Cohenトポス

同義語：Cohen topos

概要

前提知識: 前層, 層, Grothendieck位相, 部分対象分類子, 篩(圏論), 導来関手

定義

Cohen トポスは、Cohen の強制法をトポスの言葉で書き直したものである。添字集合 $I$ で添字づけた二値列の族について、有限個の値だけを指定する条件を強制条件とし、それらのなす半順序集合上の前層に二重否定位相を入れて層のトポスを作る。Mac Lane–Moerdijk は、このトポスが Boolean で選択公理を満たしながら、その内部で連続体仮説が成り立たないことを示した。MM92 VI §§2–3。本記事では基底を集合の圏 $\mathbf{Set}$ に固定する（MM92 と同じ）。基底を取り替える一般化は rem-cohen-topos-base に記す。

有限条件の半順序集合

集合 $I$ を $I=2^{(2^{\mathbb N})}$（$2^{\mathbb N}$ の冪集合）とする。単射 $2^{\mathbb N}\to I$ はあるが、Cantorの定理により全射 $2^{\mathbb N}\to I$ はない。$P$ を、定義域 $\operatorname{dom}p$ が有限集合である部分関数
$$ p\colon I\times\mathbb N\rightharpoonup\{0,1\} $$
全体の集合とする。$\operatorname{dom}q\supset\operatorname{dom}p$ であり、$q$ を $\operatorname{dom}p$ へ制限すると $p$ に一致するとき、$q$ は $p$ を延長するといい、
$$ q\le p $$
と書く。$\le$ は $P$ 上の半順序であり、$q\le p$ は $q$ が $p$ より多くの値を指定する、つまりより強い条件であることを表す。空の部分関数が最大元である。MM92 VI §2 (4)、J77 §9.5。

MM92 は $I$ に当たる集合を $B=P P\mathbb N$ と書く。J77 §9.5 は逆向きの順序（延長するほど大きい）を使い、前層を共変関手 $P\to\mathbf{Set}$ として扱う。順序の向きと前層の変性を同時に取り替えているので、得られるトポスは同じである。本記事は MM92 の向きに従う。

Cohen トポス

$P$ を、$q\le p$ のときに限りただ一つの射 $q\to p$ をもつ圏とみなす。$P$ 上の前層とは関手 $F\colon P^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ のことで、$q\le p$ ごとに制限写像 $F(p)\to F(q)$ を与える。条件 $p$ 上の篩(圏論)とは、部分集合 $S\subset\{q\in P\mid q\le p\}$ で、$q\in S$ かつ $r\le q$ ならば $r\in S$ となるものをいう。稠密位相では、$p$ 上の篩 $S$ が $p$ を被覆するのは
$$ \forall q\le p\ \ \exists r\le q\ \ (r\in S) $$
が成り立つとき、すなわち $p$ のどの延長 $q$ もさらに延長すれば $S$ に入るときである。前層 $F$ が層であるとは、$p$ を被覆する任意の篩 $S$ と、制限について両立する任意の族 $(x_q)_{q\in S}$（$x_q\in F(q)$ で、$r\le q$ なら $x_q$ の $F(r)$ への制限が $x_r$）に対し、各 $q\in S$ で制限が $x_q$ になる $x\in F(p)$ がただ一つ存在することをいう。この層のなす圏
$$ \mathcal C=\operatorname{Sh}(P,\neg\neg) $$
を Cohen トポス（Cohen topos）という。記号 $\neg\neg$ は、この稠密位相の層が二重否定による層と一致することを表す。MM92 VI §2 (5) と p.284。

以下、集合 $S$ に対し、各 $p$ での値が $S$ で制限写像がすべて恒等写像である前層 $\Delta S$ の層化（前層の圏から層の圏への包含関手の左随伴で、有限極限を保つ）を $\widehat S:=\mathbf a\Delta S$ と書き、$S$ の定数層という。$\mathcal C$ の自然数対象（Lawvere の意味で、射 $1\xrightarrow{0}N\xrightarrow{s}N$ であって、任意の $1\xrightarrow{x}X\xrightarrow{f}X$ に対し $u\circ0=x$ かつ $f\circ u=u\circ s$ となる射 $u\colon N\to X$ がただ一つ存在するもの）は $\widehat{\mathbb N}$ であり、$\Omega$ を $\mathcal C$ の部分対象分類子、$\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ を $\widehat{\mathbb N}$ の冪対象（対象 $X$ に対する冪対象 $\Omega^X$ は指数対象、すなわち $\operatorname{Hom}(Z\times X,\Omega)\cong\operatorname{Hom}(Z,\Omega^X)$ が $Z$ について自然に成り立つ対象である）とする。MM92 VI §2 (11)、(12)。

Boolean トポスと選択公理

トポス $\mathcal E$ が Boolean であるとは、各対象 $E$ の各部分対象 $S\rightarrowtail E$ が補部分対象、すなわち $S\wedge S'=0$ かつ $S\vee S'=E$ となる部分対象 $S'\rightarrowtail E$ をもつことをいう。射 $e\colon X\to Y$ がエピ射であるとは、任意の対象 $Z$ と任意の射 $g,h\colon Y\to Z$ に対し $g\circ e=h\circ e$ ならば $g=h$ となることをいう。$\mathcal E$ が選択公理を満たすとは、すべてのエピ射 $e\colon X\to Y$ が切断、すなわち $e\circ s=\mathrm{id}_Y$ となる射 $s\colon Y\to X$ をもつことをいう。

集合の圏 $\mathbf{Set}$ では部分集合の補集合が補部分対象なので $\mathbf{Set}$ は Boolean である。また $\mathbf{Set}$ のエピ射は全射なので、上の選択公理は「全射は切断をもつ」という通常の選択公理の一形そのものである。

直感

条件 $p$ は二値列の族の完成形ではなく、有限個の値だけをもつ「知識の状態」である。被覆に沿って条件を延長していくと、内部では各 $i\in I$ に対応する二値列が現れ、$I$ の定数層から $\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ へのモノ射 $\widehat I\rightarrowtail\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ が得られる。ここで $\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ はトポス内部の冪対象であり、外部の集合 $2^{\mathbb N}$ の定数層 $\widehat{2^{\mathbb N}}$ とは別物である。外部で $2^{\mathbb N}$ より真に大きい $I$ が、内部では $\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ の中に入る。さらに定数層への移行で基数の大小が保たれることを示すと、$\widehat{2^{\mathbb N}}$ が $\widehat{\mathbb N}$ と $\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ の間に真に挟まる（thm-cohen-topos-ac-not-ch）。MM92 VI 系 2.5 と §2 (12)、J77 §9.54。

性質

内部で連続体仮説が成り立たないこと

連続体仮説を否定する対象

自然数対象 $N$ と部分対象分類子 $\Omega$ をもつトポス $\mathcal E$ の対象 $X,Y$ に対し、指数対象 $Y^X$ の部分対象 $\operatorname{Epi}(X,Y)$ が定まり、内部でエピ射 $X\to Y$ 全体を表す（エピ射の対象）。$\mathcal E$ が退化していなければ（$0\not\cong1$）、$\operatorname{Epi}(X,Y)\cong0$（始対象）のときエピ射 $X\to Y$ は存在しない。対象 $K$ が $\mathcal E$ で連続体仮説を否定するとは、モノ射
$$ N\rightarrowtail K\rightarrowtail\Omega^{N} $$
が存在し、しかも $\operatorname{Epi}(N,K)\cong0$ かつ $\operatorname{Epi}(K,\Omega^N)\cong0$ となることをいう。MM92 VI §3 (1), (12) と系 3.3、J77 §9.5。

$\operatorname{Epi}(X,Y)$ の構成は MM92 VI §3 (12) に従い、本記事では用いる性質だけを述べた。次の定理はJ77 §9.5 の定式化に従い、連続体仮説を否定する対象の存在として述べる。

Boolean 性・選択公理・連続体仮説の否定

Cohen トポス $\mathcal C$ は Boolean であり、選択公理を満たす。さらに $K:=\widehat{2^{\mathbb N}}$ は $\mathcal C$ で連続体仮説を否定する。すなわちモノ射
$$ \widehat{\mathbb N}\rightarrowtail K\rightarrowtail\Omega^{\widehat{\mathbb N}} $$
があり、$\operatorname{Epi}(\widehat{\mathbb N},K)\cong0$ かつ $\operatorname{Epi}(K,\Omega^{\widehat{\mathbb N}})\cong0$ である。MM92 VI 系 1.9（§1）・定理 2.1（§2）、証明は §3 の命題 3.6・補題 3.7・補題 3.8；J77 §§9.51–9.55。

この定理は本記事では証明せず、上の出典から引用する。Boolean 性と選択公理は MM92 VI 系 1.9 とその証明による（§2 冒頭 p.279 でも確認されている）。連続体仮説の否定は次の段階からなる。

条件の定義から、$I$ の定数層から内部の冪対象へのモノ射 $\widehat I\rightarrowtail\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ を作る。MM92 VI 系 2.5、J77 §9.54。
層化 $S\mapsto\widehat S$ はモノ射を保つので、単射 $\mathbb N\to2^{\mathbb N}\to I$ からモノ射 $\widehat{\mathbb N}\rightarrowtail K\rightarrowtail\widehat I$ を得る。段階 1 と合成して $\widehat{\mathbb N}\rightarrowtail K\rightarrowtail\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ となる。MM92 VI §2 (12)。
基数の保存：$P$ が可算鎖条件を満たす（互いに両立しない（どの 2 つも共通の延長をもたない）条件からなる集合はすべて可算）ことを使い、無限集合 $S,T$ の間に全射がなければ $\operatorname{Epi}(\widehat S,\widehat T)\cong0$ であることを示す。これにより $\operatorname{Epi}(\widehat{\mathbb N},K)\cong0$、$\operatorname{Epi}(K,\widehat I)\cong0$ となる。MM92 VI 命題 3.6・補題 3.7・補題 3.8、J77 §§9.51, 9.53。
$I\neq\emptyset$ なので $\widehat I$ は大域切断をもつ。これと Boolean 性から、モノ射 $\widehat I\rightarrowtail\Omega^{\widehat{\mathbb N}}$ は引き込みをもち、$\operatorname{Epi}(K,\widehat I)\cong0$ から $\operatorname{Epi}(K,\Omega^{\widehat{\mathbb N}})\cong0$ を導く。MM92 VI 補題 3.5、J77 §9.55。
有限条件の半順序集合を書くだけでは結論は得られず、段階 1 のモノ射の構成と段階 3 の基数保存の議論が要る。

基底を取り替える場合

MM92 VI §2（p.279）によれば、$\mathbf{Set}$ を、自然数対象をもち選択公理を満たす任意の Boolean な初等トポスに取り替えても同じ構成ができ、Boolean で連続体仮説が成り立たないトポスが得られる。ただしそのトポスが満たすのは一般には内部選択公理であり、基底が well-pointed（終対象が生成系で非退化）なら、def-cohen-topos-boolean-ac の意味の選択公理も成り立つ。J77 §9.5 はこれを二値モデル（自然数対象をもち、選択公理を満たし、$1$ の部分対象がちょうど 2 つ（$0\not\cong1$ で、$0$ と $1$ だけ）のトポス）の上で行う。そこから連続体仮説が偽である二値モデルを得るには、超冪による別の段階が要る。J77 §§9.48, 9.56。本記事のコホモロジーについての主張は $\mathbf{Set}$ 上の $\mathcal C$ に限る。

アーベル群対象を係数とするコホモロジーの消滅

トポスのコホモロジー群

トポス $\mathcal E$ の対象 $A$ がアーベル群対象であるとは、可換群の公理を図式で満たす射 $A\times A\to A$（和）、$1\to A$（単位）、$A\to A$（逆元）をもつことをいう。Grothendieckトポス $\mathcal E$ のアーベル群対象と準同型のなす圏 $\mathrm{Ab}(\mathcal E)$ はアーベル圏であり、入射的対象を十分にもつ。J77 §§8.11, 8.13。大域切断関手 $\Gamma=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(1,-)\colon\mathrm{Ab}(\mathcal E)\to\mathbf{Ab}$（$1$ は終対象、$\mathbf{Ab}$ はアーベル群の圏）は左完全であり、その右導来関手
$$ H^q(\mathcal E;A):=R^q\Gamma(A)\qquad(q\ge0) $$
を、$A$ を係数とする $\mathcal E$ の第 $q$ コホモロジー群という。J77 §8.14。

$\mathcal C$ は小さな圏 $P$ 上の層のトポスなので Grothendieck トポスであり、この定義が適用できる。

アーベル群対象を係数とする正次数のコホモロジーは消える

Cohen トポス $\mathcal C$ の任意のアーベル群対象 $A$ と $q>0$ に対し
$$ H^q(\mathcal C;A)=0 $$
である。MM92 VI 系 1.9、J77 §8.15(iv)(a)。

エピ射の分裂から導く

thm-cohen-topos-ac-not-ch により $\mathcal C$ は選択公理を満たす（MM92 VI 系 1.9 の引用）。以下はこの前提からの証明である。
まず $1$ は射影的である。実際、エピ射 $e\colon X\to Y$ と射 $y\colon1\to Y$ が与えられたとき、$e$ の $y$ に沿う引き戻し $e'\colon X\times_Y1\to1$ は、トポスでエピ射が引き戻しで保たれるのでエピ射である。選択公理により $e'$ は切断 $s\colon1\to X\times_Y1$ をもち、$x:=\mathrm{pr}_X\circ s$ は $e\circ x=y$ を満たす。
$\mathrm{Ab}(\mathcal C)$ のエピ射は $\mathcal C$ のエピ射でもある（J77 §8.15(iv)）。よって $\Gamma=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(1,-)$ は $\mathrm{Ab}(\mathcal C)$ のエピ射を全射に移す。$\Gamma$ は左完全でもあるから完全関手である。$A$ の入射的分解 $0\to A\to E^0\to E^1\to\cdots$ に完全関手 $\Gamma$ を施した列 $0\to\Gamma(A)\to\Gamma(E^0)\to\Gamma(E^1)\to\cdots$ は完全なので、複体 $\Gamma(E^\bullet)$ の $q>0$ 次のコホモロジー、すなわち $H^q(\mathcal C;A)$ は $0$ である。$\square$

例と反例

反例：コホモロジーの消滅から連続体仮説は導けない

Cohen トポス $\mathcal C$ は、「すべてのアーベル群対象 $A$ と $q>0$ に対し $H^q(\mathcal C;A)=0$」という性質を満たす（thm-cohen-topos-cohomology）。一方、$\mathcal C$ には連続体仮説を否定する対象 $K=\widehat{2^{\mathbb N}}$ がある（thm-cohen-topos-ac-not-ch、引用）。したがって $\mathcal C$ は、含意「正次数のコホモロジーがすべて消えるトポスには、連続体仮説を否定する対象がない」を破る。アーベル群対象を係数とする導来大域切断は、内部論理での連続体仮説の成否を検出しない。

対照：Boolean 性だけでは消えない

位数 $2$ の群 $C_2$ に対し、$C_2$ が作用する集合（$C_2$ 集合）と同変写像のなす圏を $BC_2$ と書く。$BC_2$ はトポスであり Boolean であるが、選択公理を満たさず、自明な作用をもつ $\mathbf F_2=\mathbb Z/2\mathbb Z$ を係数として $H^1(BC_2;\mathbf F_2)\cong\mathbf F_2\neq0$ である。したがって thm-cohen-topos-cohomology の消滅に使ったのは Boolean 性ではなく、エピ射の分裂という選択公理の効果である。J77 §8.15(ii)。

Boolean 性・選択公理の不成立・一次コホモロジーを確かめる

$C_2$ 集合 $X$ の部分対象は $C_2$ 不変な部分集合である。不変な部分集合の補集合も不変なので、各部分対象は補部分対象をもち、$BC_2$ は Boolean である。
終対象 $1$ は $1$ 点集合（自明な作用）である。$C_2$ を左乗法で自分自身に作用させた $C_2$ 集合から $1$ への写像は全射なのでエピ射である。その切断 $1\to C_2$ は同変写像なので、$C_2$ の作用の固定点を与えるはずであるが、左乗法には固定点がない。よってこのエピ射は切断をもたず、$BC_2$ は選択公理を満たさない。
J77 §8.15(ii) により、$\mathrm{Ab}(BC_2)$ は群環 $\mathbb Z C_2$ 上の加群の圏であり、$\Gamma=\operatorname{Hom}(1,-)$ は不変部分をとる関手で、$H^q(BC_2;A)$ は群コホモロジー $H^q(C_2;A)$ に一致する（引用）。群コホモロジーの一次は一次コサイクル（交叉準同型）を一次コバウンダリーで割ったものとして計算できる（標準的な事実として引用する）。係数 $\mathbf F_2$ への作用が自明なので、一次コサイクルは準同型 $C_2\to\mathbf F_2$ であり、一次コバウンダリー $g\mapsto ga-a$ はすべて $0$ である。準同型 $C_2\to\mathbf F_2$ は $0$ と同型写像の 2 つなので、$H^1(BC_2;\mathbf F_2)\cong\operatorname{Hom}(C_2,\mathbf F_2)\cong\mathbf F_2$ である。$\square$

研究への接点

Cohen トポスで論理式の真偽を調べるには、条件による forcing 関係、内部の部分対象・冪対象、量化子の解釈を追う。アーベル群対象を係数とする正次数のコホモロジーの消滅は、その情報を直接には与えない。一方、幾何学的射の下で層や係数を比較すると、別のトポスのコホモロジーへ移す写像やLerayスペクトル系列が得られる。両者の接続を探すには、どの論理式をどの係数対象またはトーサーが表すかを個別に証明する必要がある。これは研究の方針であり、定理として述べているのではない。J77 §§8.17, 9.5。