二重複体

$R$ を可換環、$(A^\bullet,d_A)$、$(B^\bullet,d_B)$ を $R$ 加群の複体とする。$C^{p,q}:=A^p\otimes_RB^q$（テンソル積）、$\delta_h:=d_A\otimes1$、$\delta_v:=1\otimes d_B$ とおくと $\delta_h\delta_v=d_A\otimes d_B=\delta_v\delta_h$ で可換な組であり、rem-double-complex-sign-convention の付け替え $d_v:=(-1)^p\,(1\otimes d_B)$ により二重複体になる。その直和全複体が複体のテンソル積 $A^\bullet\otimes_RB^\bullet$ であり、微分は
$$ D(a\otimes b)=d_Aa\otimes b+(-1)^{p}\,a\otimes d_Bb\qquad(a\in A^p,\ b\in B^q) $$
である。$D^2=0$ は prop-double-complex-total-differential の帰結である。
とくに $x\in R$ に対し 2 項複体 $K(x)\colon 0\to R\xrightarrow{\ x\ }R\to0$（次数 $-1$ と $0$ に置く）をとり、$K(x,y):=\operatorname{Tot}(K(x)\otimes_RK(y))$ とおいたものが $x,y$ の Koszul複体 である。次数 $-1$ の生成元を $e_x$、$e_y$ と書くと、$K(x)\otimes_RK(y)$ は $C^{-1,-1}=R\,(e_x\otimes e_y)$、$C^{-1,0}=R\,(e_x\otimes1)$、$C^{0,-1}=R\,(1\otimes e_y)$、$C^{0,0}=R$ からなり、
$$ d_h(e_x\otimes e_y)=x\,(1\otimes e_y),\quad d_v(e_x\otimes e_y)=(-1)^{-1}\,e_x\otimes y=-y\,(e_x\otimes1),\quad d_v(1\otimes e_y)=y,\quad d_h(e_x\otimes1)=x $$
である。よって $K(x,y)$ は、$R^2$ の元を $u\,(1\otimes e_y)+v\,(e_x\otimes1)$ の係数 $(u,v)$ で表すと
$$ 0\to R\xrightarrow{\ r\mapsto(xr,\,-yr)\ }R^{2}\xrightarrow{\ (u,v)\mapsto yu+xv\ }R\to0 $$
（次数 $-2,-1,0$）であり、合成は $y\cdot xr+x\cdot(-yr)=0$ である。符号を付けなければ合成は $2xyr$ となり、一般には複体にならない。$n$ 個の元 $x_1,\dots,x_n$ の Koszul 複体も $K(x_1)\otimes_R\cdots\otimes_RK(x_n)$ の全複体として得られる（Wei94 §4.5）。$x$ が $R$ の非零因子で $y$ が $R/xR$ の非零因子なら $K(x,y)$ は $R/(x,y)$ の自由分解になることを cor-double-complex-koszul で示す。

$X$ を位相空間、$\mathfrak{U}=(U_i)_{i\in I}$ を $X$ の開被覆（$I$ は全順序集合）、$\mathcal{F}^\bullet$ を $X$ 上のアーベル群の層の複体とする。各 $q$ に対する $\mathcal{F}^q$ の Čech 複体（Čechコホモロジー）
$$ \check C^p(\mathfrak{U},\mathcal{F}^q):=\prod_{i_0<\cdots< i_p}\mathcal{F}^q(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}) $$
を $C^{p,q}$ とし、横の微分を Čech の微分 $\check\delta$（制限写像の交代和）、縦の微分を各成分に $\mathcal{F}^\bullet$ の微分 $d$ を施す写像とする。$d$ は制限写像と可換なので $\check\delta d=d\check\delta$ であり、符号を付け替えて二重複体（Čech 二重複体。$q<0$ で $\mathcal{F}^q=0$ なら第 1 象限にある）が得られる。第 $q$ 行は層 $\mathcal{F}^q$ の Čech 複体、第 $p$ 列は交わり $U_{i_0\cdots i_p}:=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}$ 上の切断の複体 $\mathcal{F}^\bullet(U_{i_0\cdots i_p})$ の直積である。$\mathcal{F}^\bullet$ が下に有界で、各 $\mathcal{F}^q$ が有限個の $U_i$ の交わり上で高次の層コホモロジーをもたなければ、全複体のコホモロジーは $\mathcal{F}^\bullet$ の超コホモロジー $\mathbf{H}^n(X,\mathcal{F}^\bullet)$ に一致する（超コホモロジー の記事の命題「Čech 複体による計算」）。次の例はその最も古典的な場合である。

$M$ を $C^\infty$ 多様体、$\Omega^q$ を $q$ 次微分形式の層、$\mathfrak{U}$ を $M$ の良い被覆（有限個の $U_i$ の空でない交わりがすべて $\mathbb{R}^{\dim M}$ と微分同相（微分同相写像）な開被覆）とする。外微分 $d$ を微分とする de Rham 複体 $\mathcal{F}^\bullet=\Omega^\bullet$ に対する Čech 二重複体 $C^{p,q}=\check C^p(\mathfrak{U},\Omega^q)$ を Čech–de Rham 二重複体という（BT82 §8）。この二重複体を 2 通りに読むと de Rhamの定理が得られる。筋は次のとおりである。

1. 列を読む。第 $p$ 列は $\prod_{i_0<\cdots< i_p}\Omega^\bullet(U_{i_0\cdots i_p})$ であり、各 $U_{i_0\cdots i_p}$ は $\mathbb{R}^{\dim M}$ と微分同相なので、Poincaréの補題によりその de Rham 複体のコホモロジーは $0$ 次で $\mathbb{R}$（局所定数関数）、正の次数で $0$ である。直積はコホモロジーと可換なので、$H^q_v(C)=0$（$q>0$）、$H^0_v(C)^p=\prod_{i_0<\cdots< i_p}\mathbb{R}=\check C^p(\mathfrak{U},\underline{\mathbb{R}})$（定数層 $\underline{\mathbb{R}}$ の Čech 複体）である。thm-double-complex-acyclic-columns により $\operatorname{Tot}(C)$ は $\check C^\bullet(\mathfrak{U},\underline{\mathbb{R}})$ と擬同型である。
2. 行を読む。第 $q$ 行は層 $\Omega^q$ の Čech 複体であり、1の分割を用いると $p>0$ で非輪状で、$p=0$ のコホモロジーは大域切断 $\Omega^q(M)$ である（BT82 §8 の一般化 Mayer–Vietoris 原理）。転置と thm-double-complex-acyclic-columns により $\operatorname{Tot}(C)$ は de Rham 複体 $\Omega^\bullet(M)$ と擬同型である。
   したがって $H^n_{dR}(M)\cong\check H^n(\mathfrak{U},\underline{\mathbb{R}})$（de Rhamコホモロジー）であり、右辺は良い被覆に対しては $M$ の特異コホモロジー $H^n(M;\mathbb{R})$ に一致する。行の非輪状性（一般化 Mayer–Vietoris 原理）の証明は BT82 §8 に、良い被覆に対する Čech コホモロジーと特異コホモロジーの一致は BT82 §15 に譲る（de Rhamの定理 の記事は 2 つの開集合の Mayer–Vietoris 列による別証を与える）。

$R$ を環、$A$、$B$ を $R$ 加群、$\cdots\to P_1\xrightarrow{\ \partial_1\ }P_0\to A\to0$ を $A$ の射影分解、$0\to B\to I^0\xrightarrow{\ d\ }I^1\to\cdots$ を $B$ の入射分解とする。$C^{p,q}:=\operatorname{Hom}_R(P_p,I^q)$（$p,q\ge0$）とおき、
$$ \delta_h(f):=f\circ\partial_{p+1}\colon\operatorname{Hom}_R(P_p,I^q)\to\operatorname{Hom}_R(P_{p+1},I^q),\qquad \delta_v(f):=d\circ f\colon\operatorname{Hom}_R(P_p,I^q)\to\operatorname{Hom}_R(P_p,I^{q+1}) $$
と定めると $\delta_h\delta_v(f)=d\circ f\circ\partial_{p+1}=\delta_v\delta_h(f)$ で可換であり、$\delta_h^2(f)=f\circ\partial_{p+1}\circ\partial_{p+2}=0$、$\delta_v^2(f)=d\circ d\circ f=0$ である。符号を付け替えて第 1 象限の二重複体が得られる。第 $q$ 行は複体 $\operatorname{Hom}_R(P_\bullet,I^q)$、第 $p$ 列は複体 $\operatorname{Hom}_R(P_p,I^\bullet)$ である。この二重複体を 2 通りに読むことで、Ext関手が射影分解からでも入射分解からでも計算できること（平衡性）が示される（thm-double-complex-balance-ext）。

$A\ne0$ をアーベル群とし、各整数 $p$ について
$$ C^{p,-p}:=A,\qquad C^{p,-p+1}:=A $$
とおき、それ以外の $C^{p,q}$ は $0$ とする。第 $p$ 列は $C^{p,-p}\to C^{p,-p+1}$ の 2 項からなり $d_v:=\mathrm{id}_A$、第 $q$ 行は $C^{-q,q}\to C^{-q+1,q}$ の 2 項からなり $d_h:=\mathrm{id}_A$ とする。$d_h^2=0$、$d_v^2=0$ は行・列が 2 項であることから明らかで、$d_hd_v+d_vd_h$ は $C^{p,-p}$ を $C^{p+1,-p+1}=0$ に送るので $0$ である。よって $C$ は二重複体であり、すべての行と列が完全（$A\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }A$）である。すなわち $H^q_v(C)=0$、$H^p_h(C)=0$ がすべての $p,q$ で成り立つ。$C$ は全平面に広がり、対角線 $p+q=0$ と $p+q=1$ の上に無限個の非零項をもつので、第 1 象限でも有界でもない。
全複体を計算する。非零な次数は $n=0,1$ だけで、次数 $0$ の成分を $C^{p,-p}$、次数 $1$ の成分を $C^{p,-p+1}$ の位置で添字づけると、$c=(x_p)_{p\in\mathbb{Z}}$ に対し $Dc$ の第 $p$ 成分は $d_hx_{p-1}+d_vx_p=x_{p-1}+x_p$ である。

• $\operatorname{Tot}^\oplus$ の場合。$\operatorname{Tot}^\oplus(C)^0=\operatorname{Tot}^\oplus(C)^1=\bigoplus_{p\in\mathbb{Z}}A$ である。$Dc=0$ は $x_p=-x_{p-1}$（すべての $p$）を意味し、有限個を除いて $x_p=0$ なので $c=0$ である。よって $H^0(\operatorname{Tot}^\oplus C)=0$ である。一方、$y=(y_p)_p$ が $Dc=y$ と書けるための条件を求める。$x_p=y_p-x_{p-1}$ を $x_p=0$（$p\ll0$）から順に解くと $x_p=\sum_{k\le p}(-1)^{p-k}y_k$ であり、$p\gg0$ でこれが $0$ になることは $\sum_{k\in\mathbb{Z}}(-1)^ky_k=0$ と同値である。写像 $\varepsilon\colon\bigoplus_pA\to A$、$y\mapsto\sum_k(-1)^ky_k$ は全射で $\operatorname{im}D=\ker\varepsilon$ なので、$H^1(\operatorname{Tot}^\oplus C)\cong A\ne0$ である。
• $\operatorname{Tot}^\Pi$ の場合。$\operatorname{Tot}^\Pi(C)^0=\operatorname{Tot}^\Pi(C)^1=\prod_{p\in\mathbb{Z}}A$ である。$Dc=0$ の解は $x_p=(-1)^px_0$（$x_0\in A$ は任意）であり、$H^0(\operatorname{Tot}^\Pi C)\cong A\ne0$ である。他方、任意の $y\in\prod_pA$ に対し $x_0:=0$、$x_p:=y_p-x_{p-1}$（$p>0$、昇順に）、$x_{p-1}:=y_p-x_p$（$p\le0$、降順に）と定めれば $Dc=y$ なので $D$ は全射で、$H^1(\operatorname{Tot}^\Pi C)=0$ である。
  この例は、次の 3 つの含意が有界性なしには成り立たないことを示す。(1)「すべての行と列が完全なら全複体は非輪状」は破れる（超コホモロジー の記事の補題「列が完全な二重複体の全複体は非輪状」は $p$、$q$ がともに下に有界な場合に限ってこれを主張する）。(2) 2 つのスペクトル系列（thm-double-complex-spectral-sequences）は $E_1=0$ から始まり $E_\infty=0$ であるが、$H^*(\operatorname{Tot}C)\ne0$ なので全複体のコホモロジーに収束しない。(3) 直和全複体と直積全複体は擬同型でない（$H^0$ と $H^1$ が入れ替わっている）。満たす性質は「反可換な二重複体で、行と列がすべて完全」、満たさない性質は「各対角線上の非零項が有限個（とくに第 1 象限）」であり、破る含意は「行と列の完全性から全複体の非輪状性が従う」「2 つのスペクトル系列が全複体のコホモロジーに収束する」「直和全複体と直積全複体が擬同型である」の 3 つである。