Siegel–Walfiszの定理

1：$\exp(-c\sqrt{\log x})(\log x)^B\to0$ だから thm-sw-main から誤差の評価が出る。$x/\varphi(q)\ge x/(\log x)^A$ なので、$B=A+1$ とすれば比は $1$ に近づく。2：$\gcd(n,q)>1$ なら $\chi(n)=0$ なので $\psi(x,\chi)=\sum_a\chi(a)\psi(x;q,a)$（$a$ は法 $q$ の既約剰余類を動く）である。Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」により $\sum_a\chi(a)=0$ だから、$\psi(x,\chi)=\sum_a\chi(a)\bigl(\psi(x;q,a)-x/\varphi(q)\bigr)$ で、絶対値は $\varphi(q)C_Ax\exp(-c\sqrt{\log x})\le(\log x)^AC_Ax\exp(-c\sqrt{\log x})$ 以下である。$(\log x)^A\exp(-\frac c2\sqrt{\log x})$ は有界である。$\square$

直交関係から長さ $q$ の区間での $\chi$ の和は $0$ なので、$P(u)$ は $q$ 個未満の項の和で $\lvert P(u)\rvert\le q$ である。$\operatorname{Re}s>1$ では 部分和分 から積分表示が出る。右辺の積分は $\operatorname{Re}s>0$ の各コンパクト集合で一様に絶対収束して正則なので、一致の定理 により $L(s,\chi)$ の延長（Dirichlet L関数 の定理「Dirichlet L関数の解析接続と関数等式」の 3）と一致する。

$G(s):=F(s)-\lambda/(s-1)$ を $s=2$ で $2-s$ の冪に展開する。$F$ の展開係数は Dirichlet 級数の項別微分から $0$ 以上、$\lambda/(s-1)=\lambda\sum_m(2-s)^m$ の係数は $\lambda$ なので、$G$ の係数は「$0$ 以上の数 $-\lambda$」の形である。低次の項は下から、高次の項は Cauchy の評価で上から押さえる。

$0<\varepsilon\le1$ とする（$\varepsilon>1$ の場合は $\varepsilon=1$ の場合から従う）。異なる原始的な実指標 $\chi_1$（法 $q_1$）、$\chi_2$（法 $q_2$）について
$$ F(s):=\zeta(s)L(s,\chi_1)L(s,\chi_2)L(s,\chi_1\chi_2) $$
を考える（$\chi_1\chi_2$ は法 $q_1q_2$ の指標）。$F$ は lem-sw-positive の仮定をみたし、$M+2\lambda\le C(q_1q_2)^2$（$C$ は絶対定数）、留数は $\lambda=L(1,\chi_1)L(1,\chi_2)L(1,\chi_1\chi_2)$ である。したがって、絶対定数 $C_1$ があって、次の不等式 $(\ast)$ が成り立つ。
$$ F(\sigma)\ge\frac12-\frac{C_1\lambda\,(q_1q_2)^{8(1-\sigma)}}{1-\sigma}\qquad\Bigl(\frac78\le\sigma<1\Bigr) $$
$F(\sigma)\le0$ となる $\sigma$ が $1$ のすぐ左にあれば、$(\ast)$ が $\lambda$ を、したがって $L(1,\chi_2)$ を下から押さえる。そのような $\sigma$ を次の 2 つの場合に分けて見つける。
場合 A． ある原始的な実指標 $\chi_1$ について、$L(s,\chi_1)$ が実の零点 $\beta_1\in[1-\varepsilon/16,1)$ をもつ。このような $\chi_1,\beta_1$ を 1 組固定する。$\chi_2\ne\chi_1$ なら $F(\beta_1)=0$ なので、$(\ast)$ から $\lambda\ge(1-\beta_1)(q_1q_2)^{-\varepsilon/2}/(2C_1)$ である。lem-sw-bounds の 2 で $L(1,\chi_1)$ と $L(1,\chi_1\chi_2)$ を上から押さえて
$$ L(1,\chi_2)\ge\frac{(1-\beta_1)\,q_1^{-\varepsilon/2}}{2C_1(3+\log q_1)(3+\log q_1q_2)}\,q_2^{-\varepsilon/2}\ge c_{\mathrm A}\,q_2^{-\varepsilon} $$
となる。$c_{\mathrm A}>0$ は $\chi_1,\beta_1,\varepsilon$ だけで決まる。
場合 B． そのような零点はない。$\chi_1$ を法 $4$ の実指標 $\chi_{-4}$ に固定し、$\sigma_0:=1-\varepsilon/32$ とおく。$\zeta(\sigma_0)<0$ であり、残りの 3 つの因子は正なので $F(\sigma_0)<0$ である。$(\ast)$ から $\lambda\ge\varepsilon(4q_2)^{-\varepsilon/4}/(64C_1)$ で、場合 A と同じく $L(1,\chi_2)\ge c_2(\varepsilon)q_2^{-\varepsilon}$ を得る。
どちらの場合も、除いた 1 つの指標（$\chi_1$ 自身）では $L(1,\chi_1)>0$ なので、定数を小さくとり直せば 1 が成り立つ。2 は 1 と平均値の定理から出る（下の詳細）。$\square$

$\chi$ が主指標で $\lvert v\rvert<2$ のとき、数える零点は $\zeta$ の零点で虚部が $3$ 以下のもので、その個数は絶対定数である。それ以外では prop-sw-partial を $s=\frac32+iv$ で使う。von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」から $\lvert L'/L(s,\chi)\rvert\le\sum_n\Lambda(n)n^{-3/2}$ は絶対定数で、$\lvert E_\chi/(s-1)\rvert\le2$ だから、$\bigl\lvert\sum_{\lvert\rho-w\rvert<1}1/(s-\rho)\bigr\rvert=O(\log T)$ である。$\beta<1$ なので各項の実部 $(\frac32-\beta)/\lvert s-\rho\rvert^2$ は正で、$\lvert\rho-w\rvert<1$ なら $\frac32-\beta\ge\frac12$、$\lvert s-\rho\rvert<\frac32$ より $\frac29$ 以上である。よって $\lvert\rho-w\rvert<1$ の零点は $O(\log T)$ 個である。$\beta\ge\frac12$、$\lvert\gamma-v\rvert\le\frac12$ なら $\lvert\rho-w\rvert^2\le\frac14+\frac14<1$ である。$\square$

$A>0$ を固定し、$1\le q\le(\log x)^A$、$\gcd(a,q)=1$ とする。$T:=\exp(\sqrt{\log x})$ とおく。$x$ が $A$ だけで決まる $x_0$ 以上なら $q\le T\le x$ である。
段 1（例外的でない零点）． $\chi$ を法 $q$ の指標とする。$\beta\ge\frac12$、$\lvert\gamma\rvert\le T$ の零点は $\chi$ を誘導する原始指標（法は $q$ 以下）の零点なので、lem-sw-landau-page により、例外の $\beta_1$ を除いて $\beta<1-c_1/\log T$ である。$[-T,T]$ を、整数 $k$（$\lvert k\rvert\le T$）と $\pm T$ を中心とする長さ $1$ の区間で覆い、lem-sw-count を各区間に当てる。中心 $k\ne0$ の区間の零点は $\lvert\rho\rvert\ge\lvert k\rvert/2$、中心 $0$ の区間の零点は $\lvert\rho\rvert\ge\beta\ge\frac12$ をみたすので
$$ \sum_{\substack{\beta\ge1/2,\ \lvert\gamma\rvert\le T\\ \rho\ne\beta_1}}\Bigl\lvert\frac{x^\rho}{\rho}\Bigr\rvert\le x^{1-c_1/\log T}\cdot C_2\log T\Bigl(6+4\sum_{1\le k\le T}\frac1k\Bigr)\le C_3\,x\,e^{-c_1\sqrt{\log x}}\log x $$
である（$C_3$ は絶対定数）。
段 2（例外的な零点）． 例外 $\beta_1$ が法 $q$ の和に現れるのは、$\chi_1$ の法 $q_1$ が $q$ を割り切るときで、そのとき $\chi_1$ が誘導する法 $q$ の指標 1 つの和にだけ現れる。$T$ が大きければ $\beta_1\ge\frac12$ で、その項の絶対値は $2x^{\beta_1}$ 以下である。thm-sw-siegel の 2 を $\varepsilon=1/(4A)$ で使うと $1-\beta_1\ge c(\varepsilon)q_1^{-\varepsilon}\ge c(\varepsilon)(\log x)^{-1/4}$ なので
$$ x^{\beta_1}=x\,e^{-(1-\beta_1)\log x}\le x\exp\bigl(-c(\varepsilon)(\log x)^{3/4}\bigr) $$
である。
段 3（まとめ）． prop-sw-explicit に段 1・段 2 を代入する。$\chi$ の個数は $\varphi(q)$ なので、$1/\varphi(q)$ を掛けた和は段 1 の上界と段 2 の項 $2x^{\beta_1}/\varphi(q)$ の和以下である。$O$ の項は $x^{1/2}(\log x)^2+x(\log x)^2e^{-\sqrt{\log x}}$ の定数倍である。$c:=\frac12\min\{c_1,1\}$ とおくと、どの項も $x$ が $A$ で決まる値以上で $x\,e^{-c\sqrt{\log x}}$ 以下になる（たとえば $(\log x)^{3/4}c(\varepsilon)-\sqrt{\log x}\to\infty$）。よって $\lvert\theta(x;q,a)-x/\varphi(q)\rvert\le C'_Ax\,e^{-c\sqrt{\log x}}$ である。最後に $0\le\psi(x;q,a)-\theta(x;q,a)\le\psi(x)-\theta(x)\le\sqrt x(\log x)^2/(2\log2)$（von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」）から $\psi$ の主張を得る。$x$ が有界な範囲では $\lvert\psi(x;q,a)-x/\varphi(q)\rvert\le\psi(x)+x$ が $x$ の定数倍なので、$C_A$ を大きくとれば含まれる。$\square$