無限次Galois理論

同義語：無限Galois理論無限次ガロア理論Krullの無限Galois理論無限次Galois理論の基本定理infinite Galois theory

概要

前提知識: Galois理論, Galois拡大, Galois群, 副有限群, 射影極限

有限次の Galois 拡大 $L/K$ では、中間体と Galois 群の部分群が包含を逆にして 1 対 1 に対応する（Galois理論の記事の定理「Galois理論の基本定理」）。$\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ や $\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p$ のような無限次の Galois 拡大では、この対応はそのままの形では成り立たない。たとえば $\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p$ の Galois 群 $G$ の中で、Frobenius 写像 $\phi(x)=x^p$ が生成する部分群 $\langle\phi\rangle$ は $G$ と異なるのに、固定体はどちらも $\mathbb{F}_p$ である。無限次Galois理論（infinite Galois theory）は、Galois 群に Krull 位相という位相を入れ、部分群を閉部分群に限ることで対応を回復する理論である。この記事では、閉部分群と中間体の 1 対 1 対応、開部分群と有限次の中間体の対応、正規な閉部分群と Galois 部分拡大の対応を証明する。

定義

以下、$L/K$ を Galois 拡大（正規かつ分離的な代数拡大。Galois拡大の記事の定義「Galois拡大」）とし、無限次でもよいとする。$G:=\operatorname{Gal}(L/K)$ とおく。$K\subset M\subset L$ となる体 $M$ を $L/K$ の中間体という。中間体 $M$ について $L/M$ も Galois 拡大であり、$\operatorname{Gal}(L/M)=\{\sigma\in G\mid\sigma|_M=\mathrm{id}_M\}$ は $G$ の部分群である（Galois拡大の記事の命題「中間体からのGalois性」）。$G$ の部分群 $H$ の固定体を $L^H:=\{x\in L\mid \text{すべての }\sigma\in H\text{ について }\sigma(x)=x\}$ と書く。
中間体 $E$ で $E/K$ が有限次 Galois 拡大となるもの全体を $\mathcal{E}$ と書く。$L$ の有限個の元はつねにある $E\in\mathcal{E}$ に含まれ、とくに $L=\bigcup_{E\in\mathcal{E}}E$ であり、$\mathcal{E}$ は包含について有向集合である（Galois群の記事の補題「有限部分集合を含む有限次Galois部分拡大」）。$E\in\mathcal{E}$ と $\sigma\in G$ について $\sigma(E)=E$ であり（$E/K$ が正規なので、$x\in E$ の行き先 $\sigma(x)$ は $x$ の最小多項式の根として $E$ に入る。$\sigma^{-1}$ についても同じ）、制限 $\sigma|_E\in\operatorname{Gal}(E/K)$ が定まる。$\operatorname{Gal}(L/E)$ は制限写像 $G\to\operatorname{Gal}(E/K)$ の核なので、$G$ の正規部分群である。

Krull位相

$G$ の部分集合 $U$ が開集合であるとは、各 $\sigma\in U$ について $\sigma\operatorname{Gal}(L/E)\subset U$ となる $E\in\mathcal{E}$ があることをいう。これで定まる $G$ の位相を Krull 位相（Krull topology）という。

これは Galois群の記事の定義「Krull位相」と同じ位相である。実際、$E\in\mathcal{E}$ の $K$ 上の有限個の生成元の集合を $S_E$ とすると $\operatorname{Gal}(L/E)=G(S_E)$（$S_E$ の元をすべて固定する元の全体）であり、逆に有限部分集合 $S$ を含む $E\in\mathcal{E}$ をとれば $\operatorname{Gal}(L/E)\subset G(S)$ だからである。この位相について次が成り立つ。

$G$ はコンパクト Hausdorff な位相群である。Galois 群は制限写像によって有限群 $\operatorname{Gal}(E/K)$（$E\in\mathcal{E}$）の射影極限と同相であり（Galois群の記事の定理「副有限群としてのGalois群」）、有限離散空間の射影極限はコンパクト Hausdorff だからである（射影極限の記事の命題「射影極限の位相的性質」の 1）。
開部分群は閉である（補集合が開集合である剰余類の和になる）。開部分群を含む部分群は開である（その部分群は開部分群の剰余類の和になる）。
$L/K$ が有限次なら $L\in\mathcal{E}$ で $\operatorname{Gal}(L/L)=\{1\}$ は開なので、Krull 位相は離散位相であり、すべての部分群が閉である。
中間体に部分群を、部分群に中間体を対応させる 2 つの写像
$$ \Phi(M):=\operatorname{Gal}(L/M),\qquad \Psi(H):=L^H $$
を考える。どちらも包含を逆にする。$M\subset\Psi(\Phi(M))$ と $H\subset\Phi(\Psi(H))$ は定義から明らかである。無限次Galois理論の主定理は、$\Phi$ と $\Psi$ が中間体の全体と閉部分群の全体の間の互いに逆な全単射になることである（thm-igt-fundamental）。

直感

部分群 $H$ の固定体 $L^H$ は、$H$ の元が $L$ の各元をどう動かすかだけで決まる。$L$ の各元は有限次の $E\in\mathcal{E}$ に入るので、$L^H$ が見ているのは、各 $E$ への制限の像 $H|_E\subset\operatorname{Gal}(E/K)$ だけである。したがって、どの $E$ への制限の像も $H$ と同じになる部分群、つまり「有限次の情報では $H$ と区別できない部分群」は、$H$ と同じ固定体をもつ。Krull 位相は「有限個の元への作用が一致すれば近い」と測る位相なので、有限次の情報で $H$ と区別できない元の全体はちょうど $H$ の閉包 $\overline{H}$ になる（lem-igt-closure）。こうして、固定体が見分けられるのは閉部分群だけであり、閉部分群に限れば対応は 1 対 1 になる。有限次の場合は位相が離散なので、この制限は見えなかった。

基本定理

3 つの補題

最初の補題は、有限次の Galois 部分拡大の自己同型が $L$ 全体の自己同型に延びることを、射影極限が空でないことから導く。

自己同型の延長

$M$ を中間体で、$M/K$ が Galois 拡大であるもの（無限次でもよい）とする。このとき各 $\sigma\in G$ について $\sigma(M)=M$ であり、制限写像
$$ G\to\operatorname{Gal}(M/K),\qquad \sigma\mapsto\sigma|_M $$
は全射な群準同型である。その核は $\operatorname{Gal}(L/M)$ である。とくに $E\in\mathcal{E}$ について $G/\operatorname{Gal}(L/E)\cong\operatorname{Gal}(E/K)$ であり、$\operatorname{Gal}(L/E)$ は指数 $[E:K]$ の開正規部分群である。

要点：$\tau\in\operatorname{Gal}(M/K)$ に対し、各 $E\in\mathcal{E}$ で「$E\cap M$ 上で $\tau$ と一致する $\operatorname{Gal}(E/K)$ の元」の集合は空でない有限集合であり、それらは射影系をなす。空でない有限集合の射影極限は空でないので、両立する元の族がとれ、それが $L$ の自己同型を与える。

詳しい証明を開く

$\sigma(M)=M$。$x\in M$ の $K$ 上の最小多項式は $M$ で 1 次式の積に分解し（$M/K$ は正規）、$\sigma(x)$ はその根なので $\sigma(x)\in M$ である。$\sigma^{-1}$ にも同じことを使うと $\sigma(M)=M$ である。よって $\sigma|_M\in\operatorname{Gal}(M/K)$ で、$\sigma\mapsto\sigma|_M$ は群準同型であり、核は定義から $\operatorname{Gal}(L/M)$ である。

各段の集合。$\tau\in\operatorname{Gal}(M/K)$ を固定する。$E\in\mathcal{E}$ について $E\cap M$ は $K$ 上有限次の Galois 拡大である（$x\in E\cap M$ の最小多項式は $E$ でも $M$ でも相異なる 1 次式の積に分解するので、その根は $E\cap M$ に入る）。したがって前段と同じ理由で $\tau(E\cap M)=E\cap M$ であり、$\tau|_{E\cap M}\in\operatorname{Gal}(E\cap M/K)$ である。$$X_E:=\{\rho\in\operatorname{Gal}(E/K)\mid\rho|_{E\cap M}=\tau|_{E\cap M}\}$$とおく。有限次の場合の制限写像 $\operatorname{Gal}(E/K)\to\operatorname{Gal}(E\cap M/K)$ は全射なので（Galois理論の記事の定理「Galois理論の基本定理」の 4）、$X_E$ は空でない有限集合である。$E\subset E'$ なら、$\rho'\in X_{E'}$ の制限 $\rho'|_E$ は $\operatorname{Gal}(E/K)$ の元で、$E\cap M\subset E'\cap M$ 上で $\tau$ と一致するので $X_E$ に属する。こうして $(X_E)_{E\in\mathcal{E}}$ は有向集合 $\mathcal{E}$ 上の空でない有限集合（離散位相）の射影系になる。

極限の元。射影極限の記事の命題「射影極限の位相的性質」の 2 により、両立する族 $(\rho_E)_{E\in\mathcal{E}}$（$\rho_E\in X_E$、$E\subset E'$ なら $\rho_{E'}|_E=\rho_E$）がある。Galois群の記事の定理「副有限群としてのGalois群」により、$\sigma|_E=\rho_E$（すべての $E$）となる $\sigma\in G$ がある。$x\in M$ をとり、$x\in E$ となる $E\in\mathcal{E}$ を選ぶと、$x\in E\cap M$ なので $\sigma(x)=\rho_E(x)=\tau(x)$ である。よって $\sigma|_M=\tau$ である。

最後の主張。$E\in\mathcal{E}$ に使うと、準同型定理により $G/\operatorname{Gal}(L/E)\cong\operatorname{Gal}(E/K)$ で、その位数は $[E:K]$ である。$\operatorname{Gal}(L/E)$ は Krull 位相の定義から開である。$\square$

中間体の群と固定体

中間体 $M$ について、$\operatorname{Gal}(L/M)$ は $G$ の閉部分群であり、$L^{\operatorname{Gal}(L/M)}=M$ である。とくに $L^G=K$ である。

閉であること。 $x\in M$ について、$x$ を固定する元の全体 $G_x:=\{\sigma\in G\mid\sigma(x)=x\}$ は部分群で、$x\in E$ となる $E\in\mathcal{E}$ について $\operatorname{Gal}(L/E)\subset G_x$ なので開であり、したがって閉である。$\operatorname{Gal}(L/M)=\bigcap_{x\in M}G_x$ は閉集合の共通部分なので閉である。
固定体。 $M\subset L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ は明らかである。$x\in L\setminus M$ とする。$L/M$ は Galois 拡大なので、$L/M$ に Galois群の記事の補題「有限部分集合を含む有限次Galois部分拡大」を使うと、$x\in E'$ で $E'/M$ が有限次 Galois 拡大となる中間体 $E'$ がある。有限次の場合には $E'^{\operatorname{Gal}(E'/M)}=M$ なので（Galois拡大の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」の 3）、$\rho(x)\ne x$ となる $\rho\in\operatorname{Gal}(E'/M)$ がある。lem-igt-extension を Galois 拡大 $L/M$ とその中間体 $E'$ に使うと、$\sigma|_{E'}=\rho$ となる $\sigma\in\operatorname{Gal}(L/M)$ があり、$\sigma(x)=\rho(x)\ne x$ である。よって $x\notin L^{\operatorname{Gal}(L/M)}$ である。$M=K$ とすると最後の主張を得る。$\square$

固定体の群は閉包

$G$ の任意の部分群 $H$ について
$$ \operatorname{Gal}(L/L^H)=\overline{H} $$
である。ここで $\overline{H}$ は Krull 位相に関する $H$ の閉包である。

$\operatorname{Gal}(L/L^H)$ は $H$ を含み、lem-igt-fixed により閉なので、$\overline{H}\subset\operatorname{Gal}(L/L^H)$ である。
逆に $\sigma\in\operatorname{Gal}(L/L^H)$ とする。$\sigma$ の近傍の基本系は $\sigma\operatorname{Gal}(L/E)$（$E\in\mathcal{E}$）なので、各 $E\in\mathcal{E}$ について $\sigma\operatorname{Gal}(L/E)\cap H\ne\emptyset$、すなわち $h|_E=\sigma|_E$ となる $h\in H$ があることを示せばよい。$H_E:=\{h|_E\mid h\in H\}$ は有限群 $\operatorname{Gal}(E/K)$ の部分群である。$x\in E$ がすべての $h|_E$ で固定されることは、$x$ がすべての $h\in H$ で固定されることと同じなので、
$$ E^{H_E}=E\cap L^H $$
である。$\sigma$ は $L^H$ の元を固定するので、$\sigma|_E$ は $E^{H_E}$ を固定する。有限次の基本定理の 1（$\operatorname{Gal}(E/E^{H'})=H'$、Galois理論の記事の定理「Galois理論の基本定理」）により $\sigma|_E\in\operatorname{Gal}(E/E^{H_E})=H_E$ であり、$h|_E=\sigma|_E$ となる $h\in H$ がある。よって $\sigma\in\overline{H}$ である。$\square$

主定理

無限次Galois理論の基本定理

$L/K$ を Galois 拡大、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$ に Krull 位相を入れる。

$\Phi(M)=\operatorname{Gal}(L/M)$ と $\Psi(H)=L^H$ は、$L/K$ の中間体の全体と $G$ の閉部分群の全体の間の、包含を逆にする互いに逆な全単射である。
閉部分群 $H$ と $M=L^H$ について、$H$ が開であることと $[M:K]<\infty$ は同値であり、このとき $[G:H]=[M:K]$ である。
中間体 $M$ と $\sigma\in G$ について $\operatorname{Gal}(L/\sigma(M))=\sigma\operatorname{Gal}(L/M)\sigma^{-1}$ である。
閉部分群 $H$ と $M=L^H$ について、$H$ が正規部分群であることと $M/K$ が Galois 拡大であることは同値である。このとき制限写像 $\mathrm{res}\colon G\to\operatorname{Gal}(M/K)$ は位相群の同型
$$ \overline{\mathrm{res}}\colon G/H\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Gal}(M/K) $$
を引き起こす（$G/H$ には商位相、$\operatorname{Gal}(M/K)$ には Krull 位相を入れる）。
$$ \xymatrix{ G \ar[rr]^{\mathrm{res}} \ar[d]_q && \operatorname{Gal}(M/K) \\ G/H \ar@{.>}[urr]_{\overline{\mathrm{res}}} && } $$
ここで $q$ は商への標準全射であり、図式が可換とは $\mathrm{res}=\overline{\mathrm{res}}\circ q$ ということである。

1。中間体 $M$ について $\Phi(M)$ は閉部分群で、$\Psi(\Phi(M))=M$ である（lem-igt-fixed）。閉部分群 $H$ について $\Phi(\Psi(H))=\overline{H}=H$ である（lem-igt-closure）。よって $\Phi$ と $\Psi$ は中間体の全体と閉部分群の全体の間の互いに逆な写像である。どちらも包含を逆にする。
2。 $H$ が開なら、Krull 位相の定義を $1\in H$ に使って $\operatorname{Gal}(L/E)\subset H$ となる $E\in\mathcal{E}$ がとれる。$\Psi$ は包含を逆にするので、lem-igt-fixed により $M=L^H\subset L^{\operatorname{Gal}(L/E)}=E$ であり、$[M:K]\le[E:K]<\infty$ である。
逆に $[M:K]<\infty$ とし、$M=K(x_1,\dots,x_r)$ と書く。$x_1,\dots,x_r$ を含む $E\in\mathcal{E}$ をとると $M\subset E$ なので $\operatorname{Gal}(L/E)\subset\operatorname{Gal}(L/M)=H$ であり、$H$ は開部分群 $\operatorname{Gal}(L/E)$ を含むので開である。
指数を計算する。上の $E$ について $N:=\operatorname{Gal}(L/E)\subset H$ である。lem-igt-extension により制限は同型 $G/N\cong\operatorname{Gal}(E/K)$ を与える。$E/K$ は Galois なので $E/M$ も Galois で（Galois拡大の記事の命題「中間体からのGalois性」）、同じ補題を Galois 拡大 $L/M$ と中間体 $E$ に使うと、$H=\operatorname{Gal}(L/M)$ の制限の像は $\operatorname{Gal}(E/M)$ 全体である。よって
$$ [G:H]=[G/N:H/N]=[\operatorname{Gal}(E/K):\operatorname{Gal}(E/M)]=[M:K] $$
である。最後の等号は有限次の基本定理の 2 による。
3。 $\sigma(M)$ は中間体である。$\tau\in G$ について、$\tau$ が $\sigma(M)$ の各元 $\sigma(m)$ を固定することは $\sigma^{-1}\tau\sigma$ が $m$ を固定することと同値なので、$\tau\in\operatorname{Gal}(L/\sigma(M))\iff\sigma^{-1}\tau\sigma\in\operatorname{Gal}(L/M)$ である。
4。まず「$H$ が正規 $\iff$ すべての $\sigma\in G$ について $\sigma(M)=M$」を示す。3 により $\sigma H\sigma^{-1}=\Phi(\sigma(M))$ であり、1 により $\Phi$ は単射なので、$\sigma H\sigma^{-1}=H$ は $\sigma(M)=M$ と同値である。
$M/K$ が Galois なら、lem-igt-extension によりすべての $\sigma$ で $\sigma(M)=M$ である。逆に、すべての $\sigma$ で $\sigma(M)=M$ とする。$M/K$ は分離拡大 $L/K$ の部分拡大なので分離的である。正規であることを示す。$x\in M$ の $K$ 上の最小多項式 $f$ の根 $y$ をとる（$L/K$ は正規なので $y\in L$）。$f$ は分離多項式なので、$f$ の根を $K$ に添加した体 $F\subset L$ は $f$ の分解体で、$F\in\mathcal{E}$ である。$f$ は $K$ 上既約なので、$\operatorname{Gal}(F/K)$ は $f$ の根に推移的に作用し（Galois群の記事の定理「既約因子と軌道」）、$\rho(x)=y$ となる $\rho\in\operatorname{Gal}(F/K)$ がある。lem-igt-extension により $\rho$ は $\sigma\in G$ に延び、$y=\sigma(x)\in\sigma(M)=M$ である。よって $f$ の根はすべて $M$ に入り、$M/K$ は正規である。
$M/K$ が Galois のとき、lem-igt-extension により $\mathrm{res}$ は全射で核は $H$ なので、準同型定理により $\overline{\mathrm{res}}$ は群の同型である。$\mathrm{res}$ は連続である。実際、$\operatorname{Gal}(M/K)$ の開集合の基本となる集合は $\tau\operatorname{Gal}(M/E')$（$\tau\in\operatorname{Gal}(M/K)$、$E'\subset M$ は $K$ 上有限次 Galois）であり、その逆像は $\sigma_0\in\mathrm{res}^{-1}(\tau)$ を 1 つとると $\{\sigma\mid\sigma|_{E'}=\tau|_{E'}\}=\sigma_0\operatorname{Gal}(L/E')$ で、$E'\in\mathcal{E}$ だから開である。したがって $\overline{\mathrm{res}}$ は商位相について連続である。$G/H$ はコンパクト空間 $G$ の連続像なのでコンパクトであり、$\operatorname{Gal}(M/K)$ は Galois 拡大 $M/K$ の Galois 群として Hausdorff である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は閉集合を閉集合に移す（閉集合はコンパクト、その像はコンパクト、Hausdorff 空間のコンパクト集合は閉。コンパクト空間の記事の命題「保存と閉性」の 1〜3）。よって連続な全単射 $\overline{\mathrm{res}}$ は同相写像である。$\square$

$L/K$ が有限次なら Krull 位相は離散なので、この定理は有限次の基本定理そのものである。一方、無限次では 1 の「閉」と 2 の「開」が本質的であり、条件を外すと対応が崩れる（ex-igt-counterexamples）。

中間体の束

中間体 $M_1,M_2$ と閉部分群 $H_i=\operatorname{Gal}(L/M_i)$ について
$$ \operatorname{Gal}(L/M_1M_2)=H_1\cap H_2,\qquad \operatorname{Gal}(L/(M_1\cap M_2))=\overline{\langle H_1,H_2\rangle} $$
である。ここで $M_1M_2$ は $M_1\cup M_2$ で生成される部分体、$\langle H_1,H_2\rangle$ は $H_1\cup H_2$ で生成される部分群である。

$\sigma$ が $M_1M_2$ の元をすべて固定することは、$M_1$ と $M_2$ の元をすべて固定することと同値である（固定される元の全体は部分体である）。よって前半が成り立つ。$x\in L$ が $\langle H_1,H_2\rangle$ の元ですべて固定されることは、$H_1$ と $H_2$ の元ですべて固定されることと同値なので、$L^{\langle H_1,H_2\rangle}=L^{H_1}\cap L^{H_2}=M_1\cap M_2$ である（主定理の 1 により $L^{H_i}=M_i$）。lem-igt-closure を $H=\langle H_1,H_2\rangle$ に使えば後半を得る。$\square$

有限次の場合（Galois理論の記事の系「共通部分と合成体の対応」）と違い、生成される部分群は閉とは限らないので閉包をとる必要がある。

例

拡大 $L/K$	$G=\operatorname{Gal}(L/K)$	閉部分群の例	対応する中間体
$\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p$	$\widehat{\mathbb{Z}}$	$n\widehat{\mathbb{Z}}$（開）	$\mathbb{F}_{p^n}$
$\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p$	$\widehat{\mathbb{Z}}$	$\bigcap_k\ell^k\widehat{\mathbb{Z}}$（開でない）	$\bigcup_k\mathbb{F}_{p^{\ell^k}}$
$\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})/\mathbb{Q}$	$\mathbb{Z}_p^\times$	$1+p^k\mathbb{Z}_p$（開）	$\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$
平方根をすべて添加した体$/\mathbb{Q}$	$\prod\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	成分 $s$ が $1$ の元の全体（開）	$\mathbb{Q}(\sqrt s)$

有限体の代数閉包

$L=\overline{\mathbb{F}}_p$、$K=\mathbb{F}_p$ とする。$G=\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p)$ は Frobenius 写像 $\phi$ を $1$ に移す同型で $\widehat{\mathbb{Z}}=\varprojlim_n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同一視できる（Galois群の記事の例「有限体と $\hat{\mathbb{Z}}$」、MilFT Example 7.17）。

$n\ge1$ について $n\widehat{\mathbb{Z}}$ は指数 $n$ の開部分群で、thm-igt-fundamental の 2 によりその固定体は $\mathbb{F}_p$ 上 $n$ 次の中間体、すなわち $\overline{\mathbb{F}}_p$ の中でただ 1 つの位数 $p^n$ の体 $\mathbb{F}_{p^n}$ である。こうして有限次の中間体はすべて $\mathbb{F}_{p^n}$ の形で、$\mathbb{F}_{p^m}\subset\mathbb{F}_{p^n}\iff n\widehat{\mathbb{Z}}\subset m\widehat{\mathbb{Z}}\iff m\mid n$ である。
素数 $\ell$ について $M_\ell:=\bigcup_k\mathbb{F}_{p^{\ell^k}}$ は増大列の和なので中間体であり、$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_p/M_\ell)=\bigcap_k\ell^k\widehat{\mathbb{Z}}$ は指数が無限の閉部分群である。主定理の 4 により $\operatorname{Gal}(M_\ell/\mathbb{F}_p)\cong\widehat{\mathbb{Z}}/\bigcap_k\ell^k\widehat{\mathbb{Z}}$ であり、これは $\varprojlim_k\mathbb{Z}/\ell^k\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_\ell$ に同型である（$M_\ell$ の有限次の部分体は $\mathbb{F}_{p^{\ell^k}}$ たちで、Galois群の記事の定理「副有限群としてのGalois群」をこの共終な族に使う。射影極限の記事の命題「共終部分集合への制限」）。
部分群 $\langle\phi\rangle\cong\mathbb{Z}$ は閉でなく、lem-igt-closure により $\operatorname{Gal}(L/L^{\langle\phi\rangle})=\overline{\langle\phi\rangle}=G$ である。

$p$ 冪の 1 の冪根をすべて添加した体

$p$ を素数とし、$\zeta_{p^k}=e^{2\pi i/p^k}$、$L=\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}):=\bigcup_k\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$ とする。各 $\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})/\mathbb{Q}$ は Galois なので $L/\mathbb{Q}$ も Galois である。$\sigma\in G$ は $1$ の $p^k$ 乗根の群を自身に移すので $\sigma(\zeta_{p^k})=\zeta_{p^k}^{a_k}$（$a_k\in(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$）と書け、$a_{k+1}\equiv a_k\pmod{p^k}$ である。$L$ の有限次の部分体はある $\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$ に含まれるので、この族 $\{\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})\}$ は共終であり、各段の同型 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$（Galois群の記事の例「円分体の Galois 群」）と合わせて
$$ \chi\colon G\xrightarrow{\ \sim\ }\varprojlim_k(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times=\mathbb{Z}_p^\times,\qquad \sigma\mapsto(a_k)_k $$
が位相群の同型になる（円分指標）。$\sigma$ が $\zeta_{p^k}$ を固定することは $\chi(\sigma)\equiv1\pmod{p^k}$ と同値なので、開部分群 $1+p^k\mathbb{Z}_p$（$k\ge1$）は $\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$ に対応する。$p$ が奇素数なら $\mathbb{Z}_p^\times\cong\mu_{p-1}\times(1+p\mathbb{Z}_p)$ で $1+p\mathbb{Z}_p\cong\mathbb{Z}_p$ であり（p進数体の記事の系「$\mathbb Q_p^\times$ の構造」）、位数 $p-1$ の閉部分群 $\mu_{p-1}$ の固定体 $\mathbb{Q}_\infty$ は、主定理の 4 により Galois 群が $\mathbb{Z}_p$ に同型な無限次拡大である。これは岩澤理論が調べる円分 $\mathbb{Z}_p$ 拡大である。

平方根をすべて添加した体

$S:=\{-1\}\cup\{\text{素数}\}$ とし、$L:=\mathbb{Q}(\sqrt s\mid s\in S)$ とする（$\sqrt{-1}=i$、素数 $s$ では正の平方根）。素因数分解により $\mathbb{Q}^\times/(\mathbb{Q}^\times)^2$ は $S$ の類を基底とする $\mathbb{F}_2$ 上のベクトル空間であり、Kummer理論の記事の定理「無限次のKummer対応」を $n=2$ に使うと、
$$ G\xrightarrow{\ \sim\ }\prod_{s\in S}\{\pm1\},\qquad \sigma\mapsto\Bigl(\frac{\sigma(\sqrt s)}{\sqrt s}\Bigr)_{s\in S} $$
は位相群の同型である（右辺は直積位相）。$s\in S$ の成分が $1$ の元の全体は指数 $2$ の開部分群で、$\mathbb{Q}(\sqrt s)$ に対応する。有限個の $s_1,\dots,s_r$ について $\mathbb{Q}(\sqrt{s_1},\dots,\sqrt{s_r})$ は、それらの成分がすべて $1$ である元の全体（指数 $2^r$ の開部分群）に対応する。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
部分群が閉	$\langle\phi\rangle\subset\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p)$	$\operatorname{Gal}(L/L^H)=H$
部分群が閉	有限個の成分を除いて $1$ である元の全体 $H\subset\prod_{s\in S}\{\pm1\}$	$H\mapsto L^H$ が単射であること
閉部分群が開	$\{1\}\subset\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p)$	固定体が $K$ 上有限次であること
閉部分群が正規	$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))$	固定体が $K$ 上 Galois であること
$L/K$ が Galois	$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$	$M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)$ が単射であること

反例の確認

表の 5 つの反例は、外した条件以外の仮定を満たし、右の列の結論が実際に破れる。

各反例の確認を開く

$\langle\phi\rangle$ の固定体は $\{x\mid x^p=x\}=\mathbb{F}_p$ なので $\operatorname{Gal}(L/L^{\langle\phi\rangle})=G$ であるが、$\langle\phi\rangle\ne G$ である（Galois群の記事の例「有限体と $\hat{\mathbb{Z}}$」）。
ex-igt-multiquadratic の $G\cong\prod_{s\in S}\{\pm1\}$ で、有限個の成分を除いて $1$ である元の全体を $H$ とする。$x\in L$ はある $E=\mathbb{Q}(\sqrt{s_1},\dots,\sqrt{s_r})$ に入る。$x\notin\mathbb{Q}$ なら、有限次の場合の $E^{\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})}=\mathbb{Q}$ により $x$ を動かす $\rho\in\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ があり、$\rho$ の $s_1,\dots,s_r$ での成分をそのまま使い、残りの成分を $1$ とした元 $h\in H$ は $h|_E=\rho$ を満たして $x$ を動かす。よって $L^H=\mathbb{Q}=L^G$ だが、すべての成分が $-1$ の元は $H$ に入らないので $H\ne G$ である。$H$ は閉でなく、稠密である。
$G$ は Hausdorff なので 1 点 $\{1\}$ は閉である。$\{1\}$ が開なら $G$ は離散かつコンパクトで有限群になるが、$[\overline{\mathbb{F}}_p:\mathbb{F}_p]=\infty$ と lem-igt-extension（$\lvert G\rvert\ge[\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p]=n$）に反する。固定体は $\overline{\mathbb{F}}_p$ で、$\mathbb{F}_p$ 上無限次である。
$H=\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))$ は lem-igt-fixed により閉で、固定体は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ である。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R}$ は $x^3-2$ の実数でない根を含まないので $\mathbb{Q}$ 上正規でなく、Galois でない。主定理の 4 により $H$ は正規部分群でない。
$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ の $\mathbb{Q}$ 上の自己同型は $\sqrt[3]{2}$ を $L$ の中の $x^3-2$ の根、すなわち $\sqrt[3]{2}$ 自身に移すので $\operatorname{Aut}(L/\mathbb{Q})=\{1\}$ である。中間体 $\mathbb{Q}$ と $L$ はどちらも自明な群に移り、$M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)$ は単射でない（Galois理論の記事の例「反例：正規でない拡大では対応が壊れる」）。

補足

有限指数の部分群と開部分群

主定理の 2 は「閉」を仮定している。指数が有限でも閉でない部分群はありうる：$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ には、各 $n>1$ について開でない指数 $2^n$ の正規部分群がある（MilFT Proposition 7.29、p. 132。この記事では証明しない）。一方、閉部分群の指数が有限なら、補集合が有限個の閉な剰余類の和になるので開である（Galois群の記事の命題「開部分群と有限指数の閉部分群」）。

絶対Galois群と他の理論への広がり

$L=K^{\mathrm{sep}}$（分離閉包）のとき $G$ は $K$ の絶対Galois群 $G_K$ であり、主定理の 1・2 は「$K$ の有限次分離拡大と $G_K$ の開部分群の対応」（絶対Galois群の記事の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」）を含む。無限次の中間体まで含めた対応は、代数体の最大 Abel 拡大の Galois 群を調べる類体論、円分 $\mathbb{Z}_p$ 拡大を調べる岩澤理論、有限次分離代数と $G_K$ の連続作用をもつ有限集合を対応させるGalois圏の出発点になる。$\mathbb{Q}$ の最大 Abel 拡大が 1 の冪根をすべて添加した体であることは Kronecker–Weberの定理による。記事の主定理は MilFT Theorem 7.13（p. 125）、補題の内容は同書 Proposition 7.7、7.12 にある。