\gamma(t))|$ で割ると
$$ |\varphi(t)-1|<|\varphi(t)|+1 $$
となる。$\varphi(t)$ が $0$ 以下の実数 $-x$（$x\ge0$）なら左辺は $x+1$、右辺も $x+1$ となって不等式に反するので、$\varphi(t)$ は半直線 $(-\infty,0]$ に属さない。$1$ と $\varphi(t)$ を結ぶ線分が $0$ を通るのは $\varphi(t)\in(-\infty,0]$ のときだけだから、回転数 の記事の系「ホモトピー不変性の帰結」の 3（値 $1$ の定数の曲線と比べる）により $n(\varphi,0)=0$ である。$g\circ\gamma=(f\circ\gamma)\varphi$ なので、回転数 の記事の命題「回転数の基本性質」の 4 により
$$ n(g\circ\gamma,0)=n(f\circ\gamma,0)+n(\varphi,0)=n(f\circ\gamma,0) $$
である。$f$ と $g$ のそれぞれに lem-rt-convex を使うと、左辺は $N_\gamma(g)-P_\gamma(g)$、右辺は $N_\gamma(f)-P_\gamma(f)$ に等しい。
正則なら極はないので $P_\gamma(f)=P_\gamma(g)=0$ である。最後の主張は $|g-f|<|f|\le|f|+|g|$ からしたがう。

$G(t,s):=H(s,\gamma(t))$ は $[\alpha,\beta]\times[0,1]$ 上の連続写像で、$\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)$ よりすべての $s$ で $G(\alpha,s)=G(\beta,s)$ であり、仮定により値は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ に入る。よって閉曲線 $H_0\circ\gamma$ と $H_s\circ\gamma$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ の中で閉曲線としてホモトピックであり、回転数 の記事の定理「回転数のホモトピー不変性」により $n(H_s\circ\gamma,0)=n(H_0\circ\gamma,0)$ である。
後半について：$H_s$ は $\gamma^*$ の上で $0$ にならないので恒等的に $0$ ではなく、極ももたない。lem-rt-convex により $N_\gamma(H_s)=n(H_s\circ\gamma,0)$ であり、これは前半により $s$ によらない。

$\gamma^*$ はコンパクトで、$|f|$ はその上の正の連続関数なので、正の最小値 $\delta$ をもつ。一様収束により、$N$ を $n\ge N$ なら $\gamma^*$ の上で $|f_n-f|< \delta\le|f|$ となるようにとれる。このとき $|f-f_n|<|f|\le|f|+|f_n|$ なので、thm-rt-main を $f$ と $g=f_n$ に使えばよい。

$C_j$ を円周 $|z-\zeta_j|=\varepsilon$ とする。$\varepsilon$ のとり方から、閉円板 $|z-\zeta_j|\le\varepsilon$ に含まれる $p$ の根は $\zeta_j$ だけであり、$p$ は $C_j$ の上で $0$ にならない。$\mu:=\min_j\min_{z\in C_j}|p(z)|$ とおくと、$\mu>0$ である（有限個のコンパクト集合の上の正の連続関数の最小値）。$\rho:=\max_j|\zeta_j|+\varepsilon$ とおくと、$C_j$ の上では $|z|\le\rho$ である。
$$ \delta:=\frac{\mu}{1+\rho+\rho^2+\cdots+\rho^{n-1}} $$
とする。$|b_k-a_k|< \delta$ なら、$C_j$ の上で
$$ |q(z)-p(z)|\le\sum_{k=0}^{n-1}|b_k-a_k||z|^k< \delta\sum_{k=0}^{n-1}\rho^k=\mu\le|p(z)| $$
である。$K$ を閉円板 $|z-\zeta_j|\le\varepsilon$、$\gamma$ を $C_j$ を反時計回りに 1 周する閉曲線として thm-rt-main の最後の主張を使うと、$N_\gamma(q)=N_\gamma(p)$ である。円周の回転数は内部で $1$、外部で $0$ なので（Cauchyの積分公式 の記事の命題「回転数の性質」の 3）、これは $q$ と $p$ が開円板 $|z-\zeta_j|< \varepsilon$ の中に同じ個数の根をもつことを意味し、$p$ の個数は $m_j$ である。
円板たちは互いに交わらないので、$q$ はそれらの中に合わせて $m_1+\cdots+m_r=n$ 個の根をもつ。$q$ の根は重複度を込めてちょうど $n$ 個なので（代数学の基本定理）、ほかに根はない。