一様空間
概要
一様空間（uniform space）とは、集合 $X$ と、$X\times X$ の部分集合（近縁）の族であって対角線を含み、上に閉じ、逆と有限交叉で閉じ、各近縁 $V$ に対し $W\circ W\subset V$ となる近縁 $W$ をもつもの（一様構造）との組である。近縁は距離空間の「距離が $\varepsilon$ 未満の点の対の集合」を数値なしで抽象化したもので、一様構造は各点の近傍系を通じて位相（一様位相）を定める。位相空間より多く距離空間より少ない情報をもち、距離を使わずに一様連続写像・Cauchy フィルター・完備性・全有界性を定義でき、距離空間や位相群がその代表例である。位相空間が一様化可能であることは完全正則であることと同値であり、同じ位相を定める異なる一様構造が存在しうるので、完備性や全有界性は位相的性質ではなく一様的性質である。
前提知識: 集合, 直積集合, フィルター, 位相空間, 距離空間
定義
集合 $X$ に対し、直積集合 $X\times X$ の部分集合（$X$ 上の二項関係）$V,W$ について次の記法を用いる。
- 対角線集合 $\Delta_X:=\{(x,x)\mid x\in X\}$。
- 逆 $V^{-1}:=\{(y,x)\mid(x,y)\in V\}$。$V=V^{-1}$ のとき $V$ は対称であるという。
- 合成 $W\circ V:=\{(x,z)\mid\text{ある }y\in X\text{ について }(x,y)\in V\text{ かつ }(y,z)\in W\}$。$V\circ V$ を $V^2$ とも書く。
- $x\in X$ に対し $V[x]:=\{y\in X\mid(x,y)\in V\}$、$A\subset X$ に対し $V[A]:=\bigcup_{x\in A}V[x]$。
集合 $X$ 上の一様構造（uniform structure）または一様性（uniformity）とは、$X\times X$ の部分集合の族 $\mathcal{U}$ であって次の条件を満たすもののことをいう。
- 任意の $V\in\mathcal{U}$ は $\Delta_X$ を含む。
- $\mathcal{U}$ は空でなく、$V\in\mathcal{U}$ かつ $V\subset W\subset X\times X$ ならば $W\in\mathcal{U}$ である。
- $V,W\in\mathcal{U}$ ならば $V\cap W\in\mathcal{U}$ である。
- $V\in\mathcal{U}$ ならば $V^{-1}\in\mathcal{U}$ である。
- 任意の $V\in\mathcal{U}$ に対し、$W\circ W\subset V$ となる $W\in\mathcal{U}$ が存在する。
組 $(X,\mathcal{U})$ を一様空間（uniform space）といい、$\mathcal{U}$ の元を近縁（entourage）という。$X\neq\emptyset$ のとき、条件 1〜3 は $\mathcal{U}$ が $X\times X$ 上のフィルターであることを意味する。
$\mathcal{U}$ の部分族 $\mathcal{B}$ が $\mathcal{U}$ の基本近縁系（fundamental system of entourages）であるとは、任意の $V\in\mathcal{U}$ がある $B\in\mathcal{B}$ を含むことをいう。このとき $\mathcal{U}=\{V\subset X\times X\mid\text{ある }B\in\mathcal{B}\text{ について }B\subset V\}$ である。
一様構造 $\mathcal{U}$ が分離的（separated）であるとは、$\bigcap_{V\in\mathcal{U}}V=\Delta_X$ となることをいう。
条件 1 は「各点は自分自身に近い」、条件 4 は「近さは対称」、条件 5 は距離空間の三角不等式に対応する。近縁 $V$ を「距離が $\varepsilon$ 未満の点の対の集合」の抽象化と考えると、$V[x]$ は「$x$ の $\varepsilon$-近傍」にあたる。
$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とする。$X$ の部分集合 $A$ が開集合であるとは、任意の $x\in A$ に対して $V[x]\subset A$ となる $V\in\mathcal{U}$ が存在することをいう。このような $A$ の全体は $X$ 上の位相をなし（prop-uniform-space-topology）、これを $\mathcal{U}$ の定める一様位相（uniform topology）という。一様空間に関する位相的な言葉（近傍、閉包、連続、収束、コンパクトなど）は、すべて一様位相に関するものとする。位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が一様化可能（uniformizable）であるとは、$\mathcal{O}$ を一様位相とする $X$ 上の一様構造が存在することをいう。
$(X,\mathcal{U})$、$(Y,\mathcal{V})$ を一様空間とする。写像 $f\colon X\to Y$ が一様連続（uniformly continuous）であるとは、任意の $W\in\mathcal{V}$ に対し、$(f\times f)(V)\subset W$（すなわち $(x,x')\in V$ ならば $(f(x),f(x'))\in W$）となる $V\in\mathcal{U}$ が存在することをいう。$f\times f\colon X\times X\to Y\times Y$ は $(x,x')\mapsto(f(x),f(x'))$ である。条件 2 により、これは任意の $W\in\mathcal{V}$ について $(f\times f)^{-1}(W)\in\mathcal{U}$ となることと同値である。全単射 $f$ で $f$ と $f^{-1}$ がともに一様連続なものを一様同型（uniform isomorphism）という。
$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とする。
- $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が Cauchy フィルターであるとは、任意の $V\in\mathcal{U}$ に対し、$F\times F\subset V$ となる $F\in\mathcal{F}$ が存在することをいう。
- $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy 列であるとは、任意の $V\in\mathcal{U}$ に対しある $N$ が存在して、$m,n\ge N$ ならば $(x_m,x_n)\in V$ となることをいう。これは、点列の尾 $\{x_n\mid n\ge N\}$ の全体が生成するフィルターが Cauchy フィルターであることと同値である。
- フィルター $\mathcal{F}$ が点 $x$ に収束するとは、$x$ の任意の近傍が $\mathcal{F}$ に属することをいう。
- $X$ が完備（complete）であるとは、$X$ 上の任意の Cauchy フィルターが収束することをいう。
- $X$ が全有界（totally bounded、Bourbaki の用語ではプレコンパクト）であるとは、任意の $V\in\mathcal{U}$ に対し、有限集合 $F\subset X$ で $X=V[F]$ となるものが存在することをいう。
直感
距離空間では「$x$ と $y$ の距離が $\varepsilon$ 未満」という条件を場所によらず一律に述べられるので、一様連続性・Cauchy 列・完備性・全有界性のような、二点の「近さ」を空間全体で比較する概念が定義できる。一方、位相空間がもつのは各点ごとの近傍の情報だけで、異なる点のまわりの近傍の「大きさ」を比べる手段がない。一様空間は、数値としての距離を捨て、「近い点の対の集合」である近縁の族だけを残した構造である。位相空間より多く、距離空間より少ない情報をもち、位相群のように距離をもたないが「一様な近さ」をもつ対象を統一的に扱える。一様連続性・完備性・全有界性は位相的性質ではなく一様的性質であり、同じ位相を定める二つの一様構造でこれらの性質が異なりうる（ex-uniform-space-arctan）。
例と反例
$(X,d)$ を距離空間とし、$\varepsilon>0$ に対し $V_\varepsilon:=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon\}$ とおく。族 $\mathcal{B}_d:=\{V_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$ は prop-uniform-space-base の条件を満たす。実際、$d(x,x)=0$ より $\Delta_X\subset V_\varepsilon$、$V_\varepsilon\cap V_\delta=V_{\min(\varepsilon,\delta)}$、対称性 $d(x,y)=d(y,x)$ より $V_\varepsilon^{-1}=V_\varepsilon$、三角不等式より $V_{\varepsilon/2}\circ V_{\varepsilon/2}\subset V_\varepsilon$ である。したがって $\mathcal{B}_d$ を基本近縁系とする一様構造 $\mathcal{U}_d$ が定まる。これを $d$ の定める一様構造という。
$V_\varepsilon[x]=B(x,\varepsilon)$（開球）なので、$\mathcal{U}_d$ の一様位相の開集合とは「各点 $x$ についてある開球 $B(x,\varepsilon)$ を含む集合」であり、これは距離位相の開集合にほかならない。距離空間の間の写像が def-uniform-space-uniformly-continuous の意味で一様連続であることは、通常の $\varepsilon$-$\delta$ による一様連続性（任意の $\varepsilon>0$ に対しある $\delta>0$ が存在して $d(x,x')<\delta$ ならば $d(f(x),f(x'))<\varepsilon$）と同値であり、Cauchy 列と全有界性も距離空間での定義（Cauchy列、全有界）と一致する。完備性については prop-uniform-space-metric-complete を見よ。距離の公理から $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ を外した擬距離（擬距離）でも同じ構成が通り、一様構造が得られる。
$G$ を位相群、$\mathcal{N}$ を単位元 $e$ の近傍全体とする。$N\in\mathcal{N}$ に対し
$$
V_N^{\mathrm{L}}:=\{(x,y)\in G\times G\mid x^{-1}y\in N\},\qquad V_N^{\mathrm{R}}:=\{(x,y)\in G\times G\mid yx^{-1}\in N\}
$$
とおく。族 $\{V_N^{\mathrm{L}}\mid N\in\mathcal{N}\}$ は prop-uniform-space-base の条件を満たす。実際、$e\in N$ より $\Delta_G\subset V_N^{\mathrm{L}}$、$V_N^{\mathrm{L}}\cap V_M^{\mathrm{L}}=V_{N\cap M}^{\mathrm{L}}$、逆元をとる写像が同相写像なので $N^{-1}\in\mathcal{N}$ であり $(V_N^{\mathrm{L}})^{-1}=V_{N^{-1}}^{\mathrm{L}}$、積が $(e,e)$ で連続なので $MM\subset N$ となる $M\in\mathcal{N}$ がとれ、$(x,y),(y,z)\in V_M^{\mathrm{L}}$ ならば $x^{-1}z=(x^{-1}y)(y^{-1}z)\in MM\subset N$ より $V_M^{\mathrm{L}}\circ V_M^{\mathrm{L}}\subset V_N^{\mathrm{L}}$ である。こうして定まる一様構造を $G$ の左一様構造という。$V_N^{\mathrm{L}}[x]=xN$ であり、左移動 $y\mapsto xy$ が同相写像なので $\{xN\mid N\in\mathcal{N}\}$ は $x$ の基本近傍系である。よって左一様構造の一様位相は $G$ のもとの位相と一致する。$V_N^{\mathrm{R}}$ からも同様に右一様構造が定まり、一様位相はやはりもとの位相である。$G$ が可換なら両者は一致するが、一般には異なる一様構造であり、Cauchy フィルターの族や完備化も異なりうる。ただし反転 $x\mapsto x^{-1}$ が左一様構造から右一様構造への一様同型を与えるので、完備性そのものは左右で一致する（prop-uniform-space-uniformly-continuous の 3）。この点と、位相群の一様構造の詳細は Bou98 Chapter III §3 に譲る。
任意の集合 $X$ 上で、$\Delta_X$ を含む $X\times X$ の部分集合全体 $\mathcal{U}_{\mathrm{disc}}$ は一様構造である（条件 5 は $W=\Delta_X$ でよい。$\Delta_X\circ\Delta_X=\Delta_X$）。$\Delta_X[x]=\{x\}$ なので一様位相は離散位相である。これは離散距離の定める一様構造に一致する。また $\mathcal{U}_{\mathrm{ind}}:=\{X\times X\}$ も一様構造であり、$(X\times X)[x]=X$ なので一様位相は密着位相（開集合は $\emptyset$ と $X$ だけ）である。$X$ が二点以上をもつとき $\mathcal{U}_{\mathrm{ind}}$ は分離的でなく、その一様位相は Hausdorff でない（prop-uniform-space-topology の 3）。
$\mathbb{R}$ 上の二つの距離 $d(x,y):=|x-y|$ と $\rho(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$ を考え、それぞれの定める一様構造を $\mathcal{U}_d$、$\mathcal{U}_\rho$ とする。
二つの一様位相は一致する。$\arctan$ は連続な狭義単調増加関数で、その逆写像 $\tan\colon(-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb{R}$ も連続だから、各点 $x$ について $d$ の開球 $B_d(x,\delta)$ はある $\rho$ の開球 $B_\rho(x,\varepsilon)$ を含み、逆も成り立つ。よって恒等写像 $(\mathbb{R},d)\to(\mathbb{R},\rho)$ は同相写像である。
しかし $\mathcal{U}_d\neq\mathcal{U}_\rho$ である。$V:=\{(x,y)\mid|x-y|<1\}\in\mathcal{U}_d$ をとる。もし $V\in\mathcal{U}_\rho$ なら、ある $\varepsilon>0$ について $\{(x,y)\mid\rho(x,y)<\varepsilon\}\subset V$ となる。ところが $\arctan t\to\pi/2$（$t\to\infty$）なので、十分大きい $n$ について $\rho(n,n+2)=\arctan(n+2)-\arctan n<\varepsilon$ である一方、$|n-(n+2)|=2\ge1$ より $(n,n+2)\notin V$ であり矛盾する。
完備性も異なる。$(\mathbb{R},d)$ は任意の Cauchy 列が収束するので（Rud76 Chapter 3）、prop-uniform-space-metric-complete により一様空間として完備である。一方、点列 $x_n:=n$ は $(\mathbb{R},\rho)$ の Cauchy 列である（$(\arctan n)$ は $\mathbb{R}$ で $\pi/2$ に収束するので Cauchy 列であり、$\rho(x_m,x_n)=|\arctan m-\arctan n|$）が、収束しない（一様位相は通常の位相なので、$n\to x$ となる $x\in\mathbb{R}$ はない）。よって prop-uniform-space-metric-complete により $(\mathbb{R},\rho)$ は完備でない。prop-uniform-space-uniformly-continuous の 3 により完備性は一様同型で保たれるので、これは $\mathcal{U}_d\neq\mathcal{U}_\rho$ の別証明にもなっている。
満たす性質：$\mathcal{U}_d$ と $\mathcal{U}_\rho$ は同じ一様位相をもつ。満たさない性質：$\mathcal{U}_d=\mathcal{U}_\rho$、完備性の一致。破る含意：「一様位相が同じならば一様構造は同じ」「完備性は位相的性質である」。同じ例で全有界性も一様的性質であって位相的性質でないことが分かる（全有界）。
性質
集合 $X$ 上の $X\times X$ の部分集合の空でない族 $\mathcal{B}$ が次を満たすとする。
- 任意の $B\in\mathcal{B}$ は $\Delta_X$ を含む。
- $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ に対し、$B_3\subset B_1\cap B_2$ となる $B_3\in\mathcal{B}$ が存在する。
- $B\in\mathcal{B}$ に対し、$B'\subset B^{-1}$ となる $B'\in\mathcal{B}$ が存在する。
- $B\in\mathcal{B}$ に対し、$B'\circ B'\subset B$ となる $B'\in\mathcal{B}$ が存在する。
このとき $\mathcal{U}:=\{V\subset X\times X\mid\text{ある }B\in\mathcal{B}\text{ について }B\subset V\}$ は $X$ 上の一様構造であり、$\mathcal{B}$ はその基本近縁系である。
def-uniform-space の条件を確かめる。条件 1：$V\in\mathcal{U}$ は $\Delta_X$ を含む $B$ を含む。条件 2：$\mathcal{B}\neq\emptyset$ より $\mathcal{U}\neq\emptyset$ であり、$B\subset V\subset W$ なら $B\subset W$。条件 3：$B_1\subset V$、$B_2\subset W$ に対し 2 の $B_3$ をとると $B_3\subset V\cap W$。条件 4：$B\subset V$ なら $B^{-1}\subset V^{-1}$ であり、3 の $B'\subset B^{-1}$ をとれば $B'\subset V^{-1}$。条件 5：$B\subset V$ に対し 4 の $B'$ をとると $B'\in\mathcal{U}$ かつ $B'\circ B'\subset B\subset V$。$\mathcal{B}\subset\mathcal{U}$ であり、$\mathcal{U}$ の各元が $\mathcal{B}$ の元を含むことは定義そのものである。$\square$
$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とし、$\mathcal{O}$ を def-uniform-space-topology の集合族とする。
- $\mathcal{O}$ は $X$ 上の位相である。
- 各 $x\in X$ について、$\{V[x]\mid V\in\mathcal{U}\}$ は位相 $\mathcal{O}$ に関する $x$ の近傍系（$x$ の近傍全体）に一致する。すなわち、各 $V[x]$ は $x$ の近傍であり、$x$ の任意の近傍はある $V[x]$ を含む。
- 一様位相が Hausdorff空間の位相であることと、$\mathcal{U}$ が分離的であることは同値である。
- $\emptyset\in\mathcal{O}$ は条件が空虚に成り立つことから、$X\in\mathcal{O}$ は $\mathcal{U}\neq\emptyset$ から従う。$A_\lambda\in\mathcal{O}$（$\lambda\in\Lambda$）と $x\in\bigcup_\lambda A_\lambda$ に対し、$x\in A_\mu$ となる $\mu$ と $V[x]\subset A_\mu$ となる $V$ をとれば $V[x]\subset\bigcup_\lambda A_\lambda$。$A,A'\in\mathcal{O}$ と $x\in A\cap A'$ に対し、$V[x]\subset A$、$V'[x]\subset A'$ となる $V,V'\in\mathcal{U}$ をとると、$V\cap V'\in\mathcal{U}$ で $(V\cap V')[x]=V[x]\cap V'[x]\subset A\cap A'$。よって $\mathcal{O}$ は位相である。
- まず各 $V[x]$ が $x$ の近傍、すなわち $x\in A\subset V[x]$ となる $A\in\mathcal{O}$ が存在することを示す。$A:=\{y\in X\mid\text{ある }W\in\mathcal{U}\text{ について }W[y]\subset V[x]\}$ とおく。$V[x]\subset V[x]$ より $x\in A$ であり、$y\in A$ なら $(y,y)\in W$ より $y\in W[y]\subset V[x]$ なので $A\subset V[x]$ である。$A\in\mathcal{O}$ を示す。$y\in A$ に対し $W[y]\subset V[x]$ となる $W$ をとり、条件 5 により $W'\circ W'\subset W$ となる $W'\in\mathcal{U}$ をとる。$z\in W'[y]$ とすると、$u\in W'[z]$ に対し $(y,z)\in W'$ かつ $(z,u)\in W'$ なので $(y,u)\in W'\circ W'\subset W$、すなわち $W'[z]\subset W[y]\subset V[x]$ となり $z\in A$ である。よって $W'[y]\subset A$ であり、$A$ は開集合である。
逆に $N$ を $x$ の近傍とすると、$x\in A\subset N$ となる開集合 $A$ があり、開集合の定義から $V[x]\subset A\subset N$ となる $V\in\mathcal{U}$ がある。さらに $x$ の任意の近傍 $N$ に対し $V':=V\cup(\{x\}\times N)$ とおけば $V'\in\mathcal{U}$ で $V'[x]=N$ となるので、$\{V[x]\}$ は近傍全体に一致する。 - $\mathcal{U}$ が分離的とし、$x\neq y$ とする。$(x,y)\notin V$ となる $V\in\mathcal{U}$ があり、条件 4・3・5 により $W\circ W\subset V$ となる対称な $W\in\mathcal{U}$ がとれる（$W'\circ W'\subset V$ なる $W'$ をとり $W:=W'\cap W'^{-1}$ とすればよい）。$z\in W[x]\cap W[y]$ があれば、$(x,z)\in W$ と $(y,z)\in W$、対称性より $(z,y)\in W$ から $(x,y)\in W\circ W\subset V$ となって矛盾する。よって近傍 $W[x]$ と $W[y]$ は交わらず、2 により Hausdorff である。逆に一様位相が Hausdorff とし、$x\neq y$ とする。交わらない開集合 $A\ni x$、$A'\ni y$ をとると、$V[x]\subset A$ となる $V\in\mathcal{U}$ があり、$y\notin V[x]$、すなわち $(x,y)\notin V$ である。よって $\bigcap\mathcal{U}\subset\Delta_X$ であり、条件 1 から逆の包含も成り立つ。$\square$
$(X,\mathcal{U})$、$(Y,\mathcal{V})$、$(Z,\mathcal{W})$ を一様空間とする。
- 一様連続写像 $f\colon X\to Y$ は一様位相に関して連続写像である。
- $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ が一様連続ならば $g\circ f$ も一様連続である。
- $f\colon X\to Y$ が一様連続で $\mathcal{F}$ が $X$ 上の Cauchy フィルターならば、$\{G\subset Y\mid\text{ある }F\in\mathcal{F}\text{ について }f(F)\subset G\}$ は $Y$ 上の Cauchy フィルターである。したがって、一様同型 $f\colon X\to Y$ について、$X$ が完備であることと $Y$ が完備であることは同値である。
- $f\colon X\to Y$ が一様連続で $X$ が全有界ならば、$f(X)$ は $Y$ の全有界な部分集合、すなわち任意の $W\in\mathcal{V}$ に対し有限集合 $F'\subset Y$ で $f(X)\subset W[F']$ となるものが存在する。
- $A\subset Y$ を開集合、$x\in f^{-1}(A)$ とする。$W[f(x)]\subset A$ となる $W\in\mathcal{V}$ をとり、一様連続性により $(f\times f)(V)\subset W$ となる $V\in\mathcal{U}$ をとる。$y\in V[x]$ なら $(f(x),f(y))\in W$、すなわち $f(y)\in W[f(x)]\subset A$ なので $V[x]\subset f^{-1}(A)$ である。よって $f^{-1}(A)$ は開集合である。
- $U\in\mathcal{W}$ に対し $(g\times g)(W)\subset U$ となる $W\in\mathcal{V}$、$(f\times f)(V)\subset W$ となる $V\in\mathcal{U}$ をとれば $((g\circ f)\times(g\circ f))(V)\subset U$ である。
- 主張の族を $\mathcal{G}$ とおく。$\mathcal{G}$ が $Y$ 上のフィルターであることは、$\mathcal{F}$ がフィルターであることから直ちに従う（$f(F)\neq\emptyset$、$f(F_1)\cap f(F_2)\supset f(F_1\cap F_2)$、上方閉）。$W\in\mathcal{V}$ に対し $(f\times f)(V)\subset W$ となる $V\in\mathcal{U}$ をとり、$F\times F\subset V$ となる $F\in\mathcal{F}$ をとると $f(F)\times f(F)=(f\times f)(F\times F)\subset W$ であり、$f(F)\in\mathcal{G}$ である。よって $\mathcal{G}$ は Cauchy フィルターである。$f$ が一様同型で $Y$ が完備なら、$X$ の Cauchy フィルター $\mathcal{F}$ の像 $\mathcal{G}$ はある $y\in Y$ に収束する。$x:=f^{-1}(y)$ の近傍 $N$ に対し、$f^{-1}$ の一様連続性と 1 により $f(N)=(f^{-1})^{-1}(N)$ は $y$ の近傍なので $f(N)\in\mathcal{G}$、すなわち $f(F)\subset f(N)$ となる $F\in\mathcal{F}$ があり、$f$ が単射なので $F\subset N$、よって $N\in\mathcal{F}$ である。ゆえに $\mathcal{F}$ は $x$ に収束し、$X$ は完備である。逆も $f^{-1}$ に同じ議論を適用すればよい。
- $W\in\mathcal{V}$ に対し $(f\times f)(V)\subset W$ となる $V\in\mathcal{U}$ をとり、$X=V[F]$ となる有限集合 $F$ をとる。$x\in X$ に対し $(a,x)\in V$ となる $a\in F$ があり、$(f(a),f(x))\in W$ なので $f(x)\in W[f(F)]$ である。$F':=f(F)$ とすればよい。$\square$
$(X,d)$ を距離空間、$\mathcal{U}_d$ を $d$ の定める一様構造とする。$(X,\mathcal{U}_d)$ が完備である（任意の Cauchy フィルターが収束する）ことと、$(X,d)$ が完備距離空間である（任意の Cauchy 列が収束する）こととは同値である。
Cauchy フィルターが収束するとする。$(x_n)$ を Cauchy 列とし、尾 $T_N:=\{x_n\mid n\ge N\}$ の全体が生成するフィルター $\mathcal{F}$ を考える。$\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge N$ ならば $d(x_m,x_n)<\varepsilon$ となる $N$ をとると $T_N\times T_N\subset V_\varepsilon$ なので $\mathcal{F}$ は Cauchy フィルターであり、仮定によりある $x$ に収束する。$\varepsilon>0$ に対し $B(x,\varepsilon)\in\mathcal{F}$ なので、ある $N$ について $T_N\subset B(x,\varepsilon)$、すなわち $n\ge N$ ならば $d(x_n,x)<\varepsilon$ である。よって $(x_n)$ は $x$ に収束する。
逆に Cauchy 列が収束するとし、$\mathcal{F}$ を Cauchy フィルターとする。各 $n\in\mathbb{N}$ について $F_n\times F_n\subset V_{1/(n+1)}$ となる $F_n\in\mathcal{F}$ を選び（可算選択公理）、$G_n:=F_0\cap\cdots\cap F_n\in\mathcal{F}$ とおく。$G_n\neq\emptyset$ なので $x_n\in G_n$ を選ぶ。$m,n\ge N$ ならば $x_m,x_n\in G_N\subset F_N$ より $d(x_m,x_n)<1/(N+1)$ なので $(x_n)$ は Cauchy 列であり、仮定によりある $x\in X$ に収束する。$\mathcal{F}$ が $x$ に収束することを示す。$x$ の近傍 $B(x,\varepsilon)$ に対し、$1/(N+1)<\varepsilon/2$ かつ $d(x_N,x)<\varepsilon/2$ となる $N$ をとる。$y\in G_N$ ならば $y,x_N\in F_N$ より $d(y,x_N)<1/(N+1)<\varepsilon/2$ なので $d(y,x)<\varepsilon$ である。よって $G_N\subset B(x,\varepsilon)$ となり、$B(x,\varepsilon)\in\mathcal{F}$ である。$\square$
一般の一様空間では、点列による完備性はフィルターによる完備性より弱い。高々可算な基本近縁系をもつ一様空間（擬距離化可能な一様空間。分離的ならば距離化可能）であれば両者は一致し、これは Cauchy ネットによる定式化とも同値である（Kel75 Chapter 6）。
位相空間 $X$ について次は同値である。
- $X$ は一様化可能である。
- $X$ は完全正則である（完全正則空間。任意の閉集合 $F$ と点 $x\notin F$ に対し、$f(x)=0$、$f(F)\subset\{1\}$ となる連続関数 $f\colon X\to[0,1]$ が存在する。ここでは $T_1$ 性（分離公理）を仮定しない）。
さらに、$X$ の位相を一様位相とする分離的な一様構造が存在することは、$X$ が Tychonoff 空間（Tychonoff空間。完全正則かつ $T_1$）であることと同値である。
thm-uniform-space-weil は Weil による一様空間の導入とともに得られた定理であり、証明は Wil04 Chapter 9（一様化可能性の節）および Kel75 Chapter 6 に譲る（分離的な場合は Engelking89 §8.1）。証明の要点は、一様空間 $(X,\mathcal{U})$ では各近縁 $V$ に対して $\{(x,y)\mid\rho(x,y)<1\}\subset V$ となる一様連続な擬距離 $\rho$ が作れること（したがって一様構造は一様連続な擬距離の族で記述できること。Kel75 Chapter 6）と、逆に完全正則空間では連続関数 $f\colon X\to[0,1]$ ごとに擬距離 $|f(x)-f(y)|$ を考えて一様構造を生成できることである。
- コンパクト Hausdorff 空間 $X$（コンパクト空間）の位相を一様位相とする一様構造はただ一つ存在し、その近縁は $X\times X$ における $\Delta_X$ の近傍全体である。
- $(X,\mathcal{U})$ を一様位相がコンパクトな一様空間、$(Y,\mathcal{V})$ を一様空間とすると、連続写像 $f\colon X\to Y$ はすべて一様連続である。
- 分離的な一様空間 $X$ がコンパクトであることと、$X$ が完備かつ全有界であることは同値である。
thm-uniform-space-compact の証明は Bou98 Chapter II §4 に譲る（1・2 は §4.1、3 は §4.2。Engelking89 §8.3 にもある）。2 の出典は Kel75 Chapter 6（Hausdorff を仮定しない定式化）に寄せる。Bou98 はコンパクト性の定義に Hausdorff 性を含むため、2 についても Hausdorff を仮定した定式化である点に注意する。2 は「コンパクト距離空間上の連続写像は一様連続である」という Heine の定理の一般化であり、距離空間の場合は点列コンパクト性を用いる点列による証明がある（一様連続、Rud76 Chapter 4）。3 の距離空間の場合は 全有界 が証明をもつ。3 の「分離的」という仮定は、Bou98 のコンパクト性の定義が Hausdorff 性を含むことに対応する（prop-uniform-space-topology の 3）。
補足
一様構造には近縁による定義のほかに、一様被覆（uniform cover）の族による Tukey の定義と、擬距離の族による定義があり、いずれも同じ概念を与える（Wil04 Chapter 9、Kel75 Chapter 6）。分離的な一様空間 $X$ には、$X$ を稠密な部分空間として含む完備な分離的一様空間 $\hat X$ が一様同型を除いて一意に存在し、$X$ の完備化（完備化）と呼ばれる。距離空間の完備化はその特別な場合である（Bou98 Chapter II §3）。関数空間では、集合 $S$ から一様空間 $Y$ への写像全体に、$\{(f,g)\mid\text{すべての }s\in S\text{ について }(f(s),g(s))\in W\}$（$W\in\mathcal{V}$）を基本近縁系とする一様構造（一様収束の一様構造）が入り、一様収束・一様 Cauchy 条件はこの一様構造の収束・Cauchy 性である。一様連続性を「近さの比較」ではなく「有界集合の写り方」で扱う双対的な枠組みとして粗空間（coarse space）がある。
関連項目
参考文献
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